四边形——经典例题透析·成果测评.docx

经典例题透析类型一：矩形1（2011山东青岛）已知：平行四边形abcd中，e、f分别是ab、cd的中点，连结af、ce.（1）求证：becdfa；（2）连接ac，若ca=cb，判断四边形aecf是什么特殊四边形？并证明你的结论. 举一反三：【变式1】如图，在abc中，ab=ac，d为bc中点，四边形abde是平行四边形。求证：四边形adce是矩形。【变式2】已知abcd的对角线ac，bd相交于o，abo是等边三角形，ab4cm，求这个平行四边形的面积。【变式3】如图，在矩形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，aebd于e，则：（1）图中与bae相等的角有_；（2）若aob=60，则ab：bd_。图中doc是_三角形（按边分）类型二：菱形2(2011四川雅安)如图，在平行四边形abcd中，e,f分别是bc，ad中点。（1）求证：abecdf（2）当bc=4，ab=2，且abe的面积为，求证：四边形aecf是菱形。 举一反三：【变式1】已知如图，平行四边形abcd的对角线ac的垂直平分线与边ad、bc分别交于e、f。试判断四边形afce的形状并说明理由. 【变式2】将三角形纸片abc(abac)沿过点a的直线折叠，使得ac落在ab边上，折痕为ad，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点a与点d重合，折痕为ef，再次展平后连接de、df，如图2，证明：四边形aedf是菱形 【变式3】已知如图，菱形abcd中，e是bc上一点，ae、bd交于m，若ab=ae,ead=2bae，求证：am=be。 【变式4】（2011四川自贡）如图，在abc中，ab=bc=1，abc=120，将abc绕点b顺时针旋转30得，交于点e，分别交、于点d，f.（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）求de的长.类型三：正方形3（2011广西玉林）如图，点g是正方形abcd对角线ca的延长线上任意一点，以线段ag为边作一个正方形aefg，线段eb和gd相交于点h.（1）求证：eb=gd;（2）判断eb与gd的位置关系，并说明理由;（3）若ab=2，ag=，求eb的长.思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中dg, be分别在dag与aeb中，结合正方形的性质，我们可以证明dag与aeb全等，利用全等三角形的对应边相等来说明。研究线段的位置关系，主要是平行或相交（包括垂直相交）。【答案】（1）证明：在gad和eab中 gad=90+ead，eab=90+ead gad=eab 又ag=ae，ab=ad gadeab eb=gd（2）ebgd 理由如下：连接bd，由（1）得：adg=abe 则在bdh中，dhb=180-（hdb+hbd） =180-（45+adg+45-abe）=180-90=90. ebgd.（3）设bd与ac交于点o. ab=ad=2. 在rtabd中，bd=. od=oa=. 在rtdog中，og=ag+oa=. eb=gd=.总结升华：熟练掌握并灵活应用正方形的性质是解决很多有关正方形问题的关键，如：本题中用到了正方形的四个角都是直角，四条边都相等。举一反三：【变式1】已知：如图，在正方形abcd中，g是cd上一点，延长bc到e，使cecg，连接bg并延长交de于f（1）求证：bcgdce； （2）将dce绕点d顺时针旋转90得到dae，判断四边形ebgd是什么特殊四边形？并说明理由.【答案】（1）证明：四边形为正方形bccd，bcgdce90 cgce，bcgdce （2）答：四边形ebgd是平行四边形 理由：dce绕点d顺时针旋转90得到dae ceae cgce cgae abcd，abcd， bedg，bedg， 四边形ebgd是平行四边形 【变式2】如图b、c、e是同一直线上的三个点，四边形abcd与四边形cefg都是正方形，连接bg、de.（1）观察猜想bg与de之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不 存在，请说明理由.【答案】（1）bg=de四边形abcd和四边形cefg都是正方形，gc=ce，bc=cd，bcg=dce=90bcgdcebg=de （2）存在. bcg和dcebcg绕点c顺时针方向旋转90与dce重合【变式3】如图,四边形abcd是边长为2的正方形，点g是bc延长线上一点，连结ag，点e、f分别在ag上，连接be、df，1=2 ， 3=4.（1）证明：abedaf；（2）若agb=30，求ef的长.