介值定理及其应用本科毕业论文.doc

本科毕业论文本科毕业论文 介值定理及其应用 摘 要 介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一 在 数学分析 教材中 一般应用 有关实数完备性定理中的确界原理 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理来证 明 本课题通过构造辅助函数 应用区间套定理 致密性定理 柯西收敛准则 确界原 理对介值定理进行证明 介值定理应用非常广泛 应用介值定理能很巧妙的解决一些问 题 如利用介值定理可证明根的存在性 证明不等式 证明一些等式以及解决实际问题 等 此外本文还对介值定理进行了推广 并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值 定理的应用 关键词 关键词 介值定理 连续函数 根的存在定理 应用 Intermediate value theorem and its application Yao Mei Drected by Professor Wang Shuyun ABSTRACT Intermediate value theorem is a continuous function on a closed interval in an important properties In mathematical analysis textbook general application about real number completeness theorem of supremum principle the monotone bounded theorem nested interval theorem finite covering theorem to prove This topic through the construction of auxiliary function application of nested interval theorem compact theorem Cauchy convergence criterion principle of supremum and infimum proves that intermediate value theorem Intermediate value theorem is widely used and this theorem can be very cleverly to solve some problems Such as the use of intermediate value theorem can be proof of the existence of the root the proof of inequality that some equation and solving practical problems In addition to the intermediate value theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediate value theorem KEY WORDS Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of root Application 目目 录录 摘 要 I 外文页 II 前 言 1 1 介值定理及其证明方法 2 1 1 介值定理的内容 2 1 2 介值定理的四种证明方法 2 1 2 1 应用确界原理 2 1 2 2 应用区间套定理 3 1 2 3 应用致密性定理证明 4 1 2 4 应用柯西收敛准则证明 5 2 介值定理的应用 7 2 1 利用介值定理判断方程根的存在性 7 2 2 介值定理在解不等式中的应用 8 2 3 介值定理在证明等式中的应用 10 2 4 介值定理在实际问题中的应用 12 3 介值定理的推广 14 3 1 一元函数介值定理的推广 14 3 1 1 推广介值定理的内容 14 3 1 2 推广的介值定理的一个应用 15 3 2 二元函数的介值定理 18 3 2 1 二元函数介值性定理的内容 18 3 2 2 二元函数介值定理的应用 19 参考文献 21 致 谢 22 前前 言言 介值定理是闭区间上连续函数的一个重要性质 这一定理虽然简单 但应用却异常 广泛 微积分理论中有不少定理的证明要用到该定理 介值定理 Intermediate