（电路与系统专业论文）脉冲整形、匹配滤波器的设计及多载波DSCDMA浅析[电路与系统专业优秀论文].pdf

北京邮电大学硕士论文 摘要 摘 要 近年来，通信事业蓬勃发展， 无线通信作为其中的重要组成部分，也得到 了飞速的发展， 在无线通信中， 大家当前最关心的问 题是传输信号的抗干扰性， 失真问题的解决，以及混叠问题的消除等。 本文正是在这种背景下， 利用文献 【 5 提出的新型通用参数滤波器，设计 了一种脉冲整形和匹配滤波器。 在滤波器的设计过程中通过新型通用参数滤波 器的特点 ( 幅度、相位、 延时的同时优化) ， 在幅度确定的前提下对相位和延时 进行单独优化， 满足了n y q u i s t 第一法则的要求。 设计结果可用于宽带信号的 发送端和接收端.文章的结构如下: 第一部分:滤波器和滤波器组的设计理论和应用。 首先分析了滤波器组，包括滤波器组的预备知识，混淆和失真的消除， 以及滤波器组的基本知识和设计;其次是利用滤波器组的优化理论和文献 【 5 提出的新型的通用参数滤波器设计脉冲整形和匹配滤波器。最后对设计结果和 应用做了介绍。 第二部分:多载波d s -c d ma的系统分析。 对c d m a主要技术、多载波技术进行了简要分析;分析介绍了一种多 载波d s -c d ma系统、并对各个部分进行了分析。 关键词: 通用参数滤波器、 脉冲整形滤波器、 匹配滤波器、 d s -c d m a 、 失真、 混淆 北京邮电大学硕士论文摘要 ab s t r a c t t h e l a s t t w o d e c a d e s h a v e s e e n t r e m e n d o u s p r o g r e s s i n t h e a r e a o f c o m m u n i c a t i o n s , e s p e c i a l l y w i r e l e s s - c o m m u n i c a t i o n s , i n w h i c h t h e m o s t a tt r a c t i v e t o p i c s a r e i n t e r f e r e n c e s u p p r e s s i o n , a n t i - d i s t o rt i o n a n d a n t i - a l i a s i n g b y t h e m e t h o d o f s i g n a l p r o c e s s i n g . a g a i n s t t h i s b a c k g r o u n d , w e d e s i g n t h e p u l s e s h a p i n g f i l t e r s a n d m a t c h f i l t e r s b a s e d o n t h e n o v e l t y p e o f g e n e r a l p a r a m e t e r f i l t e r d e v e l o p e d i n r e f e r e n c e 2 . o n t h e p r o c e s s o f d e s i g n p u l s e s h a p i n g f i lt e r s , w e u t i l i z e t h e f e a t u r e o f n e w g e n e r a l p a r a m e t e r f i l t e r ( t h e o p t i m i z a t i o n o f m a g n it u d e , p h a s e a n d d e l a y a r e s i m u l t a n e o u s ) t o a d j u s t t h e p h a s e n e a r l y w i t h o u t a ff e c t t h e m a g n i t u d e , s o w e c a n a d o p t t h e n y q u i s t o n e . t h e d e s i g n e d f i l t e r s c a n b e u s e d i n w i d e s i g n a l t r a n s f e r a n d r e c e i v e . o u t l i n e o f t h e p a p e r : p a rt 1 : p r i n c i p l e a n d a p p l i c a t i o n o f f i l t e r s a n d f i lt e r b a n k s . f i r s t l y , t h e p a p e r h a s a n a l y z e d t h e f i l t e r - b a n k s , i n c l u d i n g t h e p r e k n o w l e d g e , t h e d i s