【答案】（1）四边形abcd是正方形 ab=ad在abe和daf中abedaf （2）四边形abcd是正方形1+4=9003=41+3=900afd=900 在正方形abcd中， adbc1=agb=300在rtadf中，afd=900 ad=2 af= df =1 由(1)得abeadfae=df=1ef=af-ae= 【变式4】已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点。求证：思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种，而本题中de, df分别在dae与dcf中，结合正方形的性质，我们可以证明dae与dcf全等，利用全等三角形的对应边相等来说明。解析： 四边形abcd是正方形， ad=cd ,a=dcf=900又 dfde， 1+3=2+3 1=2在rtdae和rtdcf中，1=2ad=cda=dcf rtdaertdcf de=df【变式5】在正方形abcd中，ac为对角线，e为ac上一点，连接eb、ed（1）求证：becdec；（2）延长be交ad于f，当bed=120时，求efd的度数【答案】（1）证明：四边形abcd是正方形bccd，ecbecd45又ecec abeade （2）abeadebecdecbed bed120bec60aef efd60+45105类型四：综合运用4如图，在中，=，点，分别是，的中点，过点作，交的延长线于点.（1）求证：四边形是菱形；（2）请判断四边形是什么特殊四边形？并加以证明.证明：（1）四边形abcd是平行四边形ab/cd且ab=cd，ad/bc且ad=bce，f分别是ab，cd的中点，be=ab，df=cd be=df四边形defg是平行四边形在abd中，e是ab的中点，aebe abad，而dab=60aed是等边三角形，即de=ae=ad，故de=be平行四边形defb是菱形 （2）四边形agbd是矩形.理由如下：ad/bc且ag/db 四边形agbd是平行四边形由（1）的证明知ad=de=ae=be，ade=dea=60，edb=dbe=30，故adb=90平行四边形agbd是矩形举一反三：【变式1】如图，e是边长为1的正方形abcd的对角线bd上一点，且be=bc，p为ce上任意一点,pqbc于点q，prbe于点r，则pq+pr的值是（ ）.a. b. c. d. 【答案】a.解：如图，过点c作chbd,则pq+pr=ch（等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高）。因为cb=cd，chbd,bcd=90.所以ch=bd（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）。因为,所以.所以pq+pr=.故选a.【变式2】正方形abcd的边长是4厘米，长方形defg的长dg=5厘米，问长方形的宽de为多少厘米？【答案】因为长方形面积=长宽，现在已知长方形defg的长，要求宽，所以先求长方形defg的面积.而正方形abcd面积已知，能找出正方形abcd面积与长方形efgd面积之间的关系即可.观察两个图形的重叠部分发现，如果连结ag，如图2，那么在正方形abcd中，三角形agd的底和高分别为正方形边长ad和cd，所以它的面积是正方形abcd面积的一半.同样在长方形efgd中，三角形agd的底为长方形的长dg，高为长方形的宽de，所以它的面积也是长方形defg面积的一半.这样就找到了长方形defg与正方形abcd面积之间的关系.连结辅助线ag，因为三角形agd的面积是正方形abcd面积的一半，也是长方形defg面积的一半.所以长方形defg面积=正方形abcd面积=44=16（平方厘米）长方形defg的宽de=165=3.2（厘米）【变式3】（2011青海西宁）如图，矩形abcd的对角线相交于点o，deca，aebd（1）求证：四边形aode是菱形；（2）若将题设中“矩形abcd”这一条件改为“菱形abcd”，其余条件不变，则四边形aode是_【答案】（1）证明：矩形abcd的对角线交于点o， ac=bd（矩形对角线相等）， oa=oc=ac，ob=od=bd oa=od deca，aebd， 四边形aode是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 四边形aode是菱形 （2）矩形【变式4】（2011黑龙江黑河）在正方形abcd的边ab上任取一点e，作efab交bd于点f，取fd的中点g，连结eg、cg，如图（1），易证 eg=cg且egcg.（1）将bef绕点b逆时针旋转90，如图（2），则线段eg和cg有怎样的数量关系和位置关系？请直 接写出你的猜想.（2）将bef绕点b逆时针旋转180，如图（3），则线段eg和cg又有怎样的数量关系和位置关系？请 写出你的猜想，并加以证明.