value theorem 首先由伯纳德 波尔查诺提出和证明 对波尔查诺来说有点不幸的是 他的 数学著作多半被他的同时代的人所忽视 他的许多成果等到后来才被重新发现 但此 时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了 华东师范大学版的 数学分析 对介值定理的描述是 设函数在闭区间上连f ba 续 且 设为介于与之间的任何实数 或 bfaf af bf bfaf 则至少存在一点 使得 介值定理是闭区间上连续 bfaf 0 x ba 0 xf 函数的重要性质之一 在 数学分析 教材中一般应用有关实数完备性的 6 个基本定理 中的确界原理 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理来证明 在这里我们通过巧 妙地构造辅助函数 应用区间套定理 致密性定理 柯西收敛准则以及确界原理来证 明 介值定理在连续函数中具有广泛的应用性 比如判断方程根的存在性 求解不等式 证明一些等式 解决实际问题等 当然还有其它许多关于介值定理的研究 他们多数都是针对介值定理的某一方面而 进行的 例如叶国柄发表在陕西工学院学报的一篇文章 介值定理的推广及其应用 一 方面他把闭区间推广为任意区间 另一方面从常数和入手 和也可以 af bf af bf 为或 利用推广的介值定理 得到了求一类方程绝对误差为的近似 1 0Nm m 解的一种好方法 此外二元函数介值定理的介绍 拓宽了研究范围 加深了学习难度 使我们能够更 加努力地学习 1 介值定理及其证明方法 1 1 介值定理的内容 定理 1 设函数在闭区间上连续 且 设为介于与之f ba bfaf af bf 间的任何实数 或 则至少存在一点 使得 bfaf bfaf 0 bax 0 xf 这个定理表明 若在上连续 又不妨设 则在上必能取得f ba bfaf f ba 区间上的一切值 即有 bfaf bafbfaf 推论 根的存在定理 若函数在闭区间上连续 且与异号 即f ba af bf 则至少存在一点 使得0 bfaf 0 bax 0 0 xf 即方程在内至少有一个根 根的存在定理也就是零点定理 在下面一0 xf ba 些问题的证明中 我们会多次应用根的存在定理也即零点定理来解决一些问题 并且借 用根的存在定理证明介值定理 1 2 介值定理的四种证明方法 1 2 1 应用确界原理 1 不妨设 令 则也是上的连续函数 且 bfuaf uxfxg g ba 于是定理的结论转化为 存在使得 这个简单的0 0 bgag 0 bax 0 0 xg 情形即为根的存在性定理 记显然为非空有界集故由确界原理 0 baxxgxE E EbbaE 且 有下确界 记 因由连续函数的局部保号性 存在使得在EExinf 0 0 内 aa 在由此易见即 0 xg 0 g xbb内 0 ax 0 bx 0 bax 下证 倘若不妨设则又由局部保号性 存在0 0 xg 0 0 xg 0 0 xg 0 xU 使在其内特别有 但这与相矛盾 ba 0 xgExxg 2 0 2 00 Exinf 0 故必有 0 0 xg 1 2 2 应用区间套定理 1 我们可以把问题转换为证明根的存在定理 即若函数在上连续 g ba0 ag 则存在使得 0 bg 0 bax 0 0 xg 将等分为两个子区间与 若 则 即为所求 若 则 ba ca bc0 cgc0 cg 当时记 当时记 于是有 0 cg 11 ba ca 0 cg 11 ba bc 0 0 11 bgag 且 11 ba ba 11 ab 2 1 ab 再从区间出发 重复上述过程 得到 或者在的中点上有 11 ba 11 ba 1 c0 1 cg 或者有闭区间 满足 且 22 ba0 0 22 bgag 22 ba 11 ba 2 22 2 1 ab ab 将上述过程不断地进行下去 可能出现两种情形 在某一区间的中点上有 即即为所求 1 i c0 i cg i c 在任一区间的中点上均有 则得到闭区间列 满足 2 i c0 i cg nn ba 且0 0 nn bgag 11nnnn baba 2 1 2 1 nabab n nn 由区间套定理 存在点下证倘若不妨设 2 1 0 nbax nn 0 0 xg 0 0 xg 则由局部保号性 存在使在其内有而由区间套定理的推论 0 0 xg 0 xU 0 xg 当充分大时有因而有 但这与选取时应满足的n 0 xUba nn 0 n ag nn ba 相矛盾 故必有 0 n ag0 0 xg 1 2 3 应用致密性定理证明 先证明下面两个引理 