c o v e r i n g o f t h e a l i a s in g a n d d i s t o rt i o n , a n d t h e b a s e - k n o w l e d g e a n d d e s i g n o f f i l t e r - b a n k s . s e c o n d l y , u s e d t h e o p t i m iz e d t h e o r y o f t h e f i l t e r - b a n k s a n d t h e n e w g e n e r a l p a r a m e t e r f i l t e r d e v e l o p e d i n r e f e r e n c e 2 d e s i g n t h e p u l s e s h a p i n g f i l t e r s a n d m a t c h f i l t e r s ， a t l a s t , g i v e n a s i m p l e i n t r o d u c e o f t h e d e s i g n r e s u l t s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s . p a rt 2 : a n a l y s i s o f m u l i t i c a r r i e r d s - c d ma s y s t e m s g i v e n a s i m p l e a n a l y s e f o r t h e m a in t e c h n o l o g y o f c d m a a n d m u l i t i c a r r i e r , i n t r o d u c e d a d s 一c d ma s y s t e m w i t h m u l i t i c a r r i e r , a n d g iv e n a a n a l y s e o f e a c h p o rt i o n k e y wo r d s : g e n e r a l p a r a m e t e r f i l t e r , p u l s e s h a p in g f i lt e r , m a t c h f i l t e r , d s - c d m a , d i s t o rt i o n , al i a s i n g 北京邮电大学硕士论文 p a r o n e绪论 p a r t o n e :绪论 在最近的二十多年， 以 信息数字化为 基础的 信息技术革命使我们的生活发生 了巨 大变化， 数字信号处理作为 处理数字化信息的 技术在这一进步中发挥了重要 作用， 滤波器和滤波器组是信号处理中的一个重要的基本内容， 它们完成对信号 噪声的过滤， 完成信号的分解和重构， 完成对符号码片的整形等， 因 此实现一个 好的滤波器甚至一个好的滤波器组对系统的性能有重要的作用，对节省系统资 源，提高信号传输的效率起着不可替代的作用。 滤波器和滤波器组可应用于很多地方， 例如应用于语音压缩编码，即通过分 析滤波器组将原始信号分成不同 频段的子带信号， 然后根据各子带信号的 特点分 别使用不同的编码方式， 以达到用较少的码位表示信号的目的。 同样滤波器组还 可广泛应用于图象、 视频等的压缩中。 近年来由 于通信事业的 广泛发展， 滤波器 和滤波器组在无线通信领域得到了广泛的应用， 例如无线信道的码片整形， 信道 的 相关接收， 信道的均衡， 分频等都离不开滤波器和滤波器组. 本文的主要内容是利用一种新型的通用参数滤波器设计脉冲整形和匹配滤 波器;并将设计应用于一种新的多载波d s -c d m a 方案中。主要内容安排如下: 第二部分主要是滤波器组和整形、匹配滤波器的设计理论， 包括滤波器组的 介绍， 新型通用参数滤波器的 介绍， 脉冲整形滤波器和匹配滤波器的设计和优化。 最后将设计结果与f i r 型滤波器做了比 较，并应用于多载波d s - c d m a 系统。 第三部分主要是对新型多载波d s -c d m a 系统的一个概述， 主要包括c d m a 系 统和主要技术的介绍，当前3 g c d m a 技术比较， 几种多载波方案的综合比较， 最 后给出了新型多载波d s -c d m a 的方案。 北京邮电大学硕士论文p a r t t w o滤波器组和滤波器 p a r t t w o :滤波器组与滤波器 信号是承载信息的函数， 通常在时间域表述， 但用傅里叶分析可得到其包含 的频率成分。 模拟信号是时间的连续函数， 将其按一定抽样率离散化以后经量化 编码可以变成数字信号。 相对于模拟信号处理， 数字信号处理具有精度高、 可靠 性强、方便灵活等优点。 滤波器是在频率域对信号进行一定功能处理的单元电 路， 比如提取或增强某 些频率分量、 削弱某些频率分量. 根据处理的信号不同， 滤波器可分为模拟滤波 器与数字滤波器。 