1990年考研数学试题答案及评分参考.pdf

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 1 页 1990 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题：一、填空题：(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 过点) 1, 2 , 1 (m且与直线 1 43 2 tz ty tx 垂直的平面方程是 x-3y-z+4=0 . (2) 设a为非零常数，则 ax x e ax ax 2 )(lim . (3) 设函数 1 1 , 0 , 1 )( x x xf, 则)(xff = _1_ (4) 积分dyedx x y 2 0 2 2 的值等于 4 (1)/2e. (5) 已知向量组 1 =(1,2,3,4)， 2 =(2,3,4,5) ， 3 =(3,4,5,6)， 4 =(4,5,6,7)， 则该向量组的秩是 2 二、选择题：二、选择题：(本题满分本题满分 15 分，每小分，每小题题 3 分分) (1) 设( )f x是连续函数，且 x e x dttfxf)()(则)(x f 等于 (a) （a）)()(xfefe xx (b) )()(xfefe xx (c) )()(xfefe xx (d) )()(xfefe xx (2) 已知函数( )f x具有任意阶导数， 且 2 )()(xfxf, 则当n为大于2的正整数时，( )f x 的 n 阶导数)( )( xf n 是 (a) (a) 1 )( ! n xfn (b) 1 )( n xfn (c) n xf 2 )( (d) n xfn 2 )( ! (3) 设为常数，则级数 1)sin( 1 2 nn na n （c） (a) 绝对收敛 (b) 条件收敛 (c) 发散 (d) 收敛性与的取值有关. (4) 已知( )f x在0 x 的某个邻域内连续 ，且(0)0f, 2 cos1 )( lim 0 x xf x 则在点0 x 处( )f x (d) (a) 不可导 (b) 可导,且0)0( f (c) 取得极大值 (d) 取得极小值 (5) 已知 1 和 2 是非齐次线性方程组 ax = b 的两个不同的解， 21, 是对应导出组 ax = 0 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 2 页 基础解系， 21,k k为任意常数，则方程组 ax = b 的通解（一般解）必是 (b) (a) 2 )( 21 21211 kk (b) 2 )( 21 21211 kk (c) 2 )( 21 21211 kk (d) 2 )( 21 21211 kk 三、三、(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 求 dx x x 1 0 2 )2( )1ln( . 解：解： 1 1 2 0 0 ln(1)1 ln(1) (2)2 x dxx d xx 1 1 0 0 11 ln(1) 2(1)(2) xdx xxx 2 分 1 0 1111 ln2()ln2 32(1)3 dx xx . 5 分 (2) 设(2,sin )zfxy yx，其中( , )f u v具有连续的二阶偏导数，求 yx z 2 . 解：解：2cos zff yx xuv . 2 分 2222 22 2(2sincos )sin coscos zffff xyxyxxx x yuu vvv . 5 分 (3) 求微分方程 x eyyy 2 44 的通解(一般解). 解：解：特征方程为 2 440rr的根为 1,2 2r. 对应齐次方程的通解为 2 12 () x ycc x e，其中 12 ,c c为任意常数. 2 分 设原方程的特解为 *2 ( ) x y xax e ，代入原方程得 1 2 a . 4 分 因此，原方程的通解为 2 *22 12 ( )() 2 xx x y xyycc x ee . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 6 分分) 求幂级数 0 ) 12( n n xn 的收敛域, 并求其和函数. 解解：因为 1 23 limlim1 21 n nn n an an ，所以 1 1r . 显然幂级数 0 (21) n n nx 在1x 时发散，故此幂级数的收敛域为( 1,1). 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 3 页 又 000 ( )(21)2 nnn nnn s xnxnxx 0 1 2 () 1 n n xx x 5 分 22 211 11 (1)1(1) xx x xxx . 6 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 求曲面积分 i= s dxdyyzdzdx.2其中 s 是球面4 222 zyx外侧在0z的部分 解：解：令 22 1 4 0 xy s z ，其法向量与z轴的负向相同. 设 1 ss和所围成的区域为， 则由奥-高公式有 1 2 s iyzdzdxdxdyzdxdydz . 2 分 而 22 11 4 0,228 ss xy yzdzdxdxdydxdy . 4 分 22 2 2 000 cossin4zdxdydzddrrdr . 7 分 所以12i. 8 分 六、六、(本题满分本题满分 8 分分) 设不恒为常数的函数)(xf在闭区间 , a b上连续，在开区间( , )a b 内可导，且( )( )f af b. 证明：在( , )a b内至少存在一点, 使0)(f. 