引理1 2 设是有界数列 而且 则的聚点的集合是 n x0 lim 1 nn n xx n x ba 其中 lim lim n n n n xbxa 证明 根据定义 与都是的聚点 故我们只要证明与之间的任意实数ab n xab 都是的聚点即可 bxax n x 先证对于任给的及任给的正整数 必有存在 使得 0 0 n 0 nn n xx 事实上 由假定可知必有正整数存在 使当时 恒有 0 n 0 nn nn xx 1 令则数列 中必至少有两项和存在 使 max 000 nnn 1 0 nnn x n x n x 因为否则的话 例如 无小于的项 则必 此与矛盾 n xx xxn xlim n n xx xa 不妨设 令满足 且使 的正整数中之最大者为 显然nn nnn xxn n n 且 1 nn 1 nn xx xx 因此 且 0 nn 1nnn xxxx 先取 则存在 使 1 1 11 N 1 1 1 nxn1 1 xxn 则存在 使 2 1 2 12 nN 12 2 nnxn 2 1 2 xxn 又取 则存在 使 233 3 1 nN 23 3 nnxn 3 1 3 xxn 如此继续下去 得到的一个子列 满足 故 n x k n x k xx k n 1 3 2 1 k 即是的一个聚点 kxx k n x n x 引理2 3 设在闭区间连续 数列且 证明存在点f ba baxn Axf n n lim 使得 ba Af 证明 因为 所以有界 由致密性定理 有界数列必有收敛子列 baxn n x 可知中必有收敛子列 设 由于故 又 n x k n x k n k xlim b xa nk ba 故 由于在闭区间连续 因而 limAxf n n limAxf k n k f ba lim lim fxfxfA kk n k n k 下面对根的存在性定理进行证明 证明 取的中点 记为 再取及的中点 分别记为 ba 1 x 1 xa 1 bx 且 32 x x 2 1 3221 abxxxx 又取的中点 顺次记为且 212313 xaxxxxbx 7654 xxxx 43 xx ii xx 1 6 5 4 2 1 2 iab 然后取的中点 顺次 44335511662277 bxxxxxxxxxxxxxxa 记为且 15141312111098 xxxxxxxx 14 10 9 8 2 1 3 187 iabxxxx ii 如此继续下去可得到数列 满足 对任意的正整数 存在正整 n xn 数 使 从而有k 1 212 kk n 2 1 1 abxx k nn 由于在闭区间连续 所以在闭区间上一致连续且有界 因而 对 xg ba xg ba 任给的 存在 及正整数 当时 有0 0 NNkn 2 1 1 abxx k nn 因而 即有 1nn xgxg 0 lim 1 nn n xgxg 由引理2 得的聚点的集合是 其中 n xg lim lim n n n n xgxg 显然的子列 收敛于 的子列 n x i n x 1 12 2 12 2323187 nn xxxxxxa n x i n x 收敛于 1 2 2 2 2161543 nn xxxxxx b 由于在上连续 所以有 xg ba limagxg i n i limbgxg j n j 即和都为数列的聚点 因为所以 ag bg n xg 0 0 bgag0 0 即0为数列的聚点 也即存在且 0 n xg baxxg kk nn 0 lim k n k xg 由引理 2 得 存在点 使得 ba 0 g 1 2 4 应用柯西收敛准则证明 4 假设有 设显然 bax 0 xg 0 baxxgX 0 baxxgY X 和非空 因为所以且 Y 0 0 bgag YbgXag YX 将区间二等分 若则记左半个区间为 若则记右半 ba 0 2 ab g 21 aa 0 2 ab g 个区间为 总之有如此继续下去 得到数列满足 21 aa 1 Xag 2 Yag nn ba 3 2 1 1 11 nbbaaa nnnn 0 lim 2 nn n abYbgXag nn 3 取数列则数列满足柯西条件 即存在正整数 2211nnn bababac n c 0 当时 事实上 当为数列中的项时 由于该数列有上 NNmn mn cc mn cc n a 界 从而有上确界为存在正整数有 当 时 根据数 a0 N 2 0 N aNmn 列的递增性 有 Nmnmnmn aaaaaaa2 同理可得 为数列中的项的情况 当一个为数列中的项时 一个 mn cc n b mn cc n a 为数列中的项时 由 2 得存在正整数当时 