模拟滤波器是指对模拟信号实行线性滤波的一种线性非时变系 统，数字滤波器是指完成信号滤波处理功能的， 用有限精度算法实现的离散时间 线性非时变系统， 其输入是一组( 由 模拟信号取样和量化的) 数字量， 其输出是经 过变换( 或说处理) 的另一组数字量. 随着数字技术的发展， 用数字技术实现滤波 器的功能越来越受到人们的注意和广泛的应用。 滤波器组是指有关联的一组并行滤波器，它们各自 具有不同的通频带，而这 些通频带合起来就是整个数字信号频带。 滤波器的关联表现为它们具有一个共同 输入信号， 或者它们各自 的输出 相加组合构成一个共同 输出 信号. 有共同输入信 号的称为分析滤波器组，共同形成一个输出信号的称为综合滤波器组. 本部分是首先分析了滤波器组， 包括滤波器组的预备知识， 混淆和失真的消 除， 以及滤波器组的基本知识和设计; 其次是利用滤波器组的优化理论和文献【 5 l 提出的新型的通用参数滤波器设计脉冲整形和匹配滤波器。 最后对设计结果和应 用做了介绍。 1 滤波器组: 滤波器组， 因名思义， 它是一组滤波器， 它用以实现对信号频率分量的分解， 然后根据需要对其各个 “ 子带” 信号进行多种多样的处理 ( 如编码) 或传输， 在 另一端再用一组滤波器将处理后的“ 子带” 信号相综合。 前者称为分析滤波器组， 北京邮电大学硕士论文p a rt t w o滤波器组和滤波器 后者称为综合滤波器组。 下面对其滤波器的 预备知识做一下介绍: 1 . 1滤波器组的预备知识 抽取和内插 曰 多抽样率数字信号处理的基本模块是抽取和内插。 为了便于描述， 这里分 别介绍抽取器和扩展器。 m次抽取器 如图2 . 1 . 1 ( a ) 所示， 抽取器的输入和输出之间的关系为: y d (n = x m n ( 2 .0 1 ) 这里m为整数。 只有当输入点出现的时刻为m的整数倍时， 这些样值点才能被 抽取器保留 下来。 图2 . 1 .2 示意了m = 2 的 情况。 抽取器也被称为降采样器。 从数 学 上 可以 证明 ， 除 非a n ) 采 取 某 种 方 法 进 行 带 宽 限 制 ， 否 则 抽 取 将 产 生 混 迭 失 真。 x ( n ) 一 m y o n x (. ) 一叫率 l 一卜 y s (n ) ( a ) m次抽取器 图 2 . 1 . 1 ( b ) l次扩展 抽取器和扩展器 y . ( n ) 0 1 图2 . 1 .2 m = 2 时的示意图。 保留 偶数点的 值 北京邮电大学硕士论文p a rt t w o涟波器组和滤波器 l次扩展器 图2 . 1 . 1 ( b )示意了l次扩展器的方框图，其输出 序列和输入序列之间的关 系为: x (n 1 l ) 当 n 为 l 的 整 数 倍时 0茸 抽 ( 2 . 0 2 ) 这里 l为整数。图2 . 1 . 3 示意了l为2时的情况。从图可以看出，扩展器显然不 会 导 致 信 息 丢 失。 我 们 可以 从 信 号y e ( n ) 中 ， 通 过 对 它 进 行l 次 抽 取， 来 恢复 输 入 信 号 二 ( n ) 。 扩展器也被称为升采样器、内插器。 扩展器用于内插的时候，需要一个滤波 器来完成这一过程。 x n 。 ri i! r 0 1 2 3 4 5 ye (n) . t ,-l 0 2 4 6 8 1 0 图2 . 1 .3 扩展器示意图 抽取器和扩展器的变换域分析 首先考虑比 较简单的 扩展器。由2 .0 2 式，有 y s (z ) = y y ., (n ) : 一 ” 一 e y j n ) z - ” 一 y y e (u ) z - kl = 艺x ( k ) z - 一 x (z ( 2 . 0 3 ) 因 此 有 y e (16 ;d ) 一 x le ;-， 这 意 味 着 y e (- ;v ) 是 x (, j. ) 经 过 l 次 压 缩 之 后 生 成 如图2 . 1 .4 所示。压缩谱的多个拷贝称为镜象，所以说扩展器引起了成象效 的应 北京邮电大学硕士论文p a rt t w o滤波器组和滤波器 对 于 m 次 抽 取 器( 2 .0 1 ) ， 也 可 以 推 导 出 输 出 y d (e ) 和 输 入 x(, ) 之 间 的 关 系，为: yo (ea )一 -m 翼 x (e(。一 ，“ )(2 .04 ) 可 以 用 图 形 表 示 为 : ( a ) 将 x(,. ) 拉 伸m倍 ， 得 到 x (e i m ) , ( b ) 对 经 过 拉伸之后的信号生成m- 1 个拷贝，同时分别在2 二范围内对它们进行归一化移 位 ， ( c ) 将 所 有 这 些 经 过 移 位 的 信 号 和 没 有 经 过 移 位 的 信 号 x 臼 “ ) 加 到 一 起 ， 最 后 除 以m o x (e j. lu ) 的 周 期 并 不 是 2 ;r ， 但 最 终 相 加 的 结 果 却 具 有 2 二 的 周 期 x (e ) (a )一 一 二知 i i 一 2 ) r一 万u 汀2 ) r c o 扩展因子l = 5 ( b ) x (e iv rz )x (- e id n ) ( e ) 抽取因子m = 2 一2 z 2 y r w 扩 展 器 和 抽 取 器的 变 换 域 效 果。 ( a ) 输 入 信 号x ( n ) 的 傅 立 叶 变 换 ， ( b ) ( l = 5 ) , ( c )抽取信号 ( m= 2 ) . 2 .0 4 式 的 证明 : y . ( , ) 的z 变 换 可以 写 成 y d (z ? = y- y . (n )z - = y- x (m . - ( 2 . 0 5 ) 定义中间序列 x ( n ) , n 为m的整数倍 其他 ( 2 . 0 6 ) 厂1之苦1 -一 、，t (n 于口1 x 北京邮电大学硕士论文p e rt t w o滤波器组和滤波器 因 此 有y d ( n ) = - ( m - ) = x , ( m n ) 。 现 在由( 2 .0 6 ) 有 y o (z ) 一 y- x i ( m n 一 n = yi x 。 (k )z - k /m y d (z ) 一 x l(z iim ) 定义一个 “ 梳状” 序列为: ( 2 . 0 7 ) ( 2 0 8 ) c m ( n ) = 1 , n 为 b 拍 勺 整数倍 ， ，其他 ( 2 . 0 9 ) 则 ( 2 . 0 6 )可以重写为 x 1 ( ) 二 c k , (n ) x (n ) 其中 的“ 梳 状” 序 列 又 可 以 表 示 为: c m ( n ) = 去 m - iy w m ， 以k . 0 ( 2 . 1 0 ) ( 2 . 1 1 ) 其中 叽为 单 位 元的 第m个 根， 其 定 义 为 : 叽 = e - n a /m ( 2 . 1 2 ) 将 ( 2 . 1 1 ) 式代入( 2 . 1 0 ) 式， 可以 得到: 二 (z)= 痣j x(n)w -、 一 礁j x(nxzw k)- (2.13 ) 上 式 中 里 面 的 求 和 符 号 将 得 到 x (z w k ) ， 因 此 有 yd (z， 一 _1m 翼 x (ziim w k ) ， “ ， 得证。 抽取引起的混迭 图 2 . 1 .4 ( 。 ) 描 述 了 m = “ 时 的 抽 取 效 果 ， 从 中 可 以 看 出 ， 对 x (e， m /m ) 进 行 拉 伸通常情况下都会与经过移位的同样信号发生重迭。 如果发生了这种情况， 那么 就 不 能 从已 抽 取 的 信 号y o ( n ) 中 恢 复 原 始 信 号 . ( n ) . 这 种 重 迭 效 应 称 为 混 迭 失 真。 避 免 混 迭 失 真。 如 果x ( n ) 是 一 个 低 通 信 号 ， 为了 避 免出 现 混 迭 现 象， 应 该 将 信 号 的 带 宽 限 制 在 某 个 特 定 区 域 ， 即 。 卜二 / m。 图 2 . 1 .5 示 意 了 m = 3 的 情 况 。 信 号 的 恢 复 机 制 是 这 样 的 : 在 频 域 ， 扩 展 器 的 输 出 v (, j. ) 是 信 号 y d (e ) 经 过 压 缩 北京邮电大学硕士论文p a r t t w o涟波器组和滤波器 得 到 的 。 接 着 ， 让 信 号 通 过 一 个 低 通 滤 波 器 h (e l ) ， 这 样 就 能 消 除 镜 象 出 原 始 信 号 谱 x e a 并提取 ( d ) ( a ) , ( b ) . ( c ) 相加 ( e ) 一 汀0汀 6 ) r田 图2 . 1 . 5 m = 3 的 频域抽取效果示意图 抽取滤波器和内插滤波器 在大多数应用中，抽取器之前要加上一个低通滤波器 ( 如图2 . 1 .6 - a 所示) ， 该滤波器称为抽取滤波器。 它事先对信号的带宽进行限制， 以确保抽取时不会发 生混迭现象。 与之类似， 扩展器的后面要接一个插值滤波器 ( 如图2 . 1 .6 - b 所示) ， 其主要 目 的是为了消除所有的镜象。插值滤波器是一个截止频率为二 / l 的低通滤波器。 . ( n ) - h h ( z ) 抽取沈波器 吮 竺 一润， 、二 h ( z )卜 ， y n 扩展器抽值涟波器 图2 . 1 . 6 实际应用中的抽取和内 插滤波器 北京邮电大学硕士论文p a rt t w o滤波器组和滤波器 1 . 2滤波器组的基本知识 一个数字滤波器组是一组数字滤波器的总称， 在进行子带变换的过程中，它 具有公共的输入和输出。图2 . 1 .7 示意了 滤波器组的两种情况。 图2 . 1 .7 - a 称为分 析 滤 波 器 组 ， 从(z ) 为 分 析 滤 波 器 ， 该 分 析 滤 波 器 组 将 信 号 输 入 x ( ) 分 成m个 子 带 信 号 。 在 图 2 . 1 . 7 ( b ) 中 ， m 个 信 号 x . ( n ) , ; ( n ) , ， ; m - i ( n ) 分 别 通 过 滤 波 器g o ( z ) , g ， ( z ) , . . . , g m - , ( z ) ， 所 产生 的 输出 分 别 是y o ( n ) , y , ( n ) , . . . , y ,n - , ( n ) o 这 m 个 信 号 相 加 后 得 到 的 是 信 号 众 n ) 。 