基于MATLAB的蔡氏电路混沌演化研究-最终版.doc

基于基于 MATLAB 的蔡氏电路混沌演化研究的蔡氏电路混沌演化研究 物理与机电工程学院物理与机电工程学院 07 物本物本 2007050211 黄权黄权 指导教师指导教师 吕晶 助教 吕晶 助教 摘要 本文简要介绍了混沌及其特征 产生的机理和条件 并从理论分析与本文简要介绍了混沌及其特征 产生的机理和条件 并从理论分析与 MATLABMATLAB 仿真仿真 两个角度分别研究了简单蔡氏电路混沌现象演化过程 研究结果表明 蔡氏电路中元件参数影响电路两个角度分别研究了简单蔡氏电路混沌现象演化过程 研究结果表明 蔡氏电路中元件参数影响电路 混沌状态的演化 随着线性电阻阻值的减小电路状态大致经历 稳定态 周期态 混沌态 负阻尼振混沌状态的演化 随着线性电阻阻值的减小电路状态大致经历 稳定态 周期态 混沌态 负阻尼振 荡态 荡态 关键词 蔡氏电路 混沌演化 蔡氏电路 混沌演化 MATLABMATLAB 仿真仿真 1 目 录 1 前言 2 1 1 非线性科学概述 2 1 2 混沌与非线性电路 2 1 3 本论文的主要内容和意义 2 2 混沌基础理论及其应用 2 2 1 混沌的含义 2 2 2 混沌的主要特征 3 2 3 混沌运动的数值判定 3 2 4 通向混沌的通道 3 2 5 混沌的主要应用 4 3 简单蔡氏电路设计及模型分析 5 3 1 蔡氏电路的提出 5 3 2 蔡氏电路的特点 5 3 3 简单蔡氏电路设计及电路模型 5 3 4 简单蔡氏电路数学模型及其分析 7 4 基于 MATLAB 的蔡氏电路仿真及结果分析 8 4 1 仿真软件选择 8 4 2 仿真算法 9 4 3 仿真结果分析 9 4 3 1 稳定态 9 4 3 2 周期态 10 4 3 3 混沌态 10 4 3 4 负阻尼振荡态 11 4 4 仿真结果讨论 12 5 总结 12 致谢 13 参考文献 14 2 1 前言 1 1 非线性科学概述 非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科 产生于 20 世纪六七十年代 其标志是 洛伦兹的论文 确定论的非周期流 揭示了确定性非线性方程存在混沌 Chaos 查布斯基和克鲁斯卡 尔通过计算机实验发现孤立子 Soliton 芒德勃罗发表 分形 形态 机遇和维数 一书 创立了分形 Fractal 理论 混沌 孤立子 分形代表了非线性现象的三大普适类 构成非线性科学的三大理论 1 非线性科学的发展标志着人类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象 非线性科学中的混沌 理论被认为是20世纪继相对论 量子力学之后的又一次革命 2 分形几何是继微积分以来的又一次革命 孤立子理论则预示着物理学与数学的统一 由于学科的交叉性 非线性科学和一些新学术如突变论 协同论 耗散结构论 3 有相通处 并从中吸取有用的概念理论 但非线性现象很多 实 际的非线性科学只考虑那些机制比较清楚 现象可以由实验观测 且通常还有适当的数学描述和分析工具的研究领域 随着科学技术的发展 这个范围将不断扩大 1 2 混沌与非线性电路 混沌是非线性系统的固有特性 是非线性系统普遍存在的现象 是指发生在确定性系统中的貌似随 机的不规则运动 一个确定性理论描述的系统 其行为却表现为不确定性 不可重复 不可预测 这 种不可预测性迫使人们重新审视过去的研究 也唤起了人们极大的研究兴趣 混沌现象的研究 成了 当今学术界研究的热点课题之一 4 非线性电路是指含非线性元件的电路 如二极管 三极管 电感 电容等 混沌现象是非线性电 路的一个基本特征 20世纪20年代 荷兰人B 范德坡尔描述电子管振荡电路的方程成为研究混沌的 先声 随着高精度电子器件的广泛应用 电路中出现了大量的非线性现象 已有的线性电路理论无 法解释非线性电路的行为 又不能指导非线性电路的分析与综合 于是有关非线性电路的理论研究迅 速展开 非线性电路中的混沌现象研究也开始兴起 非线性电路中混沌及混沌同步应用研究的重要途径 之一 5 1 3 本论文的主要内容和意义 