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必修二 空间几何证明经典题型考试范围：必修二空间几何；考试时间：100分钟；命题人：罗文波第卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得 分 一解答题（共25小题）1如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAADE和F分别是CD和PC的中点，求证：（）BE平面PAD；（）PABC；（）平面BEF平面PCD2如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（）求证：VB平面 M OC；（）求证：平面MOC平面VAB；（）求三棱锥AMOC的体积3如图，在三棱锥PABC中，PAPC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点求证：（1）EF平面PBC；（2）平面BEF平面PAB4如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC5已知四棱锥ABCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面ABC，BECD，F为AD的中点（）求证：EF面ABC；（）求证：平面ADE平面ACD；（）求四棱锥ABCDE的体积6如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面ABCD，且ABC=（1）求证：BC平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1平面AB1C17如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点（）求证：GF底面ABC；（）求证：AC平面EBC；（）求几何体ADEBC的体积V8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点（1）求证：B1C1平面A1DE；（2）求证：平面A1DE平面ACC1A19如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EFAB，EF=AB，平面BCF平面ABCD，BF=CF，G为BC的中点，求证：（1）OG平面ABFE；（2）AC平面BDE10如图所示，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABAD，CDAD，CD=2AB点E是PC的中点（）求证：BE平面PAD；（）已知平面PCD底面ABCD，且PC=DC在棱PD上是否存在点F，使CFPA？请说明理由11如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：面PAB平面PDC12在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=EC=求证：（1）AC1平面BDE；（2）A1E平面BDE13如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若分别是PQ，CQ的中点求证：（1）CE平面PBD；（2）平面FBD平面PBD14已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点求证：（）直线MF平面ABCD；（）平面AFC1平面ACC1A115如图，四棱锥PABCD中，AD平面PAB，APAB（1）求证：CDAP；（2）若CDPD，求证：CD平面PAB16如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD（）求证：AF平面PEC；（）求证：平面PEC平面PCD17如图，三棱柱ABCA1B1Cl中，M，N分别为CC1，A1B1的中点CACB1，CA=CB1，BA=BC=BB1（）求证：直线MN平面CAB1；（）求证：直线BA1平面CAB118如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，ABC=60，M是AB的中点，N是CE的中点（I）求证：EMAD；（II）求证：MN平面ADE；（III）求点A到平面BCE的距离19在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BAD=ADC=90，DC=2AB=2AD，BCPD，E，F分别是PB，BC的中点求证：（1）PC平面DEF； （2）平面PBC平面PBD20如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD平面BCE，FD平面ABCD，（I）求证：EF平面ABCD；（II）求证：平面ACF平面BDF21如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E求证：（1）DE平面B1BCC1；（2）平面A1BC平面A1ACC122如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，ABDC，PEDC，ADDC，PD平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点（1）求证：BF平面ADP（2）已知O是BD的中点，求证：BD平面AOF23如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EFCD，CDEA，CD=2EF=2，ED=M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N（）求证：EDCD；（）求证：ADMN；（）若ADED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由24如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD平面AEF（1）求证：EF平ABD面；（2）若AE平面BCD，BDCD，求证：平面AEF平面ACD25如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC平面ABCD，E为PD的中点，PA=PC，AB=2BC=2，ABC=60（）求证：PB平面ACE；（）求证：平面PBC平面PAC必修二 