显 然 ， g o ( z ) i g , ( z ) ， ， g m _ , ( z ) 是 综合滤波器组。 原始信号经过分析滤波器之后， 各通道的信号是窄带信号， 因此 它 们 的 抽 样 率 可 以 降 低 。 如 果 x (n ) 是 个 满 带 信 号 ， 即 x (e td ) 的 频 谱 范 围 从 一 二 到 ， ，那么在各个子带都具有相同带宽的情况下， 其抽样率最多可以降低到1 / me 如果抽样率低于1 / m，必然会出现混叠。 x (n ) - f h , (z ) 巨x . (n ) y o n ) 一 一 - f . (z ) h , ( z ) 卜x , (n ) 随 亘 小 x 、 _ : (n ) y m , (n ) f ,ti,_ , 间 x n ( a )分析沈波器组 ( b )综合滤波器组 图2 . 1 .7 分析和综合滤波器组 假定 滤 波器风( z ) ，h , ( z ) ， x ( n ) 通过这些滤波器后， 得到的x o ( n ) h m - , ( z ) 的 频 率 特 性如图2 . 1 . 8 ( a ) 所示， ，x , ( n ) ， ，x , - , ( n ) 将是x ( n ) 的 一 个 个 子 带 信号， 它 们的 频 谱 相互 之间 没 有 交 叠。 若风( z ) , h , ( z ) , ， 氏- 1 ( z ) 的 频 率 特性 如图2 . 1 .8 ( b ) 所 示， 那么， x o ( n ) , x , ( n ) , ， x m - , ( n ) 的 频谱 相 互 之f7 将有少 许的 n 迭。由 于h o ( z ) , h , ( z ) , ，h n r - i ( z ) 的 作 用 是将x ( n ) 作子带分 解，因此我们称它们为分析滤波器组。 将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。 例如，若m= 2 , 北京邮电大学硕士论文p a rt t w o滤波器组和溥波器 那 么 ， 在 图 2 .1.8 中 】 h o (z ) 的 频 率 特 性 将 分 另 ” 占 据 。 一 合 和 普 一 两 个 频 段 ， 前 者 对 应低 频段， 后 者 对 应高 频 段。 这 样 得 到的x . ( n ) 将 是x ( n ) 的 低 频成 份， 而x , ( n ) 将是 其高 频成份。 我们可依据实际 工作的 需要 对x , ( n ) 和x , ( n ) 作出 不同的 处 理。 ho h,hz 2 t c o hoh, h2 27 2 ) c 图2 . 1 . 8 分析滤波器组的频率响 应 ( a )无混迭，( b )稍有混迭 将 信 号 二 ( n ) 通 过 分 解 、 处 理 和 综 合 后 得 到 x ( n ) ， 我们希望x ( n ) = 在通信中，我们总希望接收到的信号和发送的信号完全一样。 x ( n ) 当然 例如， 要求 x ( n ) = x ( n ) 是非常困难的， 也几乎是不可能的。 如 果x ( n ) 二 c x ( n - n o ) ， 式中c 和n o 是常数， 即x ( n ) 是x ( n ) 纯延迟后的信号， 我们称x ( n ) 是x ( n ) 的 准确重 建( p e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n , p r ) . 实 现p r 的 滤 波器组 就称为p r 系统。 在图2 . 1 . 7 的系统中，x ( n ) 对x ( n ) 的失 真主要来自 如下三个方面: 1 .混迭失真:这是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开 及x ( n ) 的 抽样频率f不能 大于 其最高 频率 成份的m倍所致: 2. 幅度及相位失真:这两项失真来源于分析及综合滤波器组的频带在通带 内不是全通函数，而其相频特性不具有线性相位所致: 3对x o ( n ) ，x , ( n ) ， ，x m _ , ( n ) 作m倍 抽取 后 再 作 处 理 ( 如 编 码) 所 产生 的误差 ( 如量化误差) 。 北京邮电大学硕士论文p e r t t w o滤波器组和沌波器 上述误差来源中， 第三种来源于信号编码或处理算法， 它和滤波器组无关， 我 们不作讨论， 在滤波器组中，研究最多的是如何消除第一和第二两类失真，或是 着重消除其中的一种j 下边研究以下滤波器组对第一二类失真的消除。 1 . 3 失真问题 对于上边所说的第一类失真，主要存在于相邻滤波器的频带相互混淆，如图 2 . 1 . 8 所示，( a ) 情况的出现是基本不可能，因为滤波器都有过渡带和阻带而且 整个滤波器组的频带是连续的，所以 相互之间出现混淆如 ( b )的情况是在所难 免， 我们的工作就是要将混淆减小到最低， 应用于滤波器组的设计， 就是在各滤 波器通带中心区域的复合幅度与延时特性象单个滤波器一样是近似平坦的。 