第6讲 函数的奇偶性与周期性.doc

第9讲 函数的奇偶性、周期性【考点解读】1. 理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，并能运用这些知识分析、解决问题。2. 理解函数周期性与对称性的概念，会用定义验证函数的周期性。3. 能综合运用函数的奇偶性、周期性及对称性解题。【知识扫描】1. 奇函数、偶函数的概念函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数就叫做奇函数. 定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件。2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: （1）考查定义域是否关于原点对称；（2）考查表达式是否等于或-： 若=-，则为奇函数； 若=，则为偶函数； 若=且=,则既是奇函数又是偶函数； 若）-且，则既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: =0 =1(0). 3.奇、偶函数的性质（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（2）若一个奇函数在处有定义，那么；如果一个函数既是奇函数又是偶数，则其值域为。（3）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。（4）在定义域的公共部分内，两个奇（偶）函数之和、差为奇（偶）函数；两奇（偶）函数之积（商）为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数。（注：取商时，应使分母不为0）（5）复合函数的奇偶性 由两个函数，复合而成的复合函数，只要其中有一个是偶函数，其复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，其复合函数是奇函数。4. 周期函数的定义对于函数，如果存在一个常数非零，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么是周期函数。是它的周期。注意：必须对定义域内的任意自变量恒成立。5.判断函数是周期函数的常见结论：（）若函数满足对定义域内任一实数，以为周期。 以为周期。以为周期。6.函数对称性的性质：（1）的图象关于直线对称。（2）一般地，若，则函数的对称轴方程是。（3）的图象关于点成中心对称。（4）函数关于及对称，则以为周期。【考计点拨】牛刀小试：1】已知函数是奇函数，则实数a=_。【答案】【命题意图】本题主要考查奇函数的概念。【解析】由奇函数定义有得，故。2.若是上周期为5的奇函数，且满足，则（ ）A1 B.1 C.2 D.2【答案】A【解析】=+=3. (湖南省长沙一中2012届高三上学期月考)定义在R上的函数是减函数，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是4函数与是同一函数；高考资源*网若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。其中真命题是A. B. C. D. 【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，错误；排除A、B，验证, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。若奇函数对定义域内任意都有,则为周期函数其中真命题是ABCD【答案】C【解析】考虑定义域不同，错误；排除A、B，验证, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。5. 是定义在上的以3为周期的奇函数,且=0,则方程在区间(0,6)内解的个数是_个.【答案】7【解析】因为=0, =0, =0, 是定义在上的奇函数,故,取得,故,故方程在区间(0,6)内解的个数是7个.考点一 函数的奇偶性及其应用例1：判断下列函数的奇偶性(1) (2) (3)（4）=解析：判断函数的奇偶性，首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.然后利用定义判断，寻找和的关系. 由可得，所以函数的定义域是 定义域关于原点不对称，故该函数是非奇非偶函数. ，且，定义域关于原点对称，原函数可化简为， 由=所以函数为奇函数. 因为f(x)= =f(x)，故f(x)为奇函数 （4）对于三角形1+sinx+cosx，当x=时，其值为2，当x=-时，其值为零，由此1可知原函数=的定义域中包含x=，但是不包含x=-，所以定义域不关于原点对称，所以是非奇偶的函数。规律总结：判断函数奇偶性是时，学生往往忽略求函数的定义域，导致错误；再者，不会合理变形，导致判断错误.变式训练1：判断下列函数的奇偶性.（1）；（2）（3）已知函数对任意都有.解析：具体函数先求函数定义域，分段函数分段讨论奇偶性，抽象函数要合理取值，寻找和的关系. (1）函数的定义域为且.图象关于原点对称，又关于y轴对称，所以既是奇函数又是偶函数.(2)函数的定义域为.当时，当时，综上，对任意，是奇函数.(3)令,令,是奇函数.规律总结： 判断函数的奇偶性首先求函数的定义域,这是固定的步骤.如果定义域关于原点对称,利用定义,计算比较和,有时,需要对函数进行化简后再判断,较为简便.如果不好判断,可以利用奇偶性定义等价形式进行判断.抽象函数的奇偶性判断，采用赋值法，恰当对变量进行赋值是关键。若证明函数不具有奇偶性,举组反例即可. 例2：函数f（x）的定义域为D=x|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且f（x）在（0，+）上是增函数，求x的取值范围.解析：（1）解：令x1=x2=1，有f（11）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=1，有f（1）（1）=f（1）+f（1）.解得f（1）=0.令x1=1，x2=x，有f（x）=f（1）+f（x），f（x）=f（x）.f（x）为偶函数.（3）解：f（44）=f（4）+f（4）=2，f（164）=f（16）+f（4）=3.f（3x+1）+f（2x6）3即f（3x+1）（2x6）f（64）.（*）f（x）在（0，+）上是增函数，（*）等价于不等式组或或或3x5或x或x3.x的取值范围为x|x或x3或3x5.规律总结：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.变式训练2：已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）0的解集是（a2，b），g（x）0的解集是,，那么f（x）g（x）0的解集是( )A.（，）B.（b，a2）C.（a2，）（，a2）D.（，b）（b2，a2）解析：f（x）g（x）0或x（a2，）（，a2）.【答案】C考点二 函数周期性及其应用例3设函数是定义在R上的以3为周期的奇函数，若，则的取值范围是 （ ）（A）（B）且 （C）或 （D）.解析：以3为周期，所以，又是R上的奇函数，则，再由，可得，即 ，解之得，故选D规律总结：不会恰当地赋值和变量变换是本题做不出或用时较长的主要原因.变式训练3：函数对于任意实数满足条件，若，则 解析函数对于任意实数满足条件，即的周期为4，规律总结：对于抽象函数的求值问题，待求的函数值要和已知的函数值产生联系，要有联系，要用函数的周期调整，奇偶性变换.抽象函数的周期没有固定的模式，掌握常见的抽象函数的周期的一些规律，对解题大有裨益：型：周期为；型：周期为；型：周期为.且，则的周期T=4a；考点三 函数对称性及其应用例4：对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(ax),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和 解析：设函数图象上任意一点A(x0,y0)，只要证明点A关于直线x=a对称的点B也在函数图象上即可.(1)证明 设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),=a,点(x0,y0)与(2ax0,y0)关于直线x=a对称，又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函数的图象上，故y=f(x)的图象关于直线x=a对称 (2)解 由f(2+x)=f(2x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4x0也是f(x)=0的根，若x1是f(x)=0的根，则4x1也是f(x)=0的根，x0+(4x0)+ x1+(4x1)=8即f(x)=0的四根之和为8 变式训练4：已知函数为偶函数，则函数图像关于直线 对称，函数图像关于直线 对称.解析：设由可得函数关于对称，关于对称.规律总结：函数图像对称性是函数奇偶性图像特征的进一步拓展，要学会从函数变换角度去理解图像对称性，以及用函数代换特征去处理函数对称性.函数的图象的对称本质还是点的对称，所以证明图象对称问题常常转化到点的对称问题.需要记住的一些结论：对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是;两个函数与 的图象关于直线对称.考点四 函数性质的综合运用例5已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 解析：:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以变式训练4：设偶函数对任意，都有，且当时，则 （ ） 解析：，,=规律总结：恰当地赋值和变量变换得出函数的周期，结合周期性和奇偶性所求函数的值转化到已知区间，从而求解。归纳小结1奇偶性是某些函