微分中值定理证明与应用分析.doc

本科生毕业论文（设计）题目 微分中值定理的证明与应用分析 姓名 马华龙 学号 2009145154 院系 电气与自动化学院 专业 测控与仪器技术 指导教师 魏春玲 职称 教授 2012 年 5月 20日曲阜师范大学教务处制目 录摘要1Abstract11 引言12 微分中值定理及其相关概念13 微分中值定理的证明方法23.1 费马定理23.2 罗尔定理33.3 柯西中值定理44 定理的推广55 定理的应用65.1 利用微分中值定理证明等式与恒等式65.2 利用微分中值定理证明不等式75.3 讨论根的存在性86 总结9致谢10参考文献10微分中值定理的证明与应用分析测控与仪器专业学生 马华龙指导教师 魏春玲摘要：本文首先介绍了微分中值定理的基本内容极其几何意义然后又分别介绍了三个微分中值定理，最后有介绍了中值定理的推广和应用。详细介绍了中值定理在证明等式和不等式以及性态等方面的应用。关键词：微分中值定理 推广 应用Differential Mean Value Theorem Proof and Application AnalysisStudent majoring in Measurement and control technology and instrument Ma Hualong Tutor Wei Chunling Abstract：This paper first introduces the basic content of the Differential Mean Value Theorem extremely geometric meaning, then introduced the three differential mean value theorem, and finally introduced the promotion and application of the mean value theorem. The detailed explained differential mean value theorem in proving the equality and inequality.Key Words : differential mean value theorem Promotion application.1 引言在数学研究与分析中，微分学占有极其重要的地位，它是组成数学分析的重要部分。而通过对微分学整体的学习，我们可以知道微分中值定理在它所有定理中是最基本的，而且是最重要的定理之一，微分中值定理是构成微分学的主要组成部分。因此学好微分中值定理，对我们以后的继续在数学方面的研究是非常重要的。人们对微分中值定理的研究从微积分的建立之始就开始了，微分中值定理分为：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它出现的过程聚集了众多数学家的研究成果。而且从费马引理到柯西中值定理使微积分不断发展，理论知识也不段的丰富和完善，是自从引进微积分来数学研究的重要工具之一，并且中值定理的应用也越来越广泛。本文将首先讨论微分中值定理的证明，然后讨论它的应用，并且主要是讨论微分中值定理在证明等式、不等式、函数为常数、函数的性态等方面的应用。2 微分中值定理及其相关概念微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日中值定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或者推广。也可以说微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理在内的定理的总称，而中值定理的证明会用到以下的概念。极限的局部保号性： 若，则存在0，任意，使得。函数的单调性： 函数在定义域内，当时，有，则称单调递增。当时，有，则称单调递减。凹凸性： 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸).而若的一阶导数在上单调递增(或递减),则称在是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹). 最值：设在I上有定义,若存在使任意，（），则称为的最小值（最大值）。为最小值点（最大值点）。极值：设在任意上有定义，若存在,任意都有（），则称为的一个极小值（极大值），成为极小值点（极大值点）。除此之外，我们还应该看到罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的联系。这三个定力的关系：层层递进，步步深入，前者是后者的特殊情况，后者是前者的推广。拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是通过构造辅助函数，然后用罗尔定理加以证明的；拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例；而罗尔定理有是拉格朗日中值定理的直接推论。3 微分中值定理的证明方法3.1 费马定理费马引理是是实分析中的一个定理，以皮埃尔德费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则无法用该法判断，需列表判断。费马引理的内容：函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对于任意的，都有或者，那么=0。费马定理的几何意义:若将函数的曲线置于平面直角坐标系,则费马定理具有几何意义:对曲线上,若有一点存在切线,且为极值点.则这一点处的切线平行于轴.证明方法：为的极值点.不妨设为极小值点,则,有.若,则;若,则;取极限:与分别为、由于在处可导,则=.由极限的局部保号性有:, .故 = .所以有 即3.2 罗尔定理若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点使。罗尔定理的几何意义：罗尔定理的三个已知条件的意义：在上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；在内可导表明曲线在每一点处有切线存在；表明曲线的割线（直线AB）平行于轴 罗尔定理的结论的直几何意义是：在（a,b）内至少能找到一点，使，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与轴平行。 