设计 原理如下: 首先设计单个滤波器单元， 对于单个滤波器， 它的过渡带特性在设计的时候 有一个同相邻滤波器 ( 设计单个滤波器时可通过移位获得) 叠加优化的过程。 例 如幅度特性的优化: 利用幅度特性与相邻幅度特性相加为1 的原理进行优化， 将 混淆的幅度特性优化成和单个滤波器通带时的幅度特性一样;延时特性的优化: 同幅度特性的优化， 在相位相加为; r / 2 的基础上， 优化其满足一定的理想延时公 式。 其次对于滤波器组， 在单个滤波器设计完成的基础上， 利用移位的方法可获 得各个带通滤波器和高通滤波器。 滤波器组的幅度特性要求应如图2 . 1 . 9 所示， 在其交界频率点的幅度值为0 . 7 0 7 ， 各相邻滤波器的 过渡带应对其交界频率点相 对称， 为了减少混叠分量， 各滤波器的阻带衰减特性要陡。 滤波器组叠加后的理 想特性是幅度特性为平的，延时特性为与幅度特性保持一定的关系。 下 ih , (e )i o r if , (e j 0 . 7 0 7 汀2 ; r mm (m一 1 ) a 一 m 兀尹 口 图2 . 1 . 9 滤波器组中每个滤波器的幅度特性 北京邮电大学硕士论文p a r t t w o滤波器组和滤波器 最后， 在设计整体滤波器组时， 根据滤波器组的实际应用， 首先确定通路数 m ，滤波器的阶数，以及衰减波动，截止频率等具体指标要求，对滤波器的四点 组可 根据指 标尽 及求出的 特性的 好 坏来决定数量 和初 值， 四点 组的 初值要小于i , 且刚开始时应选择较小的值。 设计出单个低通滤波器后， 通过平移得到相应的带 通和高通的特性，滤波器组设计完成。 对于上边所说的第二类失真: 幅度和相位的设计的失真， 每一个单个滤波器 自 身通带都具有指定的幅度特性和近似线性相位， 但由于过渡带和阻带的存在， 如果将他们直接组合起来， 复合传输函数频率特性一般来说不会是恒定幅度恒定 延时的， 可能存在着较大的失真. 失真可通过优化算法调整四点组位置来减小( 详 见滤波器组的优化那一节) 。 实际上， 根据图2 . 1 . 9 所示的各滤波器的幅度特性，当滤波器的过渡带比较 窄、阻带衰减比较大时， 只有在交界频率附近区域， 复合特性是由相邻的两个滤 波器共同作用的， 优化前的复合幅度与延时可能会是各种取值， 可能与通带中心 复合结果有较大偏差。 因 此， 当 滤波器自 身的 特性都较好时， 优化应针对交界频 率附近的复合特性。 .脚碑 优化逼近算法: 优化的主要目的是将滤波器的幅度特性和相位特性满足目标函数的要 求， 为实现这一目 标， 需要通过一定算法实现。函 数逼近问 题可以 表述为: 对函 数 类a 中 给定的函 数f ( x ) ， 要求 在另一 类特定要求或便于 计算的函 数类b 中， 求函 数p ( x ) e b c a ， 使p ( x ) 与r x ) 之差 在 某 种 度量 意义 下 a小。 函 数 类a 通 常是区间 a , b 上的连续函 数， 记作c a , b ;函 数类b 通常是代数多项式，分式 有理函 数或三角多项式。 度量标准最常用的 有两种，一种是 ilf ( x ) - p (x )llm = m a x lf (x ) - p (x )l ( 2 .1 5 ).5a 6 在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近;另一种度量标准是 11a x ) - p (x )11, 一 了 f (x ) - p (x )f d r ( 2 .1 6 ) 用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平方逼近 ( 若为离散逼近， 则将式( 2 . 1 5 ) 中的积分改为求和) 。 本文采用的优化算法有一致逼近准则下的里米兹 ( r e m e z ) 北京邮电大学硕士论文 p a rt t w o涟波器组和滤波器 算法和平方逼近准则下的麦夸脱 ( m a r q u a r d t ) 算法。 ( 1 )里米兹 ( r e m e z )算法 r e m 邻算法是用多 项式逼近连续函 数的 最佳一致逼近算法。 设 f (x ) e c (a ,b 是 目 标 函 数 ， 其 有 限 阶 最 佳 、 近 多 项 式 p n (x ) = 艺 。 ; 、 的 。 + ， 个 系 数可( k 二 0 ,1 , . . , n ) ， 最 小 偏 差凡，以 及。 十 2 个 偏 差 极 值 点a (对 月 式 + : -b ， 这总共2 n + 4 个 未知 数应 满足方 程 ( f ( x k ) 一 形( x : ) 2 = e n ( x i 一 a ) ( x ,e 一 b ) ( f ( x k ) 一 p ( x : ) 二 0 ( k = 1 ,2 , . - - , n + 2 ) ( 2 . 1 7 ) r e m e z 算法是通过迭代求解上述方程组的 方法，算法步骤为: 1 )选 初 值对 ( k = 1 ,2 , . - - , n + 2 ) ， 满 足 a = x 0 x 2 .