混沌和非线性电路都是现代科学和技术研究的热点 本论文主要介绍 混沌的基础理论和研究 方法 并通过非线性中最典型的蔡氏电路 了解非线性电路的特点及用于 利用MATLAB仿真一 种简单的蔡氏电路混沌现象的演化过程 直观的了解混沌现象的基本特征 掌握控制和利用混沌现 象的基本思路 研究结果表明 改变 电路中可变电阻的阻值 可以看到 电路混沌状态的演化 大 致含四个状态 稳定态 周期态 混沌态 负阻尼振荡态 3 2 混沌基础理论及其应用 2 1 混沌的含义 我们这里所说的混沌是指确定的宏观非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随 机现象 这里包含几个要点需要说明 首先 混沌现象是 确定性系统 的一种 内在的随机性 是由 确定性 内在的原因产生 是不规 则的不能预测的行为 不同于可能由系统外部引入的不确定的随机影响 如噪声 而产生的外部随机 性 其次 对系统的要求必须满足两个条件 第一是确定性的系统 它的物理量随时间的变化是一个 确定性质的常微分方程组或差分方程组所决定的 只要给定了初始条件 它的解 或称为运动轨道 就是唯一确定的 第二必须是非线性系统 只有描述非线性系统的 非线性交叉耦合作用 非线性系 统在一定的临界性条件下才表现出混沌现象 再次 一定的条件下才能呈现混沌现象 非线性系统在一定的临界性条件下才表现出混沌现象 才导致其对初值的敏感性 才导致内在的不稳定性的综合效果 2 2 混沌的主要特征 虽然目前科学上对混沌没有确切的定义 但随着研究的深入 人们已经了解了混沌的一系列 特征 表 2 2 1 给出了混沌现象的主要特征及特征的描述 6 表 2 2 1 混沌现象的主要特征及 其描述 特征特征描述 有界性它的轨线始终局限于混沌吸引域 从整体看混沌系统是稳定的 内在随机性无需任何随机因数 却会出现类似随机性的行为 遍历性有限时间内混沌轨道经过混沌区内每一个状态点 分形的性质lorenz 吸引子 Henon 吸引子都具有分形的结构 标度不变性一种无周期的有序 由分岔导致混沌的过程中 遵从 Feigenbaum 常数系 初值敏感性 只要初始条件稍有偏差或微小的扰动 则会使得系统的最终状态出现巨大的差异 因此混 沌系统的长期演化行为是不可预测的 2 3 混沌运动的数值判定 混沌运动是一种始终局限于有界区域且轨道永不重复的 状态复杂的运动 混沌运动具有通常 确定性运动所没有的几何和数值特征 如局部不稳定而整体稳定 混沌吸引子 正的李雅谱诺夫 Lyapunov 指数 连续功率谱 分数维 正的测度熵等 7 本文利用 Lyapunov 指数来判断混沌运动 下面简单介绍 Lyapunov 指数 Lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标 它表征了系统在相空间中相邻轨道间 收敛或发散的平均指数率 若 Lyapunov 指数小于零 则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点 这对 应于稳定的不动点和周期运动 若指数大于零 则意味着相邻点最终要分离 这对应于轨道的局部不稳 定 一个正的 Lyapunov 指数 意味着在系统相空间中 无论初始两条轨线的间距多么小 其差别都会随着 时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测 这就是混沌现象 对于系统是否存在动力学混沌 可 以从最大 Lyapunov 指数是否大于零非常直观的判断出来 如果轨道还有整体的稳定因素 如整体有界 耗散 存在捕捉区域等 则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子 指数越大 说明混沌特性越明显 混沌程度越高 2 4 通向混沌的通道 混沌是系统处于非平衡过程中所呈现的随机行为 由非平衡过程进入混沌状态有几种通道 主要 有倍周期分岔道路 阵发性混沌 茹厄勒 塔肯斯道路 准周期过程 剪切流转换 湍流道路等 8 目 前研究得较为深入的有如下三种 1 倍周期分岔进入混沌道路 