证：证：因( )( )( )f af bf x且不恒为常数，故至少存在一点( , )ca b，使得 ( )( )( )f cf af b.于是( )( )( )( )f cf af cf a或. 2 分 现设( )( )f cf a，则在 , a c上因( )f x满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点 ( , )( , )a ca b，使得 1 ( ) ( )( )0ff cf a ca . 6 分 对于( )( )f cf a情形，类似地可证得此结果. 7 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 设四阶矩阵b 1000 1100 0110 0011 ，c 2000 1200 3120 4312 且矩阵a满足关系式ecbcea )( 1 , 其中e为四阶单位矩阵, 1 c表示c的逆矩阵, c 表示 c 的转置矩阵, 将上述关系化简并求矩阵 a . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 4 页 解：解：因 11 () ()()a e c b ca c e c ba cb ,故()a cbe 2 分 因此 1 ()acb 1 1000 2100 3210 4321 4 分 1000 2100 1210 0121 6 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 求一个正交变换化二次型 323121 2 3 2 2 2 1 84444xxxxxxxxxf成标准形. 解：解：二次型的矩阵 122 244 244 a 1 分 由 2 122 |244(9) 244 ae ，a的特征值为 123 0,9. 3 分 对于 12 0， 122122 244000 244000 ae ，从而可取特征向量 1 0 1 1 p 及 与 1 p正交的另一特征向量 2 4 1 1 p . 5 分 对于 3 9， 822245 254099 245000 ae ，取特征向量 3 1 2 2 p . 6 分 将上述相互正交的特征向量单位化，得 123 4 1 0 3 23 112 , 323 2 2 11 3 23 2 ， 7 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 5 页 故在正交变换 11 22 33 41 0 33 2 112 323 2 112 323 2 xy xy xy 下，二次型 2 3 9fy. 8 分 九、九、(本题满分本题满分 8 分分) 质点 p 沿着以 a,b 为直径的半圆周,从点 a(1,2)运动到点 b(3,4)的过程中受变力 f作用 （见图） ， f的大小等于点 p 与原点 o 之间的距离，其方向垂直于 线段 op 且于 y 轴正向的夹角小于 2 .求变力 f对质点 p 所作的功. 解：解：按题意，变力yx fij. 3 分 圆弧ab的参数方程是 22cos 3 44 32sin x y .5 分 变力f所作的功 ab wydxxdy 4 3 4 2(32sin )sin2(22cos )cos d 218 分 十、填空题：十、填空题：(本题满分本题满分 6 分，每小题分，每小题 2 分分) (1) 已知随机变量 x 的概率密度函数 f(x)= x e 2 1 , x，则 x 的概率分布函数 ( )f x 1 2 1 2 0 10 x x ex ex . (2) 设随机事件 a，b 及其事件ab的概率分别为6 . 0, 3 . 0, 4 . 0和，若 _ b表示 b 的对立 事件，那么积事件ba的概率3 . 0)ba(p (3) 已知离散型随机变量x服从参数为2的泊松分布，则随机变量32zx的数学期望 ( )e z 4 . 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 设二维变量(x,y)在区域 xyxd, 10: 内服从均匀分布，求关于 x 的边缘 概率密度函数及随机变量 z=2x+1 的方差 d(z). 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 6 页 解：解：(, )x y的联合概率密度函数是 1,01,|, ( , ) 0, xyx f x y 其它 ， 因此关于 x 的边缘概率密度函数是 2 ,01 ( )( , ) 0, x xx fxf x y dy 其它 . 2 分 22 d(z)(21)4 () ( () dxe xe x 2 2 xx 4( )( )x fx dxxfx dx 4 分 2 11 32 00 142 4224 299 x dxx dx . 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 7 页 数数 学（试卷学（试卷二二） 一、一、填空题填空题【 同数学一 第一题 】 二、二、选择题选择题【 同数学一 第二题 】 三、三、(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分)【 同数学一 第三题 】 四、四、(本题满分本题满分 18 分，每小题分，每小题 6 分分) (1) 【 同数学一 第四、(1)题 】 (2) 求微分方程0)ln(lndxxyxdyx满足条件1 ex y 的特解. 解：解：将原方程化为 11 ,(1) ln yyx xxx . 1 分 由公式 ( )( ) ( ) p x dxp x dx yeq x edxc 3 分 得 2 lnln 111 ln ln2 dxdx xxxx yeedxcxc xx . 