（应用数学专业论文）变量为三角模糊数的线性规划问题研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 摘要 随着在模糊环境下的优化问题在日常经济生活中的广泛应用，模糊优化问题显得 r 趋重要。因此对于研究在不确定环境下的最优化问题，具有很重要的理论和实际意 义。本文讨论了类不确定性线性规划问题一一变量为三角模糊数的线性规划问题。 全文主要内容如下： 首先，本文介绍了区间数的一些基本概念，归纳了几种常见的排序方法，并且对 序关系的公理化做了相应的分析。 其次，介绍了关于模糊集的一些基本概念，模糊数的性质和运算，对模糊数的比 较方法的分类、评价准则进行了重点分析。在此基础上本文进一步提出了一种新的排 序方法基于优先关系的三角模糊数排序方法，证明了该法是一个模糊序关系，并 通过算例说明了该法的有效性。 最后，也是本文的重点，即对变量为三角模糊数的线性规划问题的讨论。在工程 问题中，我们常常遇到求模糊线性规划的最优解大约为多少或者是比较优越的解是多 少，这时的变量应为模糊变量，相应的规划问题就成为变量模糊的线性规划问题。针 对变量为三角模糊数的线性规划问题，在常规方法的基础上我们给出新的求解方法一 一将改进的单纯形法应用于模糊线性规划问题。除此之外，将新的三角模糊排序方法 应用于变量模糊的线性规划和广义模糊线性规划问题的研究，且都通过算例来说明方 法的有效性，大大简化了原问题的求解。最后将模糊线性规划问题应用于药品原材料 采购中，并用算例加以说明。 关键词：区间数；三角模糊数；优先关系；模糊变量；模糊规划；广义模糊规划 a b s t r a c t w i t ht h ea p p l i c a t i o no ff u z z yo p t i m i z a t i o ni nm a n yf i e l d s ，t h e f u z z yo p t i m i z a t i o n p r o b l e m sa r em o r ea n dm o r ei m p o r t a n t s ou n d e rt h eu n c e r t a i ne n v i r o n m e n t sr e s e a r c ho n o p t i m a lp r o b l e m si sv e r yi m p o r t a n tf r o mt h et h e o r e t i c a la sw e l la sf r o mt h ep r a c t i c a lp o i n t v i e w t h ed i s s e r t a t i o nt a k e sa c t i o na b o u tak i n do fu n c e r t a i nl i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m w i t hi n t e r v a ln u m b e r sa n df u z z y n u m b e r si no b j e c t i v ep r o g r a m m i n gr e s p e c t i v e l y t h em a i n c o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o nc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： f i r s to fa 1 1 t h i sp a p e rd i s c u s s e ss o m eb a s i cc o n c e p t so fi n t e r v a ln u m b e ra n di n d u c e sa f e wn o r m a lr a n k i n gm e t h o d s ，a n dt h e nt h ea x i o mo fa no r d e rr e l a t i o ni sa n a l y z e dt h o r o u g h l y f u r t h e r m o r e ，s o m eb a s i cc o n c e p t s ，a sw e l la st h ep r o p e r t i e sa n d o p e r a t i o n so ff u z z ys e t ， a r ei n t r o d u c e d a sa 1 1 e m p h a s i s f u z z y - n u m b e r - c o m p a r i s o nc l a s s i f i c a t i o na n de v a l u a t i o n c r i t e r i ai si n t e r p r e t e d i nt h em e a n w h i l e ，an e w r a n k i n gm e t h o do ft r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r s