4 迭代是产生混沌的一种数学模式 下面是一个迭代方程 称平方映射 是 0 4 之间的任意常数 2 4 1 1 1nnn xxx 在迭代的过程中 系统会进入一种周期状态 它在一定的条件下 系统经倍周期分岔 就会逐步丧 失周期行为而进入混沌 我们发现 当小于 3 时 无论初值是多少经过多次迭代 总能趋于一个稳 定的不动点 当大于 3 时 随着的增大出现分岔 迭代结果在两个不同数值之间交替出现 称 k 之为周期 2 循环 继续增大会出现 4 8 16 32 周期倍化级联 很快在左右就结束了周kk58 3 期倍增 迭代结果出现混沌 从而无周期可言 表 2 4 1 内列出了几个初始分岔的 值 图 2 4 1 画出了迭代的终态值1 n x 随 值的变化图 图 中 21 为各次2 n 周期的分岔点 21 RR 为与2 n 周期的超稳定点与x 1 2 间的距离 表 2 4 1 平方映射的分岔值 3 5688 3 5699 xn 1 01 轨道2 轨道4 轨道8 轨道16 轨道 混沌 图 2 4 1 平方映射2 n 周期分岔曲线 2 阵发混沌道路 阵发混沌原指湍流理论中用来描述流场中在层流背景上湍流随机爆发的现象 表现为层流 湍流 相交而使相应的空间域随机地交替 在混沌理论中主要是借助于阵发性概念来表示时间域中系统不规 则行为和规则行为的随机交替现象 具体来说 阵发混沌是指系统从有序向混沌转化时 在非平衡非 线性条件下 当某些参数的变化达到某一临界阈值时 系统的时间行为忽而周期 有序 忽而混沌 在两者之间振荡 有关参数继续变化时 整个系统会由阵发性混沌发展成为混沌 阵发混沌最早见于 洛伦兹模型 然而较详细的研究均是在一些非线性映象上作的 阵发混沌与倍周期分岔所产生的混沌 是孪生现象 凡是观察到倍周期分岔的系统 原则上均可发现阵发混沌现象 3 茹厄勒 塔肯斯道路 茹厄勒 塔肯斯道路是由茹厄勒和塔肯斯等人为了取代朗道 Landau L D 关于湍流的假设 针对 朗道的 论湍流问题 在合写的 论湍流的本质 这篇论文中提出的 当系统内有不同频率的振荡 互相耦合时 系统就会产生一系列新的耦合频率的运动 按照朗道关于湍流发生机制的假设 那么混 沌 湍流 可视为无穷多个频率耦合的振荡现象 由于这个假设最终仅停留在对湍流图像性的解释上 无法解决流体在何时出现湍流行为 后来菇厄勒和塔肯斯等人发表了对湍流现象的新看法 认为根本 不需要出现无穷多个频率的耦合现象 甚至只要出现3个互相不可公度的频率 系统就会出现混沌 湍 流 这就是菇厄勒 塔肯斯道路 需要指出 尽管这条通向混沌的道路提出较早 但与倍周期分岔道 路和阵发混沌道路相比 其规律性仍知道的较少 例如关于突变点附近的临界行为的研究还不够充分 目前尚不清楚这里是否也存在着普适的临界指数 这些已引起了人们的关注 总之 除上述三种通向混沌的道路之外 还有如等许多产生混沌的方式 2 5 混沌的主要应用 虽然混沌的出现使我们无法对确定系统的长期行为进行预测 但可以利用混沌规律对系统的短期 行为预测 这比传统的统计学方法更有效 因此 混沌有着广泛的应用 5 利用Lorenz方程 指出了长期天气预报的困难 这一点可以用 蝴蝶效应 加以形象地说明 对非 线性振动系统 9 非线性电路系统 10 等物理体系存在的混沌现象研究 成就了混沌控制理论 11 特别 是近几年 混沌理论的应用迅速发展 在许多方面都取得了一定的成果 如通信技术方面 混沌信号 的类随机性以及产生方式简单等特点 使其在保密通信方面显示出得天独厚的优越性 12 混沌理论在医 学方面也得到应用 国内外将混沌理论用于医学研究的报导主要限于脑电 心电方面以及在心脑血管 学流动力学方面的应用 13 15 混沌特征参数是现有的功率谱参数更敏感的指标 模式识别方面 可利 用混沌轨迹对初始条件的敏感依赖性这一特点 通过混沌动力学系统构成模式识别系统 16 在图象数 据压缩方面 把复杂的模式作为简单的混沌动力学系统的吸引子再现出来 把复杂的图象数据用一组 能产生混沌吸引子的简单动力学方程代替 此时只需要记忆存贮这组动力学方程组的参数 相对于原 始图象数据 数据量大大地减少了 从而实现了图象数据压缩 