空间几何证明经典题型一解答题（共25小题）1如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAADE和F分别是CD和PC的中点，求证：（）BE平面PAD；（）PABC；（）平面BEF平面PCD【解答】解：（）PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD（）ABCD，ABAD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD又AD平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE平面PAD（）平行四边形ABED中，由ABAD可得，ABED为矩形，故有BECD由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD，CD平面PAD，故有CDPD再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EFPD，CDEF而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD平面BEF由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD2如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（）求证：VB平面 M OC；（）求证：平面MOC平面VAB；（）求三棱锥AMOC的体积【解答】（）证明：O，M分别为AB，VA的中点，OMVB，VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC；（）证明：AC=BC，O为AB的中点，OCAB，又平面VAB平面ABC，平面ABC平面VAB=AB，且OC平面ABC，OC平面VAB，OC平面MOC，平面MOC平面VAB；（）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，AB=2，OC=1，等边三角形VAB的边长为2，SVAB=，O，M分别为AB，VA的中点又OC平面VAB，三棱锥3如图，在三棱锥PABC中，PAPC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点求证：（1）EF平面PBC；（2）平面BEF平面PAB【解答】证明：（1）在APC中，因为E、F分别是PA、AC的中点，所以EFPC，（3分）又PC平面PAC，EF平面PAC，所以EF平面PBC （6分）（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PABE，（9分）又PAPC，EFPC，所以PAEF，（12分）因为BE平面BEF，EF平面BEF，BEEF=E，所以PA平面BEF，又PA平面PAB，所以平面PAB平面BEF（14分）4如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC【解答】证明：（1）因为ABAD，EFAD，且A、B、E、F四点共面，所以ABEF，又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FGBC，则EGAC，因为BCBD，FGBC，所以FGBD，又因为平面ABD平面BCD，所以FG平面ABD，所以FGAD，又因为ADEF，且EFFG=F，所以AD平面EFG，所以ADEG，故ADAC5已知四棱锥ABCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面ABC，BECD，F为AD的中点（）求证：EF面ABC；（）求证：平面ADE平面ACD；（）求四棱锥ABCDE的体积【解答】证明：（）取AC中点G，连接FG、BG，F，G分别是AD，AC的中点 FGCD，且FG=DC=1BECDFG与BE平行且相等EFBG EF面ABC，BG面ABCEF面ABC（4分）（）ABC为等边三角形BGAC又DC面ABC，BG面ABCDCBGBG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，BG面ADC （6分）EFBGEF面ADCEF面ADE，面ADE面ADC （8分）解：（）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥EABC和EADC（12分）方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AOBC，又CD平面ABC，CDAO，BCCD=C，AO平面BCDE，AO为VABCDE的高，6如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面ABCD，且ABC=（1）求证：BC平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1平面AB1C1【解答】证明：（1）BCB1C1，且B1C1平面AB1C1，BC平面AB1C1，BC平面AB1C1（2）平面A1ABB1平面ABCD，平面ABCD平面A1B1C1D1，平面A1ABB1平面A1B1C1D1，平面A1ABB1平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1C1B1，C1B1平面AB1C1，平面A1ABB1平面AB1C17如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点（）求证：GF底面ABC；（）求证：AC平面EBC；（）求几何体ADEBC的体积V【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）G、F分别是EC和BD的中点HGBC，HFDE，（2分）又ADEB为正方形DEAB，从而HFABHF平面ABC，HG平面ABC，HFHG=H，平面HGF平面ABCGF平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）G、F分别是EC和BD的中点（2分）又ADEB为正方形BEAD，BE=ADGMNF且GM=NFMNFG为平行四边形GFMN，又MN平面ABC，GF平面ABC（5分）证法三：连接AE，ADEB为正方形，AEBD=F，且F是AE中点，（2分）GFAC，又AC平面ABC，GF平面ABC（5分）（）ADEB为正方形，EBAB，GF平面ABC（5分）又平面ABED平面ABC，BE平面ABC（7分）BEAC又CA2+CB2=AB2ACBC，BCBE=B，AC平面BCE（9分）（）连接CN，因为AC=BC，