i sp r o p o s e db a s e do np r e f e r e n c er e l a t i o n t h er a n k i n gm e t h o di sp r o v e dt ob eaf u z z yo r d e r r e l a t i o n f i n a l l yan u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o d a tl a s t ，i nt h et h e s i st h ef u z z l i n e a rp r o g r a m m i n gw i t hf u z 乃tv a r i a b l e si sd i s c u s s e d i n m a n yf i e l d si n c l u d i n ge n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y ，t h e r ea r em a n yp r o b l e m si nw h i c ht h e v a r i a b l e sa r ef u z z y n u m b e r s ，a n dt h el i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e mb e c o m e saf u z z yl i n e a r p r o g r a m m i n gp r o b l e mw i t hf u z z yv a r i a b l e s an e ws o l v i n gm e t h o di sg i v e n ，a st h ei m p r o v e d s i m p l e xm e t h o di su s e di n t ot h ef u z z y 1 i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e mw i t hf u z z yv a r i a b l e s b e s i d e s ，s t u d yo ft h ef u z z yl i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e ma n dt h eg e n e r a lm o d e lf o rf u z z y l i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e mw i t hf u z z yv a r i a b l e sb ya p p l y i n gt h en e w r a n k i n gm e t h o do f f u z z 3 n u m b e r s ，a n dan u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h e m e t h o d f i n a l l 3 ：t h e 哂l i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m su s e di nd r u gp u r c h a s eo fr a w m a t e r i a l sa n di ne x a m p l e st oi l l u s t r a t et h i s k e 3 v o r d s ：i n t e r v a ln u m b e r ；t r i a n g u l a rf u z z y n u m b e r s ；p r e f e r e n c er e l a t i o n ；f u z z yv a r i a b l e s ； f u z z 7p r o g r a m m i n g ：t h eg e n e r a lm o d e lf o rf u z z ) ? l i n e a rp r o g r a m m i n g 西南交通大学曲陶父逋大字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在 年解密后适用本授权书； 2 不保密d 使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“) 学位论文作者签名：套亟刑 日期： 加知产弘 指导教师签名：二男先 日期：剜参、肇。 西南交通大学硕士学位论文主要工作( 贡献) 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下： ( 1 )针对模糊数中最常见的三角模糊数，基于其线性特点，提出一种新的三角 模糊数排序方法，利用新定义的模糊序关系，将具有模糊变量的线性规划问题转换成 一个多目标线性规划问题，从而简化问题的求解； ( 2 ) 针对具有模糊变量的线性规划，给出一些定理和命题以及相应的算法。通 过改进的单纯形法，达到无需将模糊规划问题转化为确定型线性规划就能得到满意的 最优解，与传统方法相比较更能满足决策者的需要。