当 n b 0 NN n N 2 nn ab 时 n m N mnnnmnnnmn aaabaaabab 由柯西收敛准则得收敛 n c 设 由于在上的连续 所以数列收敛于从而 n n clim xg ba n cg g 或 Xg Yg 不妨设根据数列极限的保号性 存在正整数当 时即Xg NNn 0 n cg 然而当时 有这与矛盾 从而假设不成立 因而Xcg n nn bc Xbg n YX 使 ba 0 g 以上我们总共列举了四种方法来证明介值定理 应用确界原理和区间套定理来证明 比较简单 易于学习者明白 对于另外两种方法 则需要储备大量的知识 来理解 对 于初学者来说理解起来比较吃力 但这也是证明的一种方法 有利于学习者多多思考 开阔眼界 为以后的学习提供帮助 其实还有其他的方法来证明介值定理 由于篇幅有 限 在此不在一一列举 2 介值定理的应用 2 1 利用介值定理判断方程根的存在性 在证明一些方程根的存在性时 如果没有给出具体方程往往很难求出根 即使给出 了方程 如果方程特别复杂 那么想证明根的存在性 那也是很费劲的 我们往往不能 采用先求出其根而后说明根存在的方法 利用连续函数在闭区间上的重要性质 介值定 理或推论 根的存在定理 易得出存在使函数值为零的点 也就是可得出存在使方程成 立的根 介值定理在判断方程根的存在性上的题目较多 应用介值定理可以清晰地界定 出根的情况 例2 1 5 证明方程至少有一个正根 且不超过 bxax sin 0 0 baba 证明 设 xf bxax sin 由已知可得 即 1 sin b xx aa 1 1b x aa 1 因为所以 0 0 babaxab 考察 abf babaab sin sin 1 aba 0 abf babaab sin sin 1 aba 0 当时 至少存在一个正根 使 0 ab baab 0 f 当时 不妨只考察 因为 并且0 ab 0 ba 0 ba baab 0 0 bf0 baf 所以至少存在一个正根 使 0 ba 0 f 因此 方程至少有一个正根 且不超过 bxax sin 0 0 baba 例2 2 证明 若 为正整数 则存在唯一正数 使0 rn 0 xrxn o 次正根的称为nrx0 0 n rx 即算数根 记作 证明 先证存在性 由于当时 有 故必存在正数 使得 x n xa n ar 因在上连续 并有 故由介值定理 至少存在一点 n xxf 0 a 0 afrf 使得 0 axo 00 n f xxr 再证唯一性 设正数使得 则有 1 xrxn 1 n n x 10 10 xx 0 1 11 2 0 1 0 nnn xxxx 由于第二个括号内的数为正 所以只能 即 0 10 xx 01 xx 例2 3 设在闭区间连续 满足 证明 存在 使得f ba babaf 0 bax 00 xxf 证明 由条件知 对任何有 特别有 bax bxfa 以及 afa bbf 若或 则取或 从而成立 afa bbf ax 0 b 00 xxf 现设与 令 afa bbf xxfxF 则 0 aafaF0 bbfbF 故由根的存在性定定理 存在使得即 0 bax 0 0 xF 00 xxf 2 2 介值定理在解不等式中的应用 其实介值定理在解不等式中的应用 并不是直接应用根的存在定理 而是应用根的 存在定理的逆否命题 我们都知道 如果原命题成立 那么它的逆否命题也成立 因此 不在对逆否命题进行证明 下面给出根据根的存在定理所得出的逆否命题以及推论命 题 设函数在某一区间 也可指 内有定义且连续 xf baI ba ba 1 根的存在定理的逆否命题 若方程在内没有根 则函数的值在0 xfI xf 内保持相同的正 负 号 I 2 若方程在内所有不同的根为且 则这个根0 xfI n xxx 21n xxx 21 n 将区间分成个小区间 在每一个这样的小区间内 函数I1 n 1 xa 21 xx bxn 的值保持相同的正负号 xf 以上结论告诉我们 对于 2 中的每一个小区间内的一切值 不等式 或x0 xf 要么恒真 要么恒假 因此 我们只要逐一的考察各个小区间内的正负号 0 xf xf 即判定不等式 或 的真假性 就可以得到不等式 或 在0 xf0 xf0 xf0 xf 区间I内的全部解 例2 4 6 解不等式 第四届国际数学奥林匹克试题 x 31 x 2 1 解 原不等式的定义域为 我们考察方程解得 3 1 x 31 x 2 1 8 318 1 x 8 318 2 x 这两个根将定义域分成三个小区间 831 1 8 831 831 88 831 3 8 在内 取 左边 原不等式为真 