二 x n + s = b 2 )根据已 得戒， 解n 十 2 个 未 知数a s ， a ， . . 气和凡的 线 性 方 程 组 a s + a , x k + 十 a . ( x k ) ” 一 ( - 1) k e = f ( x k )( 2 . 1 8 ) ( k = 1 , 2 , , n + 2) 从而 得到 初始 遥 近 多 项式p ( x ) = 艺a k x k 及 e . . 3 )求出 函 数p ( x ) - f ( x ) 的 极值点( 或近 似极 值点 ， 假设正 好有n 十 2 个点 即 a 二 x 11+ 1 x + iz.二 x - z = b 4 )重 复 步 骤2 ) 和3 ) ， 直 到 前 后 两 组a k 在 精 度要 求内 相等 为 止。 r e m e z 算法要求逼近函数为多项式， 但由 于无论是单个滤波器的幅度与延时 特性， 还是滤波器组复合幅度与延时特性， 都不是多项式， 因此需要将这些特性 函数变换形式。为便于说明，将这些幅度与延时特性函数统一记为a ( 动 ，它以 北京邮电大学硕士论文p a rt t w o涟波器组和滤波器 四点组c k l c k 2 ( k = 1 ,2 , - - - , j )为参变量。 为了应用 r e m e z算法，将a ( c j ) 围绕四点组的当前值c (j) = l ll c k 2 k = 1 , 2 , - - - , j 用泰勒级数展开 ( 对各变量只取1 阶) ，即有 “ 。 ， 二 “ (。 ，一客 弩一留 ， r(cki - ckl1)+ ,k.l弩(ck2 - ck2 ) ( 2 . 1 9 ) 这样一来a ( c o ) 是各参变量的线性组合，就可以用 r e m e z算法逼近目 标函数 f ( co ) ， 要求逼近开 始时a ( m ) 在f ( co ) 的 上下波动， 并 有一定数量的 极 值点。 与 多 项式还有一点区别 是，a ( c o ) 没有常 数项参 变量，由 于 对幅 度和延时 特性的 逼 近是期望平坦， 给出的理想特性可能跟实际特性有整体差异， 如图2 . 1 . 1 0 中所示 的凡， 因 此除了 2 j 个四 点 组 参 变 量 和 偏 差e 。 外， 另 外 设 一 个不 随 频 率变 化的 常 数 项 参 变 量凡， 用作 逼 近函 数 与目 标函 数的 平 均 差. 这 样 式 ( 2 . 1 9 ) 就 成为 “ 。 ， 二 “ 。 ，一jk.l弩(一片 卜 j(cki - ckl(i)+ k=1弩(一1),)+ s (2 .20 ) a ( a ) ) f ( c o ) 不凡止 a ( m ) 门1!1 山 1叭 叭j + 1 叭j + 2山 图2 . 1 . 1 0 a ( w ) 的r e m e z 逼近 逼 近 时 ， 首 先 在 逼 近 区 域ia , 司 设 定 初 始 极 值 点 a 二 。 尸 。 罗 。 氛: 二 b 并由 式( 2 .2 0 ) 建立与式( 2 . 1 8 ) 相应的方程组: 北京邮电大学硕士论文p a rt t w o滤波器组和滤波器 a (m , )i c =c a , + 6 a ( co ) 台 a c k , l r c k , + 台 a e k 2 i a a ( w 二 ) a a ( m 仁 ) a c kz + 丈 r a s 一 (- d i e . = .f ( m 二 ) p = 1 , 2 ， 一， 2 j + 2( 2 .2 1 ) 这里 a a ( rm 么 ) 二 二 l n a s 解方 程组 ( 2 .2 1 ) ， 可 得四 点 组的 修 正 量a c , , , a c k 2 ， 以 及凡的 修 正量a s，由 修正后的a ( m ) 求出 新的极值点 a = 。 尸 。 男二 。 ; 头 : 二 b 通过多次解方程组( 2 .2 1 ) 和寻找极值点， 可使a ( m ) 对恒定值的逼近最大误差越来 越小， 最后成为等幅波动。 对 滤波器组的 幅 度特性在逼近时 可以 不计入s， 但 延时 特性只有计入s . 才能取得较好的 逼近结果。 ( 2 ) 麦夸脱 ( m a r q u a r d t )算法 2 1 高斯一 牛顿算法是一种最小平方误差准则下的离散逼近。 设逼近目 标为n 对离散值 ( x , , y , ) ( i = 1 ,2 , 二 ， n ) , 逼近函 数y = p ( x ) 包含m 个待定参数b = ( bb 2 , . . . , b m ) ， 因 此也 可 写 为y = p ( x , b ) = p ( x , bb 2 , . . . ， b . ) , b k 的 第1 次 迭 代后 值b k 与 最 佳 值之 差为 ; 可= + * ，k = 1 ,2 , . , m( 2 . 2 2 ) 经 对p ( x , b ) 在 附 近 用 泰 勒 级 数 展 开 ， 并 略 去 * 的 二 次 及 二 次 以 上 的 项， 令 误 差平方 和对各b k 的 偏导 数为。 ， 则可 得如下 方程组: (2.