罗尔定理的证明：根据是闭区间上连续函数的性质，由极值定理得在 上有最大值和最小值。 1.如果，此时在上恒为常数，结论显然成立。 2.如果，由条件知，两个数M，m中至少有一个不等于端点的函数值，不妨设（如果设，证法完全类似），那么必定在开区间内有一点使。法1：因此，有，由费马引理可知。法2：由于在处最大，故不论是正或负，总有,因此，当时，故由极限的保号性有 （1）而当时，故 （2）由(1)，(2)两式及存在知，必有。拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的内容： 若函数满足:(1) 在闭区间上连续; (2) 在开区间内可导; 则至少存在一点使得 .拉格朗日定理的几何意义:如图所示,过,两点的直线斜率,而拉格朗日定理则表明了存在于曲线上的,两点某点的切线必定平行于直线.拉格朗日中值定理的证明： 利用罗尔中值定理,构造辅助函数. .证明 作辅助函数 显然,在上连续, 在内可导,且,由罗尔定理可知,存在一点 使得 即 推论 设、都在区间上可导,且,则 3.3 柯西中值定理柯西中值定理的内容： 设函数、满足: (1) 在闭区间上连续; (2) 在开区间内可导,且; 则至少存在一点 使得 .柯西中值定理的证明：由定理条件可知,则存在使得,因此,只需证 .为此,构造函数 ,显然,在上连续,在内可导,且根据罗尔定理,存在使得即 所以,.4 定理的推广前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数在上是连续，在内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间，把它推广到无限区间或，再把开区间推广到无限区间或的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。定理1 若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使成立。证明：令，则，即可得到关于参数函数当时，则即，再令在上连续，在内可导，且，由Rolle定理可得到，使成立令，有，而.，使成立 证毕定理2 若在上连续，在内可导，并且，至少存在一点，使成立。定理2的证明可以参照定理1。定理3 若在上连续，在内可导，并且，则至少存在一点，使成立。证明：设，则，即可得到关于参数函数当时，则即，再令在上连续，在内可导，由Lagrange定理得，使成立即令，有，而，使 成立. 证毕5 定理的应用5.1 利用微分中值定理证明等式与恒等式在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键。在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论。我们一下面一个例题来讲解。例：设函数在0, 1上连续，在(0, 1)内可导，且， 试证 (1) 存在，使； (2) 对任意实数，必存在，使得 分析 (1) 欲证等式可写成则只需设在上存在零点. (2) 欲证等式可改写成 由于，则只需取辅助函数，再对在上用罗尔定理. 证 (1) ，因在上连续，故由零点定理，存在，使得 (2) 令，因在上连续，在内可导，且F(0) = 0 , ，故由罗尔定理，存在，使得 由于，故得例：设,在连续可导,则存在使得.证明 令则,且,在上连续在内可导根据柯西定理,存在使得 即,.5.2 利用微分中值定理证明不等式微分中值定理在不等式的证明中同样起到重要的作用，因此在证明不等式的时候，可以考虑从中值定理入手，从而解决问题。首先我们给出利用中值定理证明不等式的步骤：构造辅助函数；（2）；构造微分中值定理需要的区间；（3）利用，对进行适当的收缩。下面我们给出几个证明不等式的例子。例1： 证明对任何正数、有 .证明 令,.则在上连续,在内可导,根据拉格朗日中值定理,存在使得 由于,所以,即有 例2：设，对的情况，求证。分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等式，不难发现当时，等式两边就相等了，所以接下来排除，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢？不妨设，。利用Cauchy定理即可证明。证明：当时结论显然成立，当时，取或，在该区间设，由柯西定理得： 或即当时，即又故，即当时，则故，即由此，不等式得证。5.3 讨论根的存在性在证明根的存在性问题时，当遇到满足微分中值定理的相关条件时，就能够从中值定理的角度来解决问题。因此我们可以说，微分中值定理可以应用在解决根的存在性的问题上。我们从下面的例题来看中值定理在这方面的应用。例1：设为任意个实数,证明函数: 在必有零点. 证法 利用罗尔定理,令,只需在上满足罗尔定理条件. 证明 作辅助函数 ,则 容易验证在上连续,在可导,且 ,所以存在使得 ,即.所以,在必存在零点.例2： 设且满足,证明方程在内至少有一个实根.证明： 引进辅助函数,显然,又是多项式函数在上连续,在可导,满足罗尔中值定理的条件,故存在使而故方程在内至少有一个实根.注：本题构造的依据是使得导数恰好是所证方程的左边.6 总结本文是研究主要是通过在大学阶段对有关数学方面的知识的分析和学习得到的，并参考了一些图书资料。从整个世界来看，人们对中值定理的研究从微积分的建立之时就开始了，至今有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果。本文通过与老师同学的讨论，介绍了微分中值定理的主要证明方法和在数学方面的应用分析，分析了费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明方法；在应用方面主要通过例题的形式讨论研究了中值定理在证明等式、不等式、恒等式以及在讨论方程根的存在性等方面的应用。深入研究微分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用。致谢完成本论文，我要特别感谢我的指导老师魏老师的热怀和指导。在我撰写论文的过程中，魏老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了魏老师教诲和帮助在此表示真诚地感谢和深深的谢意。 最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示感