4 分 又由|1 x e y ，可解出 1 2 c ，所以方程的特解是 11 ln 2ln yx x . 6 分 (3) 过点(1,0)p作抛物线2xy的切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求 此图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. 解：解：设所作切线与抛物线相切于点 00 (,2)xx . 因 0 0 0 11 | 2222 x x x y xx ， 故此切线的方程为 0 0 1 2() 22 yxxx x . 1 分 又因该切线过点(1,0)p，所以有 0 3x . 从而切线的方程为 1 (1) 2 yx. 3 分 因此，所求旋转体的体积 33 2 12 1 (1)(2) 4 vxdxxdx 5 分 6 . 6 分 五、五、 （本题满分本题满分 8 分分） 【 同数学一 第五题 】 六、六、 （本题满分本题满分 7 分分） 【 同数学一 第六题 】 七、七、 （本题满分本题满分 6 分分） 【 同数学一 第七题 】 八、八、 （本题满分本题满分 8 分分） 【 同数学一 第八题 】 九、九、 （本题满分本题满分 8 分分） 【 同数学一 第九题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 8 页 数数 学（试卷学（试卷三三） 一、填空题：一、填空题：(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 曲线 ty tx 3 3 sin cos 上对应于 6 t点处的法线方程是13 xy. (2) 设 x ey x tg 1 sin 1 ，则 y 1 tan 2 2 1111 (secsincos ) x e xxxx . (3) 1 0 1dxxx 15/4 (4) 下列两个积分的大小关系是：dxedxe xx 1 2 1 2 33 . (5) 【 同数学一 第一、(3) 题 】 二、选择题：二、选择题：(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 已知0) 1 (lim 2 bax x x x ，其中, a b常数，则 (c) (a) 1,1ab (b) 1,1ab (c) 1,1ab (d) 1,1ab (2) 设函数)(xf在),(上连续，则 )(dxxfd等于 (b) (a) )(xf (b) dxxf)( (c) cxf)( (d) dxxf) ( (3) 【 同数学一 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】 (5) 设 0),0( 0, )( )( xf x x xf xf，其中( )f x在0 x 处可导，(0)0,(0)0ff，则0 x 是 ( )f x的 （b） (a) 连续点 (b) 第一类间断点 (c) 第二类间断点 （） 连续点或间断点不能由此确定 三、三、(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 已知9)(lim x x ax ax ，求常数a. 解：解：因 2 (1) lim()lim (1) x xa xx x a xa x e a xa x 3 分 故 2 9 a e ,ln3a . 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 9 页 (2) 求由2()ln()yxxyxy所确定的函数( )yy x的微分dy. 解：解：对方程两边求微分2()ln()() dxdy dydxdxdyxyxy xy , 3 分 故 2ln() , 3ln()2 xyx dydxdydx xyxy 或. 5 分 (3) 求曲线)0( 1 1 2 x x y的拐点. 解：解： 2 222 3 231 ,2 (1)(1) xx yy xx . 2 分 令0y ,解得 1 3 x . 因在 1 3 x 的左右邻近y变号,故 1 3 x 是拐点的横坐标. 所以曲线的拐点是 13 (, ) 43 . 5 分 (4) 计算 dx x x 2 )1 ( ln . 解：解：原式 1 ln 1 xd x ln1 1(1) x dx xxx 2 分 1 0 ln11 () 11 x dx xxx 4 分 ln|1| ln 1 xx c xx . 5 分 (5) 见【 数学二 第四（2）题 】 四、四、(本题本题满分满分 9 分分) 在椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的第一象限部分上求一点，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所 围图形的面积为最小（其中0,0ab）. 解：解：设 00 (,)p xy为所求之点，则此点处的切线方程为 00 22 1 xxyy ab . 2 分 令0 x ，得该切线在y轴上的截距 2 0 b y .令0y ，得该切线在x轴上的截距 2 0 a x . 4 分 于是所围图形的面积为 22 0 00 11 ,(0, ) 24 ab sabxa xy . 6 分 求s的最小值时，不妨设 22 0 000 bx ax yax a ，则 22 0 22 0 2axb a a ax . 7 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 10 页 令0a ,解得在(0, )a内唯一驻点 0 2 a x . 8 分 由 a 在 0 2 a x 点处的左侧为正，右侧为负，得知 0 2 a x 为a的极大点，即s的极小点. 