831 1 8 0 x 2 1 13 在内 取 左边 原不等式为假 831 831 88 1 x 2 1 022 在内 取 左边 原不等式为假 831 3 8 2 x 2 1 31 所以原不等式的解集为 831 1 8 无理不等式通常要进行 两边平方 的变形 但这只是在一定条件下才是等价变形 所以必须就的不同取值范围进行讨论 因此相对来说计算是比较困难的 利用介值定理x 则计算简单 而且易于理解 例2 5 6 解不等式 1 4 3 log2 x x x 解 设原不等式等价于不等式 xF1 4 3 log2 x x x 0 xF 的定义域为 解方程 得方程解 xF 1 2 1 0 xF 2 55 x 将定义域分成三个小区间 列表如下 1 2 1 2 55 1 1 2 2 55 表 2 1 所以 原不等式的解集为 1 2 2 55 可见 以介值定理为基础 将不等式的定义域分成若干区间 然后找出不等式解集 的方法是解不等式解集的一种非常实用的方法 求解一般形式的不等式 或 的一般方法归纳如下 xgxf xgxf x 1 2 55 1 2 2 55 0 xF0 0 F0 5 6 F0 2 3 F 0 xF 是解集不是解集是解集 1 设 xgxfxF 2 求出的定义域 即和定义域的交集 xF xf xg 3 解出的所有解 0 xF n xxx 21 4 利用这些解将定义域分成个小区间 1 n 5 在每个小区间内取一个特殊点 通过的符号判别在此区间内的符号 0 x 0 xF xF 6 找出使 或 的所有区间 这些区间的并集即是所求不等式的0 xF0 xF 解 2 3 介值定理在证明等式中的应用 介值定理在证明等式方面也有广泛应用 正是由于介值定理的广泛使用 才使得一 些较复杂的等式能够轻而易举地被证明出来 其中积分中值定理的证明就用到了介值定 理 例2 6 设函数在上连续 在内可导 且 则对于任 xf 1 0 1 0 0 0 f1 1 f 意给定的正数 求证 存在 使下列式子成立 ba 10 21 xx 1 xf a 2 xf b ba 证明 证法一 因为 所以 又因为在上连续 0 a0 b10 ba a xf 1 0 且 由介值定理知 必有 使0 0 f1 1 f 1 0 f ba a 由于在上连续 在内可导 函数由拉格朗日中值定理有 xf 1 0 1 0 xf 1 0 0 fffx 2 1 1 fffx 10 21 xx 其中 即有 0 1 xf ba a 1 1 2 xf ba a 将两式相加得 1 xf ba a 1 2 xf ba a 整理式子即有 1 xf a 2 xf b ba 例2 7 设在上连续 且 证明在内至少存在一点 使 xf babdca ba 得成立 其中均为任意正的常数 fqpdqfcpf qp 证明 证法一 作辅助函数 dqfcpfxfqpxF 由题设知 在上连续 又 xF badc dfcfqcF cfdfpdF 由于均为任意正的常数 有qp pqdFcF 0 2 cfdf 当时 则均可取作所求的 当时 dfcf 0 dFcFdc dfcf 由根的存在定理可知 至少存在一点 使 即0 dFcF badc 0 F fqpdqfcpf 证法二 由于在上连续 因此存在最大值和最小值 即f badc Mm Mxfm dcx 因此有 Mcfm Mdfm 即有 pMcpfpm qMdqfqm 把上面两个式子相加得到 Mqpcqfcpfmqp 把以上不等式同时除以 又得到qp M qp cqfcpf m 由介值定理可得必存在一点 使得 badc f qp cqfcpf 变换一下形式 得到所求 即 fqpdqfcpf 例2 8 积分第一中值定理 若在上连续 则至少存在一点 使得f ba ba abfdxxf b a 证 由于在上连续 因此存在最大值和最小值 由f baMm Mxfm bax 使用积分不等式性质得到 abm abMdxxf b a 或者 Mdxxf ab m b a 1 再由连续函数的介值性 至少存在一点 使得 ba b a dxxf ab f 1 在变换一下形式 等式得证 2 4 介值定理在实际问题中的应用 介值定理在实际问题的解题中具有广泛的应用 往往一些较复杂的难题应用介值定 理都能轻易地解决 解题思路清晰 解题步骤简单 下面我们就举几个较复杂的例题 浅谈介值定理在解题中的应用 问题2 9 7 某运动员30min跑了6km 证明一定存在某时刻 该时刻起的5min内该运 动员跑了l km 证明 假设为离开起跑线的公里数 对于中的任意一个 表示运动员从x 5 0 x xf 跑到所需要的时间 函数是连续函数 由已知条件知道 