17 随着人们对混沌理论研究的进一步深入 混沌理论与许多工程领域相互结合 产生各种新颖的理 论和技术 18 例如 混沌生物工程学 混沌图象处理技术 混沌控制理论 混沌噪音理论 混沌经济 学 计算机非线性分析理论和技术等 此外 还有混沌艺术 混沌音乐 混沌医学等崭新的学科领域 混沌理论作为一门新兴的理论 越来越受到人们的重视 它的应用领域不断地扩大和深入 随着混沌 科学和相应科学的不断发展 混沌理论的应用将具有极其广阔的前景 3 简单蔡氏电路设计及模型分析 3 1 蔡氏电路的提出 蔡氏电路是一个典型的混沌电路 最早由著名华裔科学家 美国加州大学蔡少堂教授设计 他证 明了在满足以下条件时能够产生混沌现象 19 1 非线性元件不少于1 个 2 线性有效电阻不少于1 个 3 储能元件不少于3 个 根据以上条件 在图3 1 1中给出蔡氏电路方框图 图中R为线性有效电阻 L C1 C2为储能元件 RN为非线性元件 图 3 1 1 蔡氏电路方框图 3 2 蔡氏电路的特点 蔡氏电路中的非线性元件可用多种方法实现 电路的主要特点也与 RN有关 蔡氏电路的运动形 电压控制非线性元件 RN的驱动点特征应符合至少有两个不稳定平衡点的要求 因此 蔡氏电路至少 是三阶以上的自洽电路 因元件参数值的不同而有本质的不同 可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在 不同的状态 现以图 3 1 1 为例 假设非线性元件为蔡氏二极管 L C1 C2为线性储能元件 说明电 路的状态与电路元件参数的关系 假设以线性电阻 R 为控制参量 R 将线性元件 L 连接在 2 C C1 RN两端 蔡氏二极管是放能元件 只有 R 是耗能元件 不断地改变电阻 R 的数值 可以得到各 种周期相图和吸引子 6 3 3 简单蔡氏电路设计及电路模型 下面我们按图 3 1 1 设计一种简单蔡氏电路如图 3 3 1 电路元件参数见表 3 3 1 电路中非线性 电阻采用一个运算放大器 LM741 两个二极管 LN4148 和七个电阻组成 为了观察混沌现象的演化过 程 线性电阻 R 采用可变电阻 调节范围 0 3k 图 3 3 1 简单蔡氏电路结构图 a 电路框架图 b 非线性电阻RN等效电路图 表 3 3 1 电路元件具体参数 元件r 1 C 2 CL 1 R 32 RR 4 R 6 R 5 R 7 R EC VV 参数 20 10nF100nF18mH3 3k22 k2 2k 220 1 85V 下面分析非线性电阻的伏安特性 非线性电阻中的运算放大器LM741工作在线性放大区域中 由它 及和其相连的电阻组成线性负阻 运放本身并没有产生非线性 非线性的产生是通过调节电阻R 的阻值 改变二极管和的状态来改变的大小实现的 1 D 2 D 1c u 当二极管和都截止时 AB 两点的电压为 1 D 2 D 3 3 1 755 644 RRRVV RRRVV CB EA 下面将调节电阻 R 实现对二极管和状态与非线性电阻输出端状态列表 3 3 2 1 D 2 D 表 3 3 2 电阻 R 对二极管和状态与非线性电阻输出端状态控制表 1 D 2 D 条件二极管和状态 1 D 2 D非线性电阻输出端状态 1BDC VVEV 截止 导通 1 D 2 D 31 2 51 0 1 RR R RV i m C EVC 1 截止 1 D 2 D 31 2 1 1 RR R V i m C EVC 1 导通 截止 1 D 2 D 0 31 2 41 2 1 m RR R RV i m C 注 为二极管导通电压 为电容两端的电压 D V 1C V 1 C 这样 电流 对于电压的函数可以表示为 i 1C u 3 3 2 EummEum Euum EummEum Vi cc cc cc C 10110 111 10110 1 式 3 3 2 一般可以表示为 2 3 3 3 110111 EuEummumui cccoc 7 这样就可以得到如图 3 3 2 所示的非线性电阻 RN伏安特性曲线 整个曲线为折线型 转折点处可 能会出现电路状态的变化 图 3 3 2 