(2 a , , , + a , z z + . . . + a , , = a ,r a 2 i p i + a 2 2 2 + . . . + a 2 . . = a 2 y 2 3 ) a m , , +a . 2 2 + . 二 十 a m m a , = a y 其中 a .=s a p o a p o 汀 a b , a b , ( j , j = 1 , 2 , . . , m)2 4) 北京邮电大学硕士论文p a rt t w o滤波器组和池波器 a y二( y ， 一 君 。 ) ( i = 1 , 2 , . ， , m)( 2 25 ) p t0 = p ( xb , , b z ， 二 ， b 盆 ) 叭响 x人哟 8 p ,0 注 8 6 ; 8 p ( x , b6 2 , . . . , 气) 8 b , a= 6 解式 ( 2 .5 0 ) 方 程 组， 即 可 得 到 对 各b , 的 更 新 值 * ， 使b k 更 接 近 最 佳值b k . 为 保证迭 代收 敛, m a r q u a r d t 对式( 2 .2 3 ) 作了 修正， 增 加了 阻 尼系数d ， 式( 2 .2 3 ) 变为 当d= ( a + d ) 4 , + a , 2 a 2 a 2 a + ( a 2 2 + d ) 0 2 + . . . + a ,. . = a ,y + . . . + a 2 . . = a 2 y ( 2 . 2 6 ) a . , , + 气z z + . . . + ( a . , , + d ) 0 . = a , y 0 时麦夸脱法退化为高斯一 牛顿法;只要d 足够大，则能保证下次迭代后的 误差比 迭代前小， 除 非当 前的己 是最 佳值。 m a r q u a r d t 算法步骤: 1 )设 定b k 的 初 值衬， 并 计 算 初 始 逼 近 误 差q 0 : q a 一 艺 卜 ， 一 p(x，衅 ， ， ， 0p (x , b ,0 b 20 . b m )r 根 据 式( 2 . 2 4 ) 和( 2 . 2 5 ) 计 算 a ， 和 a s ， 并 给 d 赋 初 值 . 求 解式( 2 . 2 6 ) 方程组， 并 修改瓦为 l * 一 b - + 、 4 )计算当 前 逼近 误差仓: 。 一 客 ly r 一 p (xr,b,b2，一 bm ) 5 )比 较修改b k 前的 误差q ,- ， 与当 前误差q , 的大小， 如果q , q , ， 则 将 d 增 大 一 定 倍 数 ， 并 重 复 步 骤3 ) - 5 ) . 北京邮电 大学硕士论文 p a rt t w o滤波器组和滤波器 6 )重 复 步 骤2 ) - 5 ) 】 直 到 * 小 于 允 许 误 差 。 在对滤波器组幅度特性与延时 特性优化时， 首先应用m a r q u a r d t 算法实现最 小平方误差通近理想特性，为进一步用 r e m e z算法使最大误差最小化创造误差 波动条件。如果 m a r q u a r d t 算法逼近结果已 经符合要求或者阶数太高无法形成 r e m e z算法的初始条件，则即 用m a r q u a r d t 算法优化作为结果。 2整形、匹配滤波器设计: 数字滤波器一般分为两种类型: f i r 和i i r 型，f i r 滤波器是有限长单位脉 冲响应滤波器， i n滤波器是无限长单位脉冲响应滤波器， 下面我们对i i r与f i r 数字滤波器作一简单比较 【 3 1 . a . i i r滤波器的单位冲击响应是无限长的， f i r为有限长。i i r滤波器系 统函 数极点可位于单位圆内 任何地方，因 此可用较低的阶数获得高选择性， 所用存储单元少， 经济而效率高。 但是这一般是以 相位的非线性为代价的。 选择性越好， 则相位非线性越严重。 相反， f i r滤波器却可以 得到严格的线 性相位， 然而由 于f i r滤波器系统函数的极点固定在原点， 所以 只能用较高 的阶数达到高选择性，对于同样的滤波器设计指标， f i r滤波器要求的阶数 可以比i i r滤波器高5 - - - 1 0 倍，结果成本较高， 信号延时也较大。如果按相 同的选择性和相同的线性相位要求来说， 则i i r滤波器就必须加全通网络进 行相位校正，同 样大大增加滤波器的节数和复杂性。 b . f i r滤波器可以 用非递归的方法实现， 有限梢度的计算不会产生振 荡。同时由于量化舍入以 及系数的不准确所引 起的误差的影响比i i r滤波器 要小的多。显然对i i r滤波器必须留心稳定性的问 题，注意极点是否会位于 单位圆之外， 另外有限字长效应有时会引起寄生振荡。 再者f i r滤波器可采 用f f t 算法，在相同阶数下，运算速度可以 快很多。 。 i i r 滤波器可以 借助模拟滤波器的结果， 一般都有有效的封闭形式设 计公式可供准确计算，计算工作量比 较少， 对计算工具要求不高。 f i r滤波 器没有现成的设计公式。 窗函数法仅仅可以给出窗函数的计算公式， 但计算 通，阻带衰减仍无显式表达式。 由上可见， f i r和i i r滤波器各有优缺点。 一般情况下设计滤