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所得的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：霹弘翻 日期： 勿h 托菇 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第一章绪论 1 。1模糊线性规划问题的发展及其现状 1 1 1 课题背景 众所周知，传统的数学规划问题是人们在工程技术、科学研究和经济管理等各个 领域中经常遇到的问题，它所研究的是在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找 到最优方案。例如：工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案既满足设计要求又 能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方的要求， 又能获得好的经济效益；生产计划安排中，选择怎样的计划方案才能提高产量和利润 等等，在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。最优化这一数学分支，正是 为这些问题的解决，提供了理论基础和求解方法，是一门应用广泛、实用性很强的学 科。 数学规划问题是个古老的课题，长期以来人们对它进行了深入地探讨和研究，但 一直并没有形成独立的有系统的学科。直到四十年代以来，由于生产和科学研究突飞 猛进的发展，这使得对数学规划问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的 有力工具，从而最终形成了一门新的学科。 1 9 6 5 年，美国加利福尼亚大学专家扎德( z a d e hl a ) 教授发表了一篇开创性论文 “f u z z ys e t s ”，这标志着模糊数学的诞生。它的产生于其他科学一样，是由于实践需 要而产生的。这种模糊概念无处不在，不管是在日常生活中还是在生命科学、经济管 理领域。而当代科学发展趋势之一，就是各个学科领域都要求定量化、数学化，当然 模糊概念所面对的这种趋势也毫无例外地促使人们要寻求一种解决此类问题的新的数 学方法。而经过几十年的发展，模糊集理论及其应用研究取得了长足的进步。 自本世纪7 0 年代初，t a n a k a 教授和z i m m e r m a n n 教授提出模糊线性规划问题以来， 出现了许多种模糊线性规划模型及不同的求解方法，得到了许多有价值的结果。从求 解方法的角度看，模糊线性规划分为两大类：一是极值号或约束等号或不等号模糊的 模糊约束关系型线性规划，即所谓的可变规划问题：二是模糊系数型线性规划。但这 些问题都认为变量本身是分明的。然而，在工程问题平我们常常遇到求模糊线性规 划的最优解大约为多少或者是比较优越的解是多少? 运时的变量匣为模糊变量，相应 的规划问题就成为变量模糊的线性规划问题。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 1 1 。2 国内外现状分析 由于线性规划方法描述简单，又有成熟的软件来优化，因而在对模糊环境中决策 问题的描述和求解方法的研究中，许多学者多年来致力于模糊线性规划模型和求解方 法的研究。人们在工程技术、科学研究和经济管理的诸多领域中经常会遇到大量的不 确定性模糊现象，从而使得模糊规划成为解决带有模糊参数的优化决策问题的有力工 具，成为一项十分活跃的研究课题，受到了国内外学者的广泛关注。 文献1 3 讨论了一种具有模糊决策变量的线性规划问题；文献2 3 对一类具有模糊约束 的线性规划问题给出了一种求解方法；文献n 提出了一种模糊系数规划的定义，并给出 了求其模糊最优解的方法；文献二讨论了目标函数系数为模糊数的多目标模糊线性规 划问题。其中模糊集对于数学规划方法的贡献在于：一是模型的建立更符合实际，尤 其适合于不确定性参数的系统建模；二是为模型的求解带来了新的方法。到目前为止， 模糊优化作为模糊集理论的一个分支，内容已相当丰富。 模糊线性规划问题的分类与描述扫。： 传统的确定型线性规划问题由线性目标函数、线性约束和非负的决策变量来描述， 具有如下一般形式： = 三删 其中 c 7 = ( c l ，c 2 ，厶) ，a = ( 4 ，) 脚 b = ( 6 1 6 2 ，k ) 7 ，x = ( 为，x 2 ，矗) 7 模糊环境下线性规划问题的描述将取决于模糊性出现的形式。从求解的角度看，将 模糊线性规划问题分为以下三种情况： i ) 约束( 等式或不等式) 模糊型； i i ) 系数模糊型： i i i ) 决策变量模糊型。 对于第一类问题，文献婶j 提出了模糊线性规划对称模型的解法，文献。提出了模糊 线性规划非对称模型的算法； 对于第二类问题，利用模颧数排序准则。将模糊不等式转化为确定不等式是一个 研究热点。从2 0 世纪7 0 年代以来就有很多人发表了关于模糊数的比较和排序的方法。 