非线性电阻RN伏安特性曲线 这样 这个简单的蔡氏电路的电路模型就列出来了 3 3 4 Lc L Lcc c cRcc c riu dt di L iRuu dt du c uiRuu dt du c 2 21 2 2 112 1 1 其中为电容 C1 两端的电压 为电容 C2 两端的电压 为电感 L 的电流 1c u 2c u L i 3 4 简单蔡氏电路数学模型及其分析 取 x1 x2 x3 a m1R b m0R 其中 x1 1c u 2c uRiL 2 CRiL LCRCC 2 2 12 x2 x3为系统状态变量 自变量为为时间 x1 x2 x3分别对求导 可以得到电路的数学模型 3 4 1 23 3212 1121 xx xxxx xfxxx 其中 f x1 1 1 1 Ebabx ax Ebabx Ex Ex Ex 1 1 1 注 式中微分都是相对变量 这样 式 3 4 1 可以化为 3 4 2 0 0 0 111 0 1 3 2 3 2 1 1 xf x x x x x x 令 X 考虑到平衡态 X 0 即 T xxx 321 8 3 4 3 0 0 0 31 2 11 xx x xfx 根据 f x1 的不同形式 在R3的三个子空间 3 4 4 ExxxxD ExxxxD ExxxxD 13213 13212 13211 式中有唯一的平衡点 分别是 其中 3 4 5 1 0 1 0 0 0 0 0 DkkP D DkokP 1 b Eab k 在三个子空间中 式 3 4 2 为线性方程 令 3 4 2 可改写为 T kkK 0 3 4 6 X 1 0 1 DXKXbA DXXaA DXKXbA 其中 00 111 0 1 c cA 注 在子空间中 子空间和中 电路的平衡点在外部区为 0 Dac 1 D 1 Dbc P P 在内部区为 0 根据前面电路的参数可以求得 分别为 10 16 由此得出三个子空间中的平衡点都是鞍点 到目前为止 还不知道系统是否会出现混沌现象 还 需要进一步判断 Lyapunov 是指数判断系统混沌现象的最常见方法 它能够定量地描述动力系统在相 空间中相邻轨道的发散程度 若动力系统在一定区域内的第一个 Lyapunov 指数 0 则动力系统在 1 这个区域上出现混沌现象 并且对于初值是敏感的 在平衡点处的局部区域内计算以上蔡氏电路的第一个 Lyapunov 指数 可以得到 可83 3 1 见 0 蔡氏电路的运动处于混沌状态 1 4 基于 MATLAB 的蔡氏电路仿真及结果分析 4 1 仿真软件选择 对于蔡氏电路仿真软件一般用 EWB Pspice Matlab VB 等等 20 软件选择很多 但都不完美 表 4 1 1 列出了一些软件在蔡氏电路仿真方面的应用情况 表 4 1 1 蔡氏电路仿真软件特点对比一览表 软件名称功能原理图电路原理图波形图相图频谱图管理界面 9 Protel最好最好好无好无 Pspice好好好好很好无 EWB好好好很好很好无 VewSyste m 好好好很好很好无 Matlab很好无很好很好编程编程 VB无无编程技巧编程技巧编程编程技巧 VC无无编程技巧编程技巧编程编程技巧 综合以上数据及个人能力 我们选择了 MATLAB 4 2 仿真算法 式 3 4 1 是非线性微分方程组 需要用数值方法求解 一般地 四阶龙格 库塔算法 21 是求解这 类方程的基本算法 其算法思想如下 基于 Taylor 级数展开的方法 利用 f 在某些点处函数值的线性组合构造差分方程 从而避免高阶 导数的计算 按微分中值定理 4 2 1 10 1 hxyhxyxy iii 利用微分方程 得到 xyxfxy 4 2 2 1 hxyhxhfxyxy iiii 这里称作区间上的平均斜率 hxyhxfK ii 1 ii xx 因此只要对平均斜率提供一种算法 便可以得到一个微分方程的数值计算公式 如果 K 在上多预置几个点的斜率值 然后将它们的加权平均作为近似值 则就可以构造出高精度的 1 ii xx 数值计算公式 四阶龙格 库塔算法的计算公式就是按照这一思路推导出来的 它有多种形式 其标准 的数学描述如下 4 2 3 2 2 2 