所以 0 2 a x 时，s为最小，此时 0 2 b y ,即(,) 22 ab 为所求之点. 9 分 五、五、(本题满分本题满分 9 分分) 证明：当0 x 时，有不等式 2 1 x arctgx. 解：解：考虑函数 1 ( )arctan,0 2 f xxx x . 2 分 有 22 11 ( )0,0 1 fxx xx . 4 分 所以( )f x在(0,)上是单调减少的. 5 分 又lim( )0 x f x 7 分 知当 1 0, ( )arctan0 2 xf xx x 时. 8 分 即 1 arctan 2 x x . 9 分 六、六、(本题满分本题满分 9 分分) 设dt t t xf x 1 1 ln )(, 其中0,x 求 1 ( )( ).f xf x 解：解： 1 1 1ln ( ) 1 x t fdt xt . 令 1 t y ，得 1 1ln ( ) (1) x y fdy xyy . 3 分 于是 11 1lnln ( )( ) (1)(1) xx tt f xfdtdt xttt 1 11 ()ln (1)(1) x tdt ttt 5 分 1 111 ()ln 11 x tdt ttt 7 分 2 1 ln1 ln 2 x tdt x t . 9 分 七、七、 （本题满分本题满分 9 分分） 【 同数学二 第四、 （3）题 】 八、八、(本题满分本题满分 9 分分) 求微分方程 ax eyyy 44之通解，其中a为实数. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 11 页 解：解：特征方程为 2 440rr，特征根为 1,2 2r. 对应齐次方程的通解为 2 12 () x ycc x e . 2 分 当2a 时，设非齐次方程的特解为 *( )ax y xae， 3 分 代入原方程，可得 2 1 (2) a a , * 2 1 ( ) (2) ax y xe a . 当2a 时，设非齐次方程的特解为 *2 1 ( ) x y xax e .代入原方程，得 1 2 a, *2 1 ( ) 2 x y xx e . 8 分 故通解为 2 12 2 2 2 12 1 ()2 (2) ( ) ( )()2 2 xax x cc x eea a y x x y xcc xea ，当 ， 当 . 9 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 12 页 数数 学（试卷学（试卷四四） 一、填空题：一、填空题：(本题本题满分满分 15 分分，每小题，每小题 3 分分) (1) 极限lim(3) n nnnn 2 (2) 设函数( )f x有连续的导函数，0)0(f且bf)0(， 若函数 0 0, sin)( )( x x a x xaxf xf 在0 x 处连续，则常数 a a + b . (3) 曲线 2 yx与直线2yx所围成的平面图形的面积为 4.5 . (4) 若线性方程组 414 343 232 121 axx axx axx axx 有解，则常数 4321 ,aaaa应满足条件0 4321 aaaa (5) 一射手对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为 81 80 ，则射手的命中 率为2/3 二、选择题：二、选择题：(本题本题满分满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 设函数 x etgxxxf sin )(，则)(xf是 （b） （a）偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数 (2) 设函数( )f x对任意x均满足等式(1)( )fxa f x， 且有bf)0(,其中, a b为非零常 数， 则 (d) （a）( )f x在1x 处不可导 （b）( )f x在1x 处可导，且af ) 1 ( （c）( )f x在1x 处可导,且 f (1)b （d）( )f x在1x 处可导，且 f (1)ab. (3) 向量组 s , 21 线性无关的充分条件是 (a) s , 21 均不为零向量 (b) s , 21 中任意两个向量的分量不成比例 (c) s , 21 中任意一个向量均不能由其余1s个向量线形表示 (d) s , 21 中有一部分向量线形无关 (4) 设 a，b 为两随机事件，且ab ，则下列式子正确的是 (a) (a) p(a+b)= p(a) (b) p(ab)=p(a) (c) p(ab)= p(b) (d) p(b-a)=p(b)-p(a) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 13 页 (5) 设随机变量 x 和 y 相互独立，其概率分布为 则下列式子正确的是 (c) (a) x=y (b) 0p xy (c)p xy 2 1 (d) 1p xy 三、三、(本题本题满分满分 20 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 求函数( )i x dt tt t x e 12 ln 2 在区间 2 ,ee上的最大值. 解：解：由 2 22 lnln ( )0, , 21(1) xx i xxe e xxx , 1 分 可知( )i x在 2 ,e e上单调增加,故 2 2 2 ln max ( ) (1) e e x e e t i xdt t 2 1 ln 1 e e td t 2 2 ln11 11 e e e e t dt ttt 3 分 2 2 121 ln 11 e e t eet 11 lnln(1) 11 ee e eee . 