例如：文献用左、右优势度作为排亭指标：文献f 1 8 用模糊距离测嚏进行排序；文献 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 n 9 3 用质心直接排序；文献锄3 利用极大和极小集通过模糊权重进行选择排序；文献3 基于分解定理和正负距离的模糊数排序；文献 2 2 3 以质心和原点之间的距离为对角线所 形成的矩形面积作为排序指标：文献噜3 3 利用物理上的旋转半径通过面积来对模糊数排 序；文献3 通过优先权重函数的数学期望进行模糊数排序；文献涵! 通过定义模糊数的 最近点从而对模糊数进行排序等。但至今也没有一个方法被公认是最好的。 而到目前为止，有关第三类问题通常都用多目标规划方法来求解j 。，但研究都还 不够成熟。下面我们就将对第三种模糊线性规划问题进行研究。 1 2 本文研究的主要内容与方法 1 2 1 主要内容 ( 1 ) 针对模糊数中最常见的三角模糊数，基于其线性特点，提出一种新的三角模 糊数排序方法，利用新定义的模糊序关系，将模糊规划问题转换成一个多目标线性规 划问题，从而简化问题的求解； ( 2 ) 针对模糊系数的线性规划，给出一些定理和命题以及相应的算法，在此基础 上无需将模糊规划问题转化为确定型线性规划就能得到满意的最优解，与传统方法相 比较更能满足决策者的需要。 1 2 。2 研究方法 ( 1 ) 研究三角模糊数序关系问题时，在区间数序关系的基础上进而提出模糊数的 序关系； ( 2 ) 通过研究确定型规划问题的各种求解方法，并对单纯形法加以改进，从而应 用于模糊线性规划问题； ( 3 ) 最后将新的三角模糊数序关系应用于具有模糊变量的线性规划问题和广义模 糊线性规划问题，并用算例加以说明其有效性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第二章三角模糊数及其排序 2 1引言 由于客观世界的复杂性，以及人们认识世界能力的不足和测量工具的误差，人们 经常会碰到信息不完备和不确定的情形。区间数正是为描述这种信息而产生的，由此 而来的关于区间数的排序以及基于区间数的不确定性问题已经引起大家的高度重视。 就区间数与三角模糊数的关系，利用模糊数的口一水平截集，可将区间数的排序方法推 广到模糊数的排序中。 2 2 基本概念及其性质 1 9 7 6 年r j a i n 在解决模糊决策问题中，首先提出了一种排序方法后，许多的研究 者相继提出许多的排序方法，涉及的排序指标有4 0 多种。虽然排序指标看起来差别很 大，但它们大体可以分为三类穗3 ： 1 将排序的每一个模糊量转化为实数，从而利用实数的自然序关系导出模糊量 的序关系； 2 先通过所有的模糊量构成一个参考集，然后将每一个模糊量与参考集进行比 较，进而确定模糊量的之间的序关系； 3 构造模糊量的模糊关系，通过该模糊关系实现模糊量的两两比较。 2 2 1 区间数排序 在实数集中，任意两个实数是很容易比较大小的。但对两个区间数要比较大小， 相对来讲困难一些。为了解决区间数之间的大小问题，可引入序关系，当然这种序关 系一般不为全序，现在来给出定义区间数之间的序关系定义。 定义2 1 两个区间数彳= 匦，a ，b = 垒，b 】，在它们之间定义序关系“s ”及“ ”【9 】： 彳_ 口口br a 一b 称b 不比彳差。 么 序关系“s ”就变成了实数集上的普通大小序关系 s 【1 0 】。 从定义1 可看出，序关系“墨”是一种偏j 芋关系，并且认为区间数彳和b 是可以 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 比较大小的。由于区间数本身并不存在自然的顺序关系，因而在不确定性决策中，如 果是用区间数表示选择或方案的某种度量，则必须首先确定区间数的序关系。而这种 序关系在数学上满足一定的合理性，下面给出区间数序关系的公理化定义 1 l l 。 定义2 2 设厶是实数域上的全体区间数， 是i r 上的二元关系，如果_ 满足下 列的六条性质，则称 为，。上的一种序关系： a 1 ( 自反性)a _ a ； a 2( 传递性)若彳_ b 且b c ，则彳 c ； a 3( 完全性) 对任意么，b ，。，则一定有彳 b 或召 a ； a 4 ( 分离性) 若a b ，则a _ b ； a 5( 相容性)若彳 b ，则当彳，b r 时，a b ； a 6 ( 线性性) 若彳一 0 ，一定有a + c o ) = s u p p a ； ( 4 ) 彳的核k e r j 是满足心( x ) = 1 的所有x x 的普通集，记为 互= xx x ，心( x ) = 1 ) = k e r 4 。 在我们运用模糊集理论处理现实问题的过程中，数据处理是其中不可避免的问 题。而这些数据本身带有模糊性，或希望用带有模糊性的数字来刻画。由此，模糊数 的概念及其运算被引入我们的研究。 定义2 6 若模糊集j 的隶属函数心 ) 在实数域r 上连续且具有下列性质： ( 1 ) j 是凸模糊集，即对任意口“o ，1 】，j 的口一截集五= x 陋( x ) 口) = 【么上似) a r ( 口) 】是闭区间； ( 2 ) j 是正则的，即存在办r ，使隶属度心( 办) = 1 。 则五被称为模糊数。 设五，( x ) ，峭a b c d + 。