x1 x xf 30 5 4 3 2 1 0 ffffff 由此推出既不同时都小于5 又不同时都大于5 所以在内存在点 5 0 ff 5 0 满足 由介值定理可知 在之间存在 满足 也就是说ba 5 bfaf ba c5 cf 从 km到km恰好跑了5min km处对应时刻即为所求 c1 cc 问题2 10 7 某登山运动员于星期六上午7 00开始登山 下午5 00到达山的顶 点 在山上宿营后 在星期日上午7 00开始返回 下午5 00到达出发点 证明在星期日 的某时刻和星期六的同一时刻在同一高度 证明 假设时间格式为24制 且星期日的出发点就是山的顶点 出发点和山的顶点的 高度差为 表示运动员在上山过程中在 时刻的位置离出发点的高度 其中 0 hh tft 表示运动员在下山过程中在 时刻的位置离出发点的高 17 7 t0 7 fhf 17 tgt 度 其中 表示在星期日的某时 17 7 thg 7 0 17 g tgtftF 17 7 t 刻和星期六的同一时刻运动员所处位置的高度差 因为函数 是连续的 所以函 tf tg 数也是连续的 且 由介值定理可知 在内存在 tF0 7 hF0 17 hF 17 7 0 t 使 即在星期日的时刻和星期六的同一时 运动员所在高度是相同的 0 0 tF 0 t 问题2 11 7 椅子在不平的地面能否放稳 先作以下假设 椅子有四条腿 且每条腿一样长 每条腿与地面有一个接触面 可视为一个点 4 个点连线成矩形 地面不平 地面的高度是连续变化的 不允许有台阶 将地面看作连续曲面 椅子在任何位置至少有3个椅脚同时着地 椅子放稳 指四条腿都与地面接触 每条腿的脚与地面的距离为零 椅子虽然可 能会倾斜 但不会摇晃 解 图2中为椅子4个椅脚的初始位置 椅子的中心是点 椅子绕中心旋 aABCDO 转后的位置如图2 所示 记到地面的距离和为 到地面的距离和为 180bDA fCB 则由于椅子必有三条腿同时着地 所以必有两条相邻的椅脚同时着地 即对任意 g 的旋转角 和至少有一个为零 因此恒有 不妨设当时 f g0 gf0 当椅子旋转时 与的位置互换 0 0 fg 180ADBC 这样 当时 令 则 0 0 fg gfh 0 0 h0 h 初始位置a 旋转后的位置b 因为和是连续函数 所以也是连续函数 由介值定理可知 在内 f g h 0 必存在使 即 又因为恒有 所以 0 0 0 h0 00 gf0 gf 即说明当椅子绕着中心旋转方向 椅子的四条腿同0 00 gf0 00 gf 0 时着地 3 介值定理的推广 3 1 一元函数介值定理的推广 对于介值定理 从两个方面进行推广 一方面 从闭区间入手 推广为任意 ba 区间 另一方面 从常数与入手 与也可为或 利用推广的 af bf af bf 介值定理 得到了求一类方程绝对误差为的近似解的一种好方法 1 0Nm m 3 1 1 推广介值定理的内容 8 定理1 如果函数在区间内连续 且 xf ba Aaf bx lim xfB BA 不论是与之间的怎样一个数 在开区间内至少有一点 使得 CAB bacCcf 证明 不妨设 BA 图 2 1 椅子 4 个椅脚位置示意图 BA DC x y DC AB y x 因为 所以对于给定的正数 存在一个正数 bx lim xfB CB 0 00 ab 当时 就有 则 0 0 xb 0 Bxf 0 Bxf 其中满足条件 现从中任CCBBBxf 0 x 0 0 xb 0 0 xbx 取一点 令 显然 以及 d dfD DCA bda 又因为在闭区间上连续 且 由介值定理得 在开区 xf daAaf Ddf 间内至少有一点 使 所以在开区间内至少有一点 使得 dacCcf bac Ccf 同理可得定理2 定理2 如果函数在区间内连续 且 xf baAaf bx lim xf 或 不论是中的怎样一个数 在区间内至少有一点 使得C 或 AA bac Ccf 定理3 如果函数在区间内连续 且 xf aAaf xlim xf 或 不论是中的怎样一个数 在区间内至少有一点 使得C 或 AA ac Ccf 证明 因为 xlim xf 所以对于给定的正数 必有正数 使得当时 就CM aNN Nx 有 xfM 则 其中满足条件 现从中任取一点 令 xfM C C xNx Nxx d 显然以及 由介值定理得 在开区间内至少有一点 dfD ACD ad dac 使得 Ccf 所以在区间内至少存在一点 使得 acCcf 同理可得定理4 定理4 如果函数在区间内连续 且 不 xf aAaf xlim xfB BA 论是之间的怎样一个数 在区间内至少有一点 使得 