5 分 (2) 计算 2 y d xedxdy ，其中 d 是曲线 2 4yx和 2 9yx在第一象限所围成的区域. 解：解：原式 2 3 0 2 y y y edyxdx 2 分 2 0 111 () 249 y yy edy 3 分 2 0 55 72144 y yedy . 5 分 (3) 求级数的 1 2 )3( n n n x 收敛域. 解：解： 2 1 n a n , 1 2 1 (1) n a n ， 2 1 2 limlim1 (1) n nn n an an , 2 分 因此当131x ，即24x级数收敛. 3 分 当2x 时，得交错级数 2 1 1 ( 1)n n n ；当4x 时，得级数 2 1 1 n n ，二者都收敛， 于是原级数的收敛域为2,4. 5 分 m -1 1 m -1 1 mxp 2 1 2 1 myp 2 1 2 1 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 14 页 (4) 求微分方程 x exxyy sin )(lncos 的通解 解：解： coscos sin ( ln) xdxxdx x yex eedxc 3 分 sin ( ln) x exdxc 4 分 sin ( ln) x exxx c . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 9 分分) 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品广告， 根据统计资料， 销售收入 r （万 元）与电台广告费用 1 x (万元) 及报纸广告费用 2 x (万元) 之间的关系有如下经验公式： 2 2 2 12121 1028321415xxxxxxr. （1）在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略； （2）若提供的广告费用为 1.5 万元, 求相应的最优广告策略. 解：解：(1) 利润函数为 22 121 21212 15 14328210()xxx xxxxx 22 121 212 15 13318210 xxx xxx 1 分 由 1212 12 48130,820310 xxxx xx 2 分 解得 1 0.75x (万元), 2 1.25x (万元). 因利润函数 12 ( ,)x x在(0.75,1.25)处的二阶偏 导数为: 222 22 1122 4,8,20abc xx xx . 3 分 故有 2 64 80160,40baca ， 4 分 所以函数 12 ( ,)x x在(0.75,1.25)处达到极大值，亦即最大值. 5 分 (2) 若广告费用为1.5万元，则只需求利润 12 ( ,)x x在 12 1.5xx时的条件极值. 拉格朗日函数为 22 12121 21212 ( , )15 13318210(1.5)l x xxxx xxxxx 7 分 令 12 0,0,0 lll xx ，有 12 12 12 48130 820310 1.50 xx xx xx 8 分 由此可得 1 0 x ， 2 1.5x ，即将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.9 分 五、五、(本题满分本题满分 6 分分) 设)(xf在闭区间0,c上连续,其导数)(x f 在开区间(0, )c内存在 且单调减少.(0)0f，试应用拉格郎日中值定理证明不等式()( )( )f abf af b，其中常 数, a b满足条件cbaba0. 证：证：当0a 时,(0)0f有()( )( )( )f abf bf af b. 1 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 15 页 当0a 时，在0, a和 ,b ab上分别应用拉格朗日定理,有 11 ( )(0)( ) ( ),0, 0 f aff a fa aa ； 3 分 22 ()( )()( ) (), () f abf bf abf b fb ab abba . 4 分 显然 12 0aba bc . 因( )fx在0, c上单调减少，故 21 ()( )ff. 从而有 ()( )( )f abf bf a aa . 5 分 故由0a ，有()( )( )f abf af b. 6 分 六、六、(本题满分本题满分 8 分分) 已知线性方程组 12345 12345 2345 12345 3230 226 54332 xxxxxa xxxxx xxxxb xxxxx (1) 问, a b为何值时，方程组有解? (2) 方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时, 求出方程组的全部解. 解：解：(1) 考虑方程组的增广矩阵 1111111111 321130012263 01226000003 5433120000022 aa a a bba a 2 分 当30ba且220a，即13ab且时，方程组的系数矩阵与增广矩阵之秩相等， 故1,3ab时，方程组有解. 3 分 (2) 当1,3ab时，有 11111101152 012263012263 000000000000 000000000000 a a a ， 因此，原方程组的同解方程组为 1345 2345 52 2263 xxxx xxxx ， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 16 页 故导出组的基础解系为 123 115 226 ,100 010 001 vvv . 