，隶属函数形如下： 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 p ：4 ( x ) = x - - a b q ， 1 a x | d c 。 o x 口，6 ) x 6 ，c 】 x e ( 岛川 易证l 也是f u z z y 数，称为梯形f u z z y 数，简记为( 口，b ，c ，d ) 。 特别地，五为： f x 一口6 一口，x e a ，6 】 j ( x ) = c x c - b ，x ( 6 ，c 】 10 ， 称为三角f u z z y 数，记为( 口，b ，c ) 。 为了使模糊数的运算更为方便，下面我们将介绍l - - r 模糊数。 定义2 7 设f 是r 到e 0 ，1 区间的映射f ：r e o ，1 ，如果厂满足以下条件： ( 1 ) f ( x ) = f ( - x ) ； ( 2 ) 0 ) = 1 ； ( 3 ) f ( x ) 在区间 0 ，+ ) 单调递减。 则称f ( x ) 为模糊数的基准函数。 定义2 8 设三( x ) 和r ( x ) 分别为模糊数2 4 的左右基准函数，如果 咪，惯 l ( h - 讹x 1 ) , x 要僦 则称j 为l r 模糊数，记为j = ( 力；，厂) 朋，其中h 称为j 的均值，r 称为五的左、右扩 散，也可记为j = ( 办一，h ，向+ ，) 。 性质2 2 1 6 1 设j = ( 口；，) 朋，雪= ( 6 ；聊，刀) 从，则 ( 1 ) 彳+ b = ( 口+ 6 ；，+ 所，+ 一) 朋； ( 2 ) 4 - 雪= ( 口一b ；l + m ，+ ，z ) 埘； ( 3 ) 磁= ( 加；肺，i 七l r ) 。月。 梯形模糊数和_ - - 焦j 模糊数都可以写成l - - r 模糊数的形式。三角模糊数的和、差仍 是三角模糊数。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 性质2 3 设j ，台，e 为三个模糊数，m r ，则 ( 1 ) 匀+ 雪：雪+ 匀： ( 2 ) ( j + 雪) + e = 彳+ ( 雪+ e ) ； ( 3 ) ，竹( j + 雪) = m x 五+ m x 。 2 2 3 三角模糊数的排序 从模糊集的定义和性质中知道，模糊集之间的顺序关系不再是通常意义下的全序 关系。采用不同的排序方法可能导致不同的排序结果，这就可能会改变对方案的选择。 因此我们在此对模糊集的排序方法进行一个简单总结和评价是很必要的，对我们之后 的研究也是有益的，现有的模糊数排序方法很多。 2 0 0 2 年，王绪柱：通过总结了目前有代表性的排序方法，结合原有的分类方法， 将模糊数的排序大体归结为三类： 第一类方法：通过一个映射f ：q 专r ( 实数域) ，将每一个模糊量五，转化为实数 尸( 互) ，然后比较f ( 五) f ( 互) ，f ( 元) ，得到互? 互，互之间的序关系为互i - a j f ( 互) f ( j ，) ，其排序指标f ( 互) 所涉及的模糊量仅为互，实质上是一种对模糊量互的 一种去模糊化。这类指标主要有：a d 锄。的指标2 引，y a g e r 的指标陟3 州，c h a n g 的指标跹 等等。 第二类方法：与第一类方法直接对模糊集进行去模糊化处理不同，是先通过 互，互，五建立一个或多个参考集，然后比较互与参考集的接近程度以导出排序指标， 这些参考集是综合所有待排序的模糊量后得到的，所以每个指标所涉及的模糊量有，7 个。例如：j a i n 方法1 3 2 】，c h e n 方法1 3 3 1 。 很多情况下同时对多个模糊集进行比较往往不切实际，因而两两比较成为非常常 用的方法之一，并由此产生了偏好构模理论。这种方法也被广泛应用于模糊集排序中， 即我们所说的第三类方法。 第三类方法：从可能性理论角度，导出模糊数的排序指标，通过构造待排序模糊 集互，a 。2 ，a 上的模糊关系，得到匀，和j ，的偏好程度通常使该关系满足某种传递性 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 从而确定整体序关系。一旦构造出了模糊关系r ( 互互) ，两两比较即告完成，接下来的 问题就是如何根据这些两两比较确定互，互，五的整体序关系。从文献资料来看，一 类方法是对每个互用最小运算( m i n ) 结合j r ( 互互) 得到最终排序指标： d ( f ) = m i n ( r ( a , a 1 ) ，r ( 4 4 ) ，r ( 44 ) ) ，i ； 另一类方法是将成对比较推广为它的甩元形式；更常用的一类方法是在构造模糊关系 时使其满足某种传递性，再根据该性质去确定整体序关系。例如：n a k a m u r a 方法， y u a n 方法1 3 5 1 。 2 2 4 模糊排序方法的评价准则 2 6 1 目前已有的模糊量排序方法众多，但由于每个排序指标都是从不同的侧面来描述 模糊量的状态，不同的方法在对待同一问题时也可能产生不同的结果，那么在实际应 用中就各有利弊，从而具有一定的片面性。因此，我们就面临着对排序方法本身的选 择问题，如何客观地评价模糊集排序方法呢? 为了全面讨论所有排序方法的合理性， 我们根据模糊量的数学含义及决策的实际问题要求提出了一系列合理的排序性质以规 范排序指标所确立的序关系。 