【答案】 解：（1）猜想：eg=cg egcg（2）猜想：eg=cg egcg证明：延长fe交dc延长线于m，连mgaem=90， ebc=90，bcm=90四边形bemc是矩形.be=cm，emc=90又be=efef=cmemc=90，fg=dgmg=fd=fgbc=em ，bc=cdem=cdef=cmfm=dmf=45又fg=dgcmg=emc=45f=gmcgfegmceg=cg ，fge=mgcfmc=90 ，mf=md ，fg=dg mgfdfge+egm=90mgc+egm=90即egc=90egcg学习成果测评基础达标：一、填空题1用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是_2如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为_cm3已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是_cm24如图1，debc，dfac，efab，图中共有_个平行四边形5若四边形abcd是平行四边形，请补充条件_(写一个即可)，使四边形abcd是菱形6如图2，在平行四边形abcd中，已知对角线ac和bd相交于点o，abo的周长为17，ab6，那么对角 线acbd _ 7以正方形abcd的边bc 为边做等边bce，则aed的度数为_8如图3，延长正方形abcd的边ab到e，使beac，则e _ 9已知菱形abcd的边长为6，a60，如果点p是菱形内一点，且pbpd2那么ap的长为_.10在平面直角坐标系中，点a、b、c的坐标分别是a(2，5)，b(3，1)，c(1，1)，在第一象限内找一点d，使四边形abcd是平行四边形，那么点d的坐标是_二、选择题11如图4在平行四边形abcd中，b=110，延长ad至f，延长cd至e，连结ef，则ef( )a110 b30 c50 d7012菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )a对角相等 b四边相等 c对角线互相平分 d四角相等13如图5，在菱形abcd中，对角线ac=4，bad=120，则菱形abcd的周长为（ ）a20 b18 c16 d15 14已知：如图6，在矩形abcd中，e、f、g、h分别为边ab、bc、cd、da的中点若ab2，ad4，则图中阴影部分的面积为 ( )a8 b6 c4 d3 15将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）矩形正方形等边三角形等腰直角三角形 ( )a b c d16如图7是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是 ( ) 图7a88 mm b96 mm c80 mm d84 mm 17四边形abcd，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得abcd是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（ ）abcd； bcad； ab=cd； bc=ad。a2组 b3组 c4组 d6组18下列说法错误的是（ ）a一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。b每组邻边都相等的四边形是菱形。c对角线互相垂直的平行四边形是正方形。d四个角都相等的四边形是矩形。三、阅读理解题19如图8，在四边形abcd中，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da边上的中点，阅读下列材料，连结ac、bd，由三角形中位线的性质定理可证四边形 efgh是_。对角线ac、bd满足条件_时，四边形 efgh是矩形。对角线ac、bd满足条件_时，四边形 efgh是菱形。对角线ac、bd满足条件_时，四边形 efgh是正方形。 图8四、解答题20如图9，四边形abcd是菱形，对角线ac8cm , bd6cm, dhab于h，求：dh的长 图921已知：如图10，菱形abcd的周长为16cm，abc60，对角线ac和bd相交于点o，求ac和bd的长。答案与解析：基础达标：一、填空题1、先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等。