2 6 22 23 12 1 43211 hKyhxfK hKyhxfK yxfK KKKKhyy nn nn nn nn 式中 h 为根据要求选择的合适步长 四阶龙格 库塔算法的公式每一步计算需四次调用 f 的函数值 计算量较大 但精确度较高 4 3 仿真结果分析 采用 MATLAB 对方程进行求解 积分步长取 h 0 01 采用长整型 long 型数据 仿真中固定以下参 数 3 1 3 021 10757 0 10408 0 85 1 18 100 10 mmVEmHLnFCnFC 在范围 0 3k改变线性电阻 R 阻值 得到随着电阻的减小 电路的混沌演化可归纳出经历如下 四个过程 稳定态 周期态 混沌态 负阻尼振荡态 各态间存在过渡态 4 3 1 稳定态 当 R 2285时 方程的解趋近于初始值所在的子空间的平衡点 对应于电路中 电路初始经历 一段阻尼振荡 最终停在一个稳定态 此时电路等效电容为零 在相图上 轨线趋近于一稳定焦点如 图所示 10 图 4 3 1 1 R 2285时 电路处于稳定态相图 4 3 2 周期态 当 2265 R 2285时 方程的解趋近于维数大于零的吸引子中 对应于电路中 经过一段暂态 后 电路进行周期和概周期振荡 R 的极小变化就会使周期发散为概周期 在相空间中 轨线趋近于 一个稳定的空间极限环或稳定环面 分别对应于周期振荡和概周期振荡 如图 5 2 3 给出了振荡的相 图 图 4 3 2 1 2265 R 2285时 电路处于周期态相图 4 3 3 混沌态 当 1470 R 2256时 电路进入了混沌振荡态 在相空间中 轨线趋近于一个混沌吸引子 这 就是蔡氏涡卷如图 11 图 4 3 3 1 双涡卷吸引子的 21cc uu 图 4 3 3 2 双涡卷吸引子的 Lc iu 1 图 4 3 3 3 电路双涡卷吸引子的 Lc iu 2 1470 R 2258时 电路进入了混沌振荡态 4 3 4 负阻尼振荡态 当 R 1321时 阻值过小 其能量耗散不足以抵消蔡氏二极管提供的能量 能量在电路中积累 起来 使电路的振幅越来越大 最终崩溃 可将电容合并为一个 在相空间中 原点区域构成一个不 稳定焦点 所有轨线由这里出发走向无穷远处 电路处于负阻尼振荡态 12 图 4 3 4 1 R 1321 电路处于负阻尼振荡态 4 3 5 奇异吸引子 电路在从周期态过渡到混沌态 即 2256 R 2265时电路中存在过渡态如下图 4 3 5 1 又当 电路从混沌态过渡到负阻尼振荡态 即 1321 R 1470电路中存在另一种过渡态如图 4 3 5 2 可 看出电路在进入混沌态和离开混沌态产生过渡态最为明显 图 4 3 5 1 2256 R 2265 图 4 3 5 2 1321 R 1470 13 4 4 仿真结果讨论 由以上四个状态的相图可以看出 前三个状态是稳定的 在原点附近存在一个稳定的吸引子 且 状态一和状态二属于平庸吸引子 状态三是混沌吸引子 而状态四则是原点不稳定的 吸引子由低维 到高维 由稳定到失稳 正是由于 R 的减小 R 决定了能量的耗散 耗散系统的长期行为是要稳定于 相空间的一个低维点集上 即吸引子上 而吸引子的维数随着 R 的减小而增大 结论 状态四不稳定 最终会将电路击穿或烧坏 状态一和状态二虽然稳定 但其平衡点的标值 很大 即稳态的电流电压值很大 同样会损坏电路 因而 R 的值应在 1470 R 2256之间 这样 才能确保电路不致烧坏 5 总结 本文在介绍了混沌理论及常用分析方法的基础上 设计了产生混沌现象的简单蔡氏电路 并从理 论分析和 MATLAB 仿真两个角度分别研究了三阶蔡氏电路的不同运行状态进行了研究 结果表明 在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道 随着线性电阻阻 值的增大蔡氏电路的状态具体可归纳为 1 稳定态 对应于电路中 电路初始经历一段阻尼振荡 最终停在一个稳定态 此时电路等效电 容为零 2 周期态 对应于电路中 经过一段暂态后 电路进行周期和概周期振荡 R 的极小变化就会使周 期发散为概周期 3 混沌态 当 1470 