这些性质主要包括： ( 1 ) 序关系的完全性，即五始与雪场至少有一者成立； ( 2 ) 不相交模糊量的性质，即若i n f s u p p j s u p s u p p 1 ( s u p p 表示匀的支集) ，则 有j 些； ( 3 ) 不相关模糊量的独立性，即若 j ，雪) 中有互曲，则在 五，b 。? e ) 中仍j 曲； ( 4 ) 序关系的传递性，即如果j 曲且雪誓，则五錾； ( 5 ) 对加的相容性，即若 五杏 中有j 曲，则 j + e ，雪+ e ) 中有j + e 錾+ e 。 我们将按此标准在本文中对本文所给出的排序方法予以衡量。 2 3 基于优先关系的三角模糊数排序 对于任意模糊数j ，其么一截集是闭区间【爿( 旯) a 尺( z ) 】( 五【o 1 】) 。 定义2 9 设五、雪为两个三角模糊数，如果对于任意的么 0 1 ，a 上( 名) 猡似) ， 彳r ( 五) b 月( 五) ，则称j 优于雪。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 由于在大部分情况f ，条件么( 旯) b ( 旯) ，彳“( a ) b “( 五) ，v 旯 0 ，1 】并小i 刊时 都成立。为此，根据三角模糊数的特点，考虑对两个三角模糊数五、雪峰值的左、右 边分别进行比较，然后再综合。于是，在a 一截集下，考虑左边的情形，令 ( 彳占) = ，五：( 五卜胪( ) 卸【彳l ( a ) 一b ( a ) 】d 旯； ( 1 ) 考虑右边的情形，令 & ( 彳b ) = ，五：( 五卜舻( a ) 卸【彳r ( 五) 一b 月( 旯) 】d 五； ( 2 ) 同理：咒( b 4 ) = ，z ：矿( 五) 一( 五) 卸 b ( 见) 一彳( 五) 】d 旯； ( 3 ) & ( b 彳) = ，i ：胪( z 卜( z ) 卸 b r ( 旯) 一彳月( 五) 】d a ； ( 4 ) ( x ) 如图所示，从几何意义上来说： 疋( 彳b ) = s 表示模糊数五的左边部分优于模糊数雪左边部分的面积； 叉( 么召) = 墨表示模糊数j 的右边部分优于模糊数台右边部分的面积； s l ( b 么) ：s z 表示模糊数雪的左边部分优于模糊数五左边部分的面积； s r ( b 彳) = s 表示模糊数雪的右边部分优于模糊数五右边部分的面积。 基于以上分析，我们把模糊数j 优于模糊数台的指标分别定义为： s ( a2b ) 2 - 轧( a b ) 一s r ( 彳b ) ： s ( b 么) 2r f b 么) 一s 门( b a ) ； ( 5 ) ( 6 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文 第11 页 由此，得刽序夭糸为： j 苎雪营s ( a b ) s ( b 4 ) 0 f 么( 旯) + 彳只( 旯) m 一上 b ( 五) + b 尺( 五) 】d 五o 彳+ i ( a + j ) 一( b + 晏( 垦+ 否) ) o ( 7 ) 营彳+ 2 ( a + _ ) 揶+ 圭( 旦+ - ) ) 或当4 + 丢( + ) = b + 圭( 查+ - ) 时，么b 。 定理2 1 对于任意五，雪尸( 尺) ，由( 7 ) 式给出的关系为，( r ) 上的全序。 证明：自反性由公式( 7 ) 很容易得出，对于任意模糊数j ，都有五墨j ； 反对称性匀己雪且台三j e = s ( 彳b ) 一s ( b a ) 0 及s ( b a ) 一s ( 么b ) 0 s ( 彳b ) - s ( b 彳) = 0 五台； 传递性五兰雪且台三e s ( 么b ) 一s ( b 爿) 0 ，s ( b c ) 一s ( c b ) o ，则 s ( 爿) 一s ( c 4 ) cs ( c a = e 【a ( z ) 4 - a r ( 五) 】d 旯一e c 2 ( 五) + c r ( a ) d a s ( 爿) 一 2 【。( z )“( 五) 】d 旯一【 ( 五) + c “( = f 么工( a ) + 么r ( 五) d 五一上【b 上( 五) + b 月( 五) 】d z + 加锄) ( 硼d z f ( 卅c ) m o 五三e ， 即五三台且雪三ejj 三e ； 可比较性s ( a b ) 一s ( b a ) = f 【彳( 五) + 彳r ( 旯) 】d 五一f b 7 ( 兄) + b 只( 力) 】d 五 = 一( f b ( 力) + b r ( 五) 】d 五一f 彳2 ( 五) + 么只( 旯) 】d 旯) = 一( s ( b 爿) 一s 0 b ) ) ； 所以，对于任意的五雪，必有s ( 4 b ) - s ( b 4 ) 0 或s ( g 爿) 一s ( a b ) 0 ， 即必有j 曲或雪西。 定理2 2 证明满足2 2 3 给出的模糊排序合理准则的5 条性质。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第12 页 ( 1 ) 序关系的完全性，即五曲与否至少有一者成立。