CBA或 acCcf 以上我们只是讨论了区间与这两种情形 实际上 对于其他区间也有类 ba a 似的结论 这样 就构成了推广的介值定理 3 1 2 推广的介值定理的一个应用 以推广的介值定理为基础 结合函数的单调性 可以得到求一类方程绝对误0 xf 差为的近似解的一种好方法 其中的定义域 而在 1 0Nm m xfy i ID xfy 内单调连续 且与无公共内点 i I i I j I ji 定理 5 如果函数在闭区间上单调连续 且 而 xf ba0 bfaf 均同号 11211 bxxxa n 11211n xfxfxf 均同号 22221 axxxb n 22221n xfxfxf 其中 0 21 nn xfxf 当时 则 且就是方程 1 0 lim lim 21 n n n n xfxf 021 limlimxxx n n n n 0 x 在内的那个唯一解 0 xf ba 为的绝对误差为的近似值 2 2 21ji xx 0 x 2 12ij xx 证明 因为函数在闭区间上单调连续 且 所以方程 1 xf ba0 bfaf 在内只有一个解 即0 xf ba 0 x 0 0 xf 因为 单调增加有上界 所以 11211n xxx lim 1 bcaccx n n 为常数 又 0 lim 1 n n xf0 0 lim 1 1 cfxf n cxn 所以 也是方程在内的一个解 c0 xf ba 由解的唯一性知 即 0 xc 01 limxx n n 同理可得 02 limxx n n 因为函数在闭区间的子区间上也单调连续 且 2 xf ba 21ji xx0 21 ji xfxf 所以 则为的绝对误差为的近似值 210ji xxx 2 21ji xx 0 x 2 12ij xx 注 如果定理 5 中的条件闭区间改为任意其他区间 而条件相应变 ba0 bfaf 换一下 那么定理 5 的结论仍成 0 lim xfafaxf x 上单调连续 且在区间如 立 例 3 1 求方程的绝对误差为 0 01 的近似解 4 xe x 解 当时 方程与方程在内是同解的 令 1 0 x 4 xe x ln 4xx 0 ln 4 xxxg 因为 所以 内单调连续 0 4 1 x xg 0 在xg 又因为 limxg x lim 0 xg x 0 9 0 85 0 83 n x1 0 4786 0 19999 0 0847 0 x 1n xg 0 5 0 8 0 81 n x2 2 2726 0 0926 0 0329 2n xg 所以根据定理 5 其绝对误差为 0 01 82 0 2 81 0 83 0 1 x 当时 显然不是原方程的解 2 0 x0 x 当时 方程与方程在内是同解的 3 0 x 4 xe x xxln4 0 令 表 3 1 寻找解的绝对误差为 0 01 的近似值 1 x xxxfln4 因为 x x x xf 4 4 1 而当时 当时 4 0 x0 x f 4 x0 x f 所以分别在内单调连续 xxxfln4 4 4 0 又因为 lim 0 xf x 0 4 ln44ln44 4 e f lim 0 xf x 表 3 2 寻找解的绝对误差为 0 01 的近似值 2 x 1 3 1 4 1 42 n x1 0 2505 0 0541 0 0174 0 x 1n xf 2 1 5 1 45 1 44 n x2 0 7726 0 1219 0 0363 0 0186 2n xf 8 8 5 8 6 8 61 n x1 0 3178 0 0603 0 0070 0 0017 4 x 1n xf 10 8 7 8 65 8 63 n x2 0 7897 0 0467 0 0198 0 0090 2n xf 所以根据定理 5 其绝对误差均为 0 01 43 1 2 44 1 42 1 2 x 62 8 2 63 8 61 8 3 x 综合得 方程一共有三个不同的解而 0 82 1 43 8 62 分 3 2 1 4 xe x 321 xxx 别为它们的绝对误差为 0 01 的近似值 表 3 3 寻找解的绝对误差为 0 01 的近似值 3 x 3 2 二元函数的介值定理 不仅一元函数有介值定理 二元函数也有介值定理 在此本文只是简单的介绍一下 二元函数的介值性定理 仅供读者进行参考 3 2 1 二元函数介值性定理的内容 9 设函数在区域上连续 若为中任意两点 且 则对任何f 2 DR 12 P PD 12 f Pf P 满足不等式 12 f Puf P 1 2 3 的实数 必存在点 使得 u 0 P 0 f Pu 证 作辅助函数 PfPFDP 易见仍在上连续 