CNAB，（10分）又平面ABED平面ABC，CN平面ABC，CN平面ABED（11分）三角形ABC是等腰直角三角形，（12分）CABED是四棱锥，VCABED=（14分）8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点（1）求证：B1C1平面A1DE；（2）求证：平面A1DE平面ACC1A1【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC，（2分）又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE（4分）又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE（6分）（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE（8分）又BCAC，DEBC，所以DEAC，（10分）又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1AC=C，所以DE平面ACC1A1（12分）又DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1（14分）9如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EFAB，EF=AB，平面BCF平面ABCD，BF=CF，G为BC的中点，求证：（1）OG平面ABFE；（2）AC平面BDE 【解答】证明：（1）四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，O是AC中点，G为BC的中点，OGAB，OG平面ABFE，AB平面ABFE，OG平面ABFE（2）四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，ACBD，O是AC中点，G为BC的中点，EFAB，EF=AB，平面BCF平面ABCD，BF=CF，FG平面ABCD，EO平面ABCD，EOAC，EOBD=O，AC平面BDE10如图所示，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABAD，CDAD，CD=2AB点E是PC的中点（）求证：BE平面PAD；（）已知平面PCD底面ABCD，且PC=DC在棱PD上是否存在点F，使CFPA？请说明理由【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ（1分）E为PC的中点，EQCD且EQ=CD（2分）又ABCD且AB=CD，EQAB且EQ=AB（3分）四边形ABED是平行四边形，BEAQ（4分）又BE平面PAD，AQ平面PAD，BE平面PAD（5分）（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CFPA，平面PCD底面ABCD，平面PCD底面ABCD=CD，ADCD，AD平面PCD，DP是PA在平面PCD中的射影，PC=DC，PF=DF，CFDP，CFPA11如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：面PAB平面PDC【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点所以在CPA中，EFPA，又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD；（2）平面PAD平面ABCD平面PAD面ABCD=ADCD平面PADCDPA正方形ABCD中CDADPA平面PADCD平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以PAD是等腰直角三角形，且，即PAPD因为CDPD=D，且CD、PD面PDC所以PA面PDC又PA面PAB，所以面PAB面PDC12在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=EC=求证：（1）AC1平面BDE；（2）A1E平面BDE【解答】解：（1）ABCDA1B1C1D1是长方体，AB=BC=EC=可得平面ABCD和平面A1B1C1D1是正方形，E为CC1的中点连接AC与DB交于O，连接OE，可得：AC1OE，OE平面BDEAC1平面BDE（2）连接OA1，根据三垂线定理，可得OA1DB，OEDB，OA1OE=O，平面A1OEDB可得A1EDBE为CC1的中点设AB=BC=EC=AA1=a，A1E=，A1B=A1B2=A1E2+BE2A1EEBEB平面BDEBD平面BDEEBBD=B，A1E平面BDE13如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若分别是PQ，CQ的中点求证：（1）CE平面PBD；（2）平面FBD平面PBD【解答】证明：（1）设ACBD=O，连接PO，则O是AC的中点，E是PQ的中点，PE=OC，PEOC，四边形POCE是平行四边形，CEPO，CE平面PBD，PO平面PBD，CE平面PBD；（2）平面ACQP平面ABCD，平面ACQP平面ABCD=AC，BDAC，BD平面ACQP，PO平面ACQP，BDPO，连接AQ，OF，则由三角形相似可AQPO，F是CQ中点，O是AC的中点，OFAQ，OFPO，BDOF=O，PO平面FBD，PO平面PBD，平面FBD平面PBD14已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点求证：（）直线MF平面ABCD；（）平面AFC1平面ACC1A1【解答】（本小题满分12分）证明：（）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN因为F是BB1的中点，所以，F为C1N的中点，B为CN的中点又M是线段AC1的中点，故MFAN又MF不在平面ABCD内，AN平面ABCD，MF平面ABCD（）连BD，由直四棱柱ABCDA1B1C1D1 ，可知A1A平面ABCD，又BD平面ABCD，A1ABD四边形ABCD为菱形，ACBD又ACA1A=A，AC，A1A平面ACC1A1，BD平面ACC1A1在四边形DANB中，DABN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，故NABD，NA平面ACC1A1，又因为NA平面AFC1，平面AFC1ACC1A115如图，四棱锥PABCD中，AD平面PAB，APAB（1）求证：CDAP；（2）若CDPD，求证：CD平面PAB【解答】（本小题满分14分）证明：（1）因为AD平面PAB，AP平面PAB，所以ADAP（2分）又因为APAB，ABAD=A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以AP平面ABCD（4分）因为CD平面ABCD，所以CDAP（6分）（2）因为CDAP，CDPD，且PDAP=P，PD平面PAD，AP平面PAD，所以CD平面PAD（8分）因为AD平面PAB，AB平面PAB，所以ABAD又因为APAB，APAD=A，AP平面PAD，AD平面PAD，所以AB平面PAD（10分）由得CDAB，（12分）因为CD平面PAB，AB平面PAB，所以CD平面PAB（14分）16如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD（）求证：AF平面PEC；（）求证：平面PEC平面PCD【解答】证明：（）取PC的中点G，连结FG、EG，FG为CDP的中位线，FGCD，FG=CD四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，AECD，AE=CDFG=AE，FGAE，四边形AEGF是平行四边形，AFEG又EG平面PCE，AF平面PCE，AF平面PCE； （）PA=ADAFPDPA平面ABCD，PACD，又因为CDAB，APAB=A，CD面APDCDAF，且PDCD=D，AF面PDC由（）得EGAF，EG面PDC又EG平面PCE，平面PEC平面PCD17如图，三棱柱ABCA1B1Cl中，M，N分别为CC1，A1B1的中点CACB1，CA=CB1，BA=BC=BB1（）求证：直线MN平面CAB1；（）求证：直线BA1平面CAB1【解答】证明：（）设A1B与AB1交于点O，连接CO，ON因为四边形ABB1A1是平行四边形，所以是O是AB1的中点，又N是A1B1的中点，所以ON又因为M是CC1的中点，所以所以四边形CMNO是平行四边形，所以MNCO又因为MN平面CAB1，COCAB1平面，所以直线NM平面CAB1（6分）（）因为BA=BB1，所以平行四边形ABB1A1是菱形，所以BA1AB1因为CA=CB1，O是AB1的中点，所以COAB1，又CACB1，CO=AO又因为BA=BC，所以BOCBOA，所以BOC=BOA，故BOCO，即BA1CO又AB1CO=O，AB1平面CAB1，CO平面CAB1，所以直线BA1平面CAB1（12分）18如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，ABC=60，M是AB的中点，N是CE的中点（I）求证：EMAD；（II）求证：MN平面ADE；（III）求点A到平面BCE的距离【解答】证明：（）EA=EB，M是AB的中点，EMAB，（1分）平面ABE平面ABCD，平面ABE平面ABCD=AB，EM平面ABE，EM平面ABCD，（4分）AD平面ABCD，EMAD（5分）（）取DE的中点F，连接AF，NF，N是CE的中点，NFCD，M是AB的中点，AM，NFAM，四边形AMNF是平行四边形，（7分）MNAF，（8分）MN平面ADE，AF平面ADE，MN平面ADE（10分）解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，由（I）知ME平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=，则CE=，BN=，（12分），=，VABCE=VEABC，（13分）即，解得d=，故点A到平面BCE的距离为（14分）19在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BAD=ADC=90，DC=2AB=2AD，BCPD，E，F分别是PB，BC的中点求证：（1）PC平面DEF； （2）平面PBC平面PBD【解答】证明：（1）E，F分别是PB，BC的中点，PCEF，又PC平面DEF，EF平面DEF，PC平面DEF（2）取CD的中点M，连结BM，则ABDM，又ADAB，AB=AD，四边形ABMD是正方形，BMCD，BM=CM=DM=1，BD=，BC=，BD2+BC2=CD2，BCBD，又BCPD，BDPD=D，BC平面PBD，又BC平面PBC，平面PBC平面PBD20如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD平面BCE，FD平面ABCD，（I）求证：EF平面ABCD；（II）求证：平面ACF平面BDF【解答】证明：（）如图，过点E作EHBC于H，连接HD，平面ABCD平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD平面BCE=BC，EH平面ABCD，又FD平面ABCD，FDEH，FD=EH四边形EHDF为平行四边形EFHDEF平面ABCD，HD平面ABCD，EF平面ABCD （7分）（）FD面ABCD，FDAC，又四边形ABCD是菱形，ACBD，又FDBD=D，AC面FBD，又AC面ACF，从而面ACF面BDF（12分）21如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E求证：（1）DE平面B1BCC1；（2）平面A1BC平面A1ACC1【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，DEBC，DE平面B1BCC1，BC平面B1BCC1，DE平面B1BCC1；（2）AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC，ACBC，ACAA1=A，BC平面A1ACC1，BC平面A1BC，平面A1BC平面A1ACC122如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，ABDC，PEDC，ADDC，PD平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点（1）求证：BF平面ADP（2）已知O是BD的中点，求证：BD平面AOF【解答】证明：（1）作FMCD，垂足为M，连接BM，则DM=2PE=AB，EMPDDMAB，DMBA是平行四边形，BMAD，BM平面ADP，AD平面ADPBM平面ADP同理EM平面ADPBMEM=M平面BFM平面ADPBF平面BFM，BF平面ADP；（2）由（1）可知FM=PE，DM=BM=2PE，FD=FB=PE，O是BD的中点，FOBD，AD=AB，O是BD的中点，AOBD，AOFO=O，BD平面AOF23如图，在几何体ABC