模糊数的比较依据实数的 大小比较，因此完全性显然成立。 ( 2 ) 不相交模糊量的性质，砉：i n f s u p p s u p s u p p 吾( s u p p 4 表示五的支集) ，则 有五曲。由公式( 7 ) ，此性质显然成立。 ( 3 ) 不相关模糊量的独立性，即如果 五，岛中有j 錾，则在 j ，雪，e ) 中仍有j 些。 证明： j ，雪 中有j 三百，即r ( a ，b ) = s ( 么b ) 一s ( b 爿) 0 ， 则在 彳，台，e ) 中，当r ( a ，c ) 2 0 ，r ( c ，召) 0 ，由传递性有尺( 彳，b ) 0 ； 当r ( a ，c ) 0 ，r ( b ，c ) 0 ，有灭( 么，b ) 0 ； 当r ( c ，a ) 0 ，r ( c ，b ) 0 ，、有r ( 4 ，b ) 0 。 ( 4 ) 序关系的传递性，即如果匀曲且雪錾，则j 錾。由( 3 ) 的证明过程中知，当 五鲞时添加新元素0 ，在 彳，云，西中仍有j 鲞；又因为秀錾，添加新元素j ，在 j 雪，e ) 中仍有台錾，综上所述所以五錾。 ( 5 ) 对加的相容性，即如果 j ，雪) 中有j 猫，则 j + e ，雪+ e ) 中a 。+ c 。一 - b 。+ e 。 证明： 五，雪) 中有j 三雪，即r ( a ，b ) = s ( 彳b ) 一s ( b2 彳) 0 ，则在 五+ e ，雪+ e ) 中， r ( a + c ，召+ c ) = s ( 彳+ c b + c ) - s ( b + c 么+ c ) o ，从而j + e 三台+ e 。 2 4算例 设3 对待排序的三角模糊数分别为： ( 1 ) j = 0 2 ，0 4 ，0 9 ：，雪= e o 5 5 ，0 6 5 ，0 7 5 ，e = e o 1 ，0 4 5 ，0 6 5 ； u c x ) acb 您 以 糟、 0 0 20 4 0 60 81 0x ( 2 ) j = 1 0 3 0 3 ，1 j ，雪= 0 1 ，0 8 ，1 ； 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 d ( x ) 五a 以 00 20 40 6 0 8 1x 00 20 40 60 81x 现在通过本文给出的亭关系对以上模糊数进行排亭，得到：( 1 ) 雪 - j - e ； ( 2 ) b - 4 ：( 3 ) b 4 。 2 5本章小结 关于模糊数排序的方法很多，至今已经有许多基于优先关系的模糊数的比较与排 序方法被提出。本章是在参考文献1 的基础上加以改进，从而得到一种新的三角模糊 数的排序指标，然后证明了它是一种模糊序关系。最后，通过算例也说明了该方法的 可行性和有效性，并且和文献 2 1 j 中的方法相比，在求解同一问题时，新排序方法也可 以给出相同的排宁结果。 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 第三章具有模糊变量的线性规划问题研究 3 1引言 传统的确定型线性规划问题由线性目标函数、线性约束和非负的决策变量来描述， 具有如下一般形式： f m a ) 【c7 x 1 豇d x - - 0 其中么= ) 。为脚刀阶矩阵，c = ( q ) 。为刀维清晰型行向量，6 = ( 五) 删为所维模糊 数列向量，更= ( 叠) 删为刀维模糊变量，、巳( f - 1 2 ，m ；，= 1 2 ，力) 为清晰系 数，巨( i = 1 ，2 ，聊) 为模糊常数，曩( ，= 1 ，2 ，力) 为模糊变量。设文，、骞( - 1 2 脚： j = 1 ，2 ，玎) 为三角形模糊数： i = ( 苎，x ，工j ) ， = 1 2 行 西南交通大学硕士研究生学位论文 第15 页 匆= ( 垒，匆，b ，) ， i = l ，2 ，m 其中x j 、勋( = 1 ，2 ，胛) 及包、色、b ，( i = 1 ，2 ，m ) 均不小t - o 。 0 x 二x - - jj 一 少 工j 0 垒， 6 ， 髟和6 ，的图示 3 2 2 模糊数的序关系 在第二章基于优先关系的模糊数排序方法的基础上，根据三角模糊数的特点，考 虑对两个三角模糊数j 、雪的左、右边分别进行比较，则可以写成如下这样的形式： j 三雪s l ( a b ) 一墨( b2 么) 0 ， a b ， s r ( a 曰) 一靠( b 么) o 其中，s z ( a b ) 一曼( b 么) o 表示模糊数j 的左边部分优于模糊数台的左边部 分，且 ( 么2 b ) 一乳( 召a ) o 营，z ：( 五) 一矿( z ) o 么工( a ) - b 上( 欠) d 五一j 五：矿( z 一( zj 卸【b 。( 五) 一彳上( 五) 】d 五o j 1 ( 彳+ 4 ) 一( 三( b + 鲥。彳+ 4 b + 垦； 同理，s r ( a b ) - s 月( b 彳) 2o 表示模糊数j 的右边部分优于模糊数雪的右边部 分，且 s r ( 彳b ) 一s 】r ( b a ) 之0 铮，i ：( z 卜矿( 五脚 彳尺( 么) 一b 月( 五) 】d 五一，二：胪。二，。