且由不等式知道 这里不妨假设FD 1 2 3 0 1 PF0 2 PF 是的内点 下面证明必存在 使 1 P 2 PDDyxP 000 0 0 PF 由于为区域 我们可以用有限段都在中的折线连结和 若有某一个连结点DD 1 P 2 P 所对应的函数值为 0 则定理已得证 否则从一端开始逐个检查直线段 必定存在某直线 段 在它两端的函数值异号 不失一般性 设连结 的直线段含于F 111 yxP 222 yxP 其方程为D 10 121 121 t yytyy xxtxx 在此直线段上 表示为关于 的复合函数 设Ft 121121 yytyxxtxFtG 10 t 它是上的一元连续函数 且 由一元函数根的存在性 1 0 1 0 0 21 GPFPFG 定理 在内存在一点 使得 记 1 0 0 t0 0 tG 1201012010 yytyyxxtxx 则有 使得DyxP 000 0 00 tGPF 即 0 Pf 3 2 2 二元函数介值定理的应用 例 3 2 若在有界闭区域上连续 则存在 使得 yxfDD D D Sfdyxf 这里是积分区域的面积 D SD 证 由于函数在有界闭区域上连续 则在上存在最大值与最小值 yxfD yxfD 设其分别为和 即对于区域中的一切点 有MmD yx Myxfm 因此有 D DD MSdyxfmS 即 DD Mdyxf S m 1 由介值性定理存在 使得D D dyxf D Sf 例 3 3 设在区间内连续可导 函数 tf ba xfyxFyx yx yfxf yxF 定义在区域内 证明 对任何 有 babaD bac lim cfyxF ccyx 证 由于在内连续可导 当且时 在以为端点的区间上 tf baDyx yx yx 应用拉格朗日中值定理有 yx yfxf yxF f yx 又由于 xfyxF 则 使得 Dyx yx fyxF 而当时 并且在 处连续 从而 ccyx c t f c lim cfyxF ccyx 本课题简单地介绍了介值定理 首先介绍了介值定理的四中证明方法 应用区间套 定理证明 应用致密性定理证明 应用柯西收敛准则证明以及应用确界原理证明 然后通 过一些具体的例题来展示介值定理的广泛应用性 最后本课题简单地介绍了一下推广的 介值定理 以及二元函数介值定理 通过本文的介绍 我们对介值定理有了更加深刻的认 识 这对于我们的学习是很有帮助的 参考文献参考文献 1 华东师范大学数学系 数学分析 M 上册 第 3 版 北京 高等教育出版社 2004 2 汪林数 学分析中的问题和反例 M 昆明 云南科学出版社 1999 3 Jing Z From ordinary fact to surprising theorem J Nature J 1985 8 7 4 郭计敏 介值定理的证明及应用 J 职校论坛 2009 23 5 谢国军 耿秀荣 介值定理在连续函数中的应用 J 柳州职业技术学院学报 2007 6 何厚兵 介值定理在不等式教学中的应用 J 中国科教创新导刊 2008 24 7 黄道增 连续函数介值定理的应用 J 长江大学学报 2010 3 8 叶国柄 介值定理的推广及其应用 J 陕西工学院学报 2011 4 9 华东师范大学数学系 数学分析 M 下册 第 3 版 北京 高等教育出版社 2004 10 刘玉琏 傅沛仁编 数学分析讲义 M 北京 高等教育出版社 1999 11 岳贵新 邱翠萍 介值定理在解初等不等式中的应用 J 辽宁省交通高等专科 学校学报 2002 4 12 梁瑞光 郭强 介值定理在中学数学中的应用 J 长治学院学报 2011 2 致致 谢谢 在此篇毕业论文划上句号之际 我郑重地向我的指导教师王淑云老师表示我最诚挚 的感谢 衷心地感谢她的关心 指导和教诲 在王老师的精心引导下 几经修改我终于 完成了毕业论文 从她身上我获得了太多的文化和知识 王淑云老师追求真理 献身科 学 严以律己 宽已待人的崇高品质对学生将是永远的鞭策 我在撰写毕业论文期间的工作自始至终都是在王淑云老师的全面 具体指导下进行 的 老师渊博的学识 民主而严谨的作风 使我受益匪浅 王淑云老师谦逊的学术作风 和高尚的人格品德将永远激励我前行 最后还要感谢我的同学和朋友四年来对我的关心和帮助 袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀 薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀 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