R 2256时 电路进入了混沌振荡态 在相空间中 轨线趋近于一个混沌 吸引子 这就是蔡氏双涡卷 4 负阻尼振荡态 变阻器阻值过小 其能量耗散不足以抵消蔡氏电路提供的能量 能量在电路中积 累起来 使电路的振幅使电路的振幅越来越大 最终崩溃 可将电容合并为一个 致谢 本文是在导师吕晶指导下完成的 在整个研究过程中 从课题的选定 方案的设计 到软件设计 都给了我推导性的意见和建议 在这里我想向吕晶老师致以最诚挚的感谢和崇高的敬礼 在课题的进行过程中 我还得到了其他老师及同学等人的关心和支持 在论文的撰写期间 在些 也对他们的督促与帮助表示感谢 感谢他们对我的关注与栽培 还有 对在百忙中抽出时间评阅本论文的老师表示衷心的感谢 并谨请提出宝贵的意见 最后 对四年来在学习和生活上帮助过我的老师和同学致以诚挚的谢意 14 参考文献参考文献 1 林夏水 国内非线性科学哲学研究综述 J 哲学动态 2000 6 25 29 2 杜杰 刘启华 非线性科学的回顾 J 南京工业大学学报 社会科学版 2004 2 68 72 3 魏诺 非线性科学基础与应用 M 科学出版社 2004 131 135 4 黄润生 混沌及其应用 M 武汉大学出版社 2000 112 130 5 混沌现象的电路原理与实现 J 陕西师范大学学报 自然科学版 2008 2 42 46 6 吴祥兴 陈忠 混沌学导论 M 上海科学技术文献出版社 1996 120 131 7 肖迪 混沌理论在数字产品安全中的应用研究 D 重庆大学博士学位论文 2005 44 50 8 杨欣 基于混沌理论的信息安全加密系统的应用研究 D 重庆大学博士学位论文 2008 43 44 9 叶建军 陈虬 一类非线性振动系统的混沌运动 J 西南交通大学学报 2001 36 6 629 632 10 林梓 李奎俊 一个负阻含源的非线性电路系统的混沌实验 J 物理实验 1999 16 1 7 8 11 方锦清 非线性系统中混沌控制方法 同步原理及其应用前景 一 J 物理学进展 1996 16 1 1 74 12 李燕 金顺利 混沌现象在保密通信中的应用 J 沧州师范专科学报 2010 26 4 104 106 13 徐晓红 谢正祥等 心动周期信号的混沌特征分析及应用 J 中国生物医学工程学报 1999 18 1 74 81 14 徐晓红 谢正祥 心率信号的混沌分析 中国医学物理学杂志 1995 12 2 72 80 15 单华宁 王执栓 混沌特征分析在脑血流动力学中的应用 J 国外医学生物医学工程分册 2004 27 5 294 296 16 徐晓红 谢正祥 心率信号的混沌分析 J 中国医学物理学杂志 1995 12 2 72 80 17 刘家胜 基于混沌的图像加密技术研究 D 安徽大学博士学位论文 2007 55 56 18 聂春燕 沌理论及基于特定混沌系统的微弱信号检测方法研究 D 吉林大学博士学位论文 2006 4 5 19 宫蕴瑞 朱建良 基于蔡氏电路的混沌同步的研究 J 哈尔滨理工大学学报 2005 10 4 79 81 20 刘英明 马艳萍 王东方 混沌电路的仿真研究 J 佳木斯大学学报 2006 24 3 429 430 21 毋玉芝 四阶龙格 库塔算法的C语言实现 J 焦作大学学报 2001 1 55 57 15 Study on Chaos Evolvement of Chua s Circuit Based on MATLAB School of Physics and Mechanical Chaos Evolvement Simulation Based on MATLAB 袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆 袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄 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莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