z 1 2 0 b 8 ( z j 一彳月( 五) d z 0 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 三( 彳+ _ ) 一专( 口+ 否) ) o 彳+ j 召+ 一b 。 从而，我们可以把模糊数五优于模糊数雪的指标定义为： a 艺b ，a + 一a b + 垦， a b ，a4 - a b + b 3 2 3 原问题的等价描述及求解过程 下面研究上述规划f z j 题：模型( 1 ) 等价于 m a x 2 = ( 9 ，_ ? c ，_ ，c ，i ) j = lj = l，= l s 7 ( z o ! x _ l ，一z a q i ) 墨( 生，6 ，瓦) j 掌i ，= j，= j ，x ，) 兰o i = 1 ，2 ，研 由( 2 ) 式三角模糊数的排序及其运算，模型( 2 ) 可转化为： m a x z = c j x ， j = l 。 m a x 2 = 巳_ ， m a x 一2 = f ，i j = l ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) s f z ( a 。一x y + a v x j ) ( 堡+ 6 j ) x j 匆 j = l ( _ + i ) ( 匆+ 虿) ，= i ，t j ) 0 ，- ，一x ，0 一0 i = 1 2 ，m 显然模型( 4 ) 是一个具有三个目标的多目标线性规划问题，可用一般多目标线性 规划的方法求解。由模糊数的“大”“小”知识得：要使三角模糊数( c ，x ，9 ，t ， i = i l = l 巳i ) 最大的关键在于应使c ，一，尽可能大， = 1j = l 然后尽量c ，一，及c ，i 大。换而言 j = l 一 i = 1 之，前者目标具有更高的优先级，后两个目标具有相同的优先级因此把问题( 4 ) 看成 具有两个层次的多目标线性规划问题，且第一层线性规划问题为： 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 弋_ m a x z 2 乙cj xj ， j = 1 s 7 ( x _ l + 一) ( 生+ 匆) x ，6 j j = l ( _ + 气i ) ( 参+ 虿) j = l ( 誓，x s ，x j ) 0 ，一_ ，o , x s 一0 i = 1 ，2 ，z 易求得( 5 ) 的最优解，设为歹= 12 ，玎。 第二层次多目标线性规划问题为： m a x 互= f ，一， j = l 。 m a x 三= 巳i 豇 ( x ，+ x ，) ( 生+ 匆) j = l 。 ( 口，t ，+ - ) ( 匆+ 虿) j = l ( x ，? ) o ，x 一誓，o ，0 一x j 0 i = 1 ，2 ，” 求得( 6 ) 的最优解为_ 了y = l2 ，? 。 故原问题的最优解为x = ( x i , x j 一x j ) j = l2 ，刀。 3 。3 模糊规划的单纯形法 3 3 1 单纯形法的改进 按照单纯形算法原理求解时有以下主要特点1 3 7 1 ： ( 1 ) 从初始的基本可行解开始迭代； ( 2 ) 每次迭代有且仅有两个变量在交换入基变量及出基变量； ( 3 ) 目标函数随迭代逐次减少： ( 5 ) ( 6 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 ( 4 ) 要经过k 次迭代求得最优解，则k 的大小与选取入基变量的准则有关。因此， 入基变量的选择准则就成为单纯形算法的关键。 对本文提出的模糊规划问题( 1 ) 引入模糊松弛变量露小毫珈露+ 。，将其化为标 准形式如下： m a x 三= c f q + 乞置+ + g 磊+ o 羹+ l + + 0 最+ 。 口1 l 墨+ + 口l 。毛+ 霸+ 1 = b l a 2 1 x 。1 + + 口2 。元+ 焉+ 2 = 如 ( 7 ) 口。1 舅1 + + a m y c , , + 露+ 。= 屯 曩o ( j = l ，2 ，刀，n + l ，玎+ m ) 模糊松驰变量五舻元彩彝+ 。的系数列向量是( 7 ) 的系数矩阵的一个最大无关组， 故可取( 元+ 。霸+ ：露+ 。) 7 。作为初始的一组模糊基变量。然后，分以下几步求解直至求出 模糊最优解。 3 3 2 求解过程 1 、由( 7 ) 的系数增广矩阵和目标函数中各系数反号列出如下单纯形表，最后一 行称为柃验数： 表1 一c l 一c k 一q 0 0 0 基变量 墨露 氟元+ 。 曩+ ： 露+ 。 0 元+ 16 1a l la l 女a l 。 1 00 0 曩+ 2 6 2a 2 la 2 a 2 。0 10 0 孓。| b l a l ln i k n呐0 10 0 元+ 。6 。口小1 口袱口。0 0 1 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 表1 体现了当模糊基变量( 露+ 。元+ ：磊+ 。) 7 = ( e ，匠，瓦) r ，而模糊非基变量 ( 墨，x 2 ，霸) 7 1 = o 时得到的可行解为模糊基本可行解，且三的值为0 ，只要检验数中有负 数就可进行换基迭代改进结果，使三的值增大。