6 分 (3) 令 345 0 xxx，得原方程组的特解 2 3 0 0 0 u ，于是原方程组的全部解为 1 2 3123 4 5 2115 3226 0100 0010 0001 x x uxccc x x ，其中 123 ,c c c为任意常数. 8 分 七、七、(本题满分本题满分 5 分分) 已知对于 n 阶方阵a，存在自然数k，使得0 k a，试证明矩阵ea可逆，并写出 其逆矩阵的表达式（e为 n 阶单位阵）. 解：解：由0 k a 及 1kk ea eaaea ()()，得 1k ea eaae ()() 3 分 可知ea可逆，且有 11 () k eaeaa . 5 分 八、八、(本题满分本题满分 6) 设 a 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 a 的两个不同的特征值， 21, x x是分别属于 1 和 2 的特 征向量，试证明： 21 xx 不是 a 的特征向量. 解：解： 因 11 122212 ,axx axx,故 12121 122 ()a xxaxaxxx2 分 设 21 xx 是 a 的特征向量，则 1212 ()()a xxxx，即 1 12212 ()xxxx， 于是有 1122 ()()0 xx. 4 分 由于 12 ,x x属于不同的特征值， 所以 12 ,x x线性无关， 故有 12 0,0， 即 12 ， 这与假设矛盾，因此 21 xx 不是 a 的特征向量. 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 17 页 九、九、(本题满分本题满分 4 分分) 从 0,1,2,9 等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率： 1 a 三个数字中不含 0 和 5 ； 2 a 三个数字中含 0 但不含 5 解：解： 3 8 1 3 10 7 () 15 c p a c 2 分 33 98 2 3 10 214 () 15 cc p a c . 4 分 十、十、(本题满分本题满分 5 分分) 一电子仪器由两个部件构成，以 x 和 y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知 x 和 y 的联合分布函数为： 它其0 0, 01 ),( )(5 . 05 . 05 . 0 yxeee yxf yxyx . (1) 问 x 和 y 是否独立? (2) 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率. 解解 x的分布函数 1( ) f x和y的分布函数 2( ) fy分别为： 0.5 1 1,0; ( )( ,) 0,0 x ex f xf x x 若 若 ， 0.5 2 1,0; ( )(, ) 0,0 y ey f yfy y 若 若 2 分 显然 12 ( , )( )( )f x yf x f y，故x和y独立， 3 分 于是0.1,0.10.10.1p xyp xp y 4 分 0.050.050.1 12 1(0.1) 1(0.1)ffeee . 5 分 十一、十一、(本题满分本题满分 7 分分) 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3 %，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率. 附表 （表中)(x是标准正态分布函数） 解：解：设x为考生的外语成绩，由题设知 2 ( ,)xn ，其中72. 1 分 由条件知960.023p x ，即 9672 0.023 x p ，亦即 24 ()0.977 ， 由( )x的数值表，可见 24 2 .因此12.这样 2 (72,12 )xn. 4 分 所求概率为 60728472 6084 11 1212 xx pxpp (1)( 1)2 (1) 12 0.841 10.682 . 7 分 x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 )(x 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1990 年数学试题参考解答及评分标准 1990 年 第 18 页 数数 学（试卷学（试卷五五） 一、填空题一、填空题 (本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 【 同数学四 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学四 第一、(3) 题 】 (4) 【 同数学四 第一、(4) 题 】 (5) 已知随机变量( 3,1),(2,1)xnyn,且,x y相互独立， 设随机变量27zxy, 则 z n(0,5) . 二、选择题二、选择题 (本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学四 第二、(1) 题 】 (4) 设 a 为 n 阶可逆矩阵, * a是 a 的伴随矩阵，则 * a= (a) (a) 1n a (b) a (c) n a (d) 1 a (5) 已知随机变量 x 服从二项分布，且 ex=2.4，dx=1.44，则二项分布的 参数n， p的值为 (b) (a) n = 4， p = 0.6 (b) n = 6， p = 0.4 (c) n = 8， p = 0.3 (d) n = 24， p = 0.1 三、(本题满分本题满分 20 分，每小题分，每小题 5 分分) (1) 求极限dtet x xt x x 22 )1 ( 1 lim 2 0 解：