2、2 （用面积相等列方程） 3、20 （菱形面积等于对角线乘积的一半） 4、3 （两组对边平行的的四边形是平行四边形） 5、acbd （根据菱形的判定方法填写一个即可） 6、22 （平行四边形对边相等对角线互相平分）7、150或30 （分向正方形内部或外部做等边三角形两种情况） 8、22.5（连接bd，由等腰三角形性质得出 ）9、4 或2（由菱形的性质p在ac上） 10、（2 ，5） （画图，应用平行四边形对边相等的性质即可）二 、选择题11、d（用三角形内角和是180度及平行四边形对角相等）12、b（菱形的边有特性）13、c（abc是正三角形，菱形边长为4）14、c（阴影部分是菱形）15、a（分短直角边、长直角边及斜边重合；还要考虑翻转后重合）16、b（分割成若干个矩形）17、c（根据平行四边形的判定定理）18、c（菱形）三、阅读填空19、 平行四边形 acbd acbd acbd且 acbd 四、解答题20、4.8 cm 21、ac4cm , bd4cm能力提升：一、选择题1、下列命题中正确的是（ ）a对角线相等的四边形是菱形 b对角线互相垂直的四边形是菱形c对角线相等的平行四边形是菱形 d对角线互相垂直的平行四边形是菱形2、顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ）a菱形 b正方形 c矩形 d等腰梯形3、如图1，在矩形abcd中，动点p从点b出发，沿bc，cd，da运动至点a停止设点p运动的路程为x， abp的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则abc的面积是（ ）a10 b16 c18 d20 4、如图，下列条件之一能使平行四边形abcd是菱形的为（ ） a b c d5（2011浙江省嘉兴）如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形efgh（不重叠无 缝隙）若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形abcd面积是11cm2，则四个平 行四边形周长的总和为（ ）a48cm b36cm c24cm d18cm6、如图，e，f，g，h，分别为正方形abcd的边ab，bc，cd，da上的点，且 ae=bf=cg=dh=ab，则 图中阴影部分的面积与正方形abcd的面积之比为（）a b c d7、如图，菱形abcd中，b60，ab2，e、f分别是bc、cd的中点，连接ae、ef、af，则aef的周 长为（ ） abcd二、填空题1、如图，在矩形abcd中，对角线ac，bd交于点o，已知，ab=2.5，则ac的长为_。2、四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个 “赵爽弦图”（如图）。如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为， 那么长直角边与斜边的比值=_。3、将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形 的名称_ 4、如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是_个5、如图，已知p是正方形abcd对角线bd上一点，且bp = bc，则acp度数是_6、（2011山东泰安，）如图，点o是矩形abcd的中心，e是ab上的点，沿ce折叠后，点b恰好与点o重 合，若bc=3，则折痕ce的长为_三、解答题1、宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感。现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）：第一步：作一个任意正方形abcd；第二步：分别取ad、bc的中点m、n，连接mn；第三步：以n为圆心，nd长为半径画弧，交bc的延长线于e；第四步：过e作交ad的延长线于f ，请你根据以上作法，证明矩形dcef为黄金矩形，（可取ab=2）。2、如图,已知:在四边形abfc中，=90的垂直平分线ef交bc于点d,交ab于点e,且cf=ae(1)试探究,四边形becf是什么特殊的四边形;(2)当的大小满足什么条件时,四边形becf是正方形?请回答并证明你的结论.(特别提醒:表示角最好 用数字)答案与解析：一、选择题1、d （菱形的对角线互相垂直且平分） 2、a （平行四边形再加上一组邻边相等）3、a （根据特殊点的值求边长） 4、a （根据菱形的判定定理进行判断）5、a （菱形的面积等于11+=18，设菱形边长为a,则，四个平行四边形周长 的总和为菱形周长的2倍）6、a （可以确定三角形全等后再求面积） 7、b （连接ac得到两个等腰三角形，用三线合一即可）二、填空题1、5 （用矩形的性质以及含有30度的直角三角形的特性） 2、0.8 （用勾股定理、正方形的性质求出各边的长）3、平行四边形（或矩形或菱形）4、25（分单个、两个、三个、四个考虑）5、22.5 （用等腰三角形的底减45度） 6、（设be=x,则ao=oc=bc=3，ae=，在rtaoe中，利用勾股定理解得x=,所