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数值分析报告数值分析报告运用Matlab求解非线性方程的根学 院： 专 业： 班 级： 姓 名： 学 号：1. 目的掌握非线性方程求根的方法，并选取实例运用MATLAB软件进行算法的实现，分别用牛顿法、弦截法和抛物线法求非线性方程的根。2. 报告选题报告选取数值分析（第四版）290页习题7作为研究对象，即求在附近的根。根的准确值，要求结果准确到四位有效数字。（1） 用牛顿法；（2） 用弦截法，取，；（3） 用抛物线法，取，。3. 理论基础(1) 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为 其迭代函数为 牛顿迭代法的收敛速度，当时，容易证明,，牛顿迭代法是平方收敛的，且 。 （2）弦截法 将牛顿迭代法中的用在，处的一阶差商来代替,即可得弦截法 。 （3）抛物线法弦截法可以理解为用过两点的直线方程的根近似替的根。若已知的三个近似根，用过的抛物线方程的根近似代替的根，所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法。4. MATLAB实现根据牛顿法、弦截法和抛物线法求非线性方程根的理论基础，为实现计算在MATLAB中编写了以下M文件：（1） f.m,题目中的函数ffunction y=f(x)y=x3-3*x-1;（2） d.m,函数f的导数 function y=d(x)y=3*x2-3;（3） newton.m，牛顿法function newton(f,d,x0,e,max)%f 是要求根的方程(f(x)=0);%d 是f(x)的导数；%x0是所给初值,位于x*附近；%e是给定允许误差；%max是迭代的最大次数；%x1是newton法求得的方程的近似解；%err是误差估计；%k是迭代次数；%y是f(x)值；k=0; y=feval(f,x0);fprintf(k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.6en,k,k,x0,k,y)for k=1:max x1=x0-feval(f,x0)/feval(d,x0); err=abs(x1-1.87938524); x0=x1; y=feval(f,x0); fprintf(k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.6en,k,k,x0,k,err,k,y) if (erre)|(y=0)|(k=max) break; endend（4） xjmethod.m弦截法function xjmethod(f,x0,x1,e,max)%f 是要求根的方程(f(x)=0);%x0,x1是所给初值,位于x*附近；%e是给定允许误差；%max是迭代的最大次数；%x1是弦截法求得的方程的近似解；%err是误差估计；%k是迭代次数；%y是f(x)值；fprintf(k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8en,0,0,x0,0,feval(f,x0)fprintf(k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8en,1,1,x1,1,feval(f,x1)for k=2:max x2=x1-(feval(f,x1)*(x1-x0)/(feval(f,x1)-feval(f,x0); err=abs(x2-1.87938524); x0=x1; x1=x2; y=feval(f,x1); fprintf(k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.8en,k,k,x1,k,err,k,y) if (erre)|(y=0)|(k=max) break; endend（5） pwxmethod.m抛物线法function pwxmethod(f,x0,x1,x2,e,max)%f 是要求根的方程(f(x)=0);%x0,x1，x2是所给初值,位于x*附近；%e是给定允许误差；%max是迭代的最大次数；%x3是弦截法求得的方程的近似解；%err是误差估计；%k是迭代次数；%y是f(x)值fprintf(k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8en,0,0,x0,0,feval(f,x0)fprintf(k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8en,1,1,x1,1,feval(f,x1)fprintf(k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8en,2,2,x2,2,feval(f,x2)for k=3:max f0=feval(f,x0); f1=feval(f,x1); f2=feval(f,x2); a=(f0-f2)/(x0-x2); b=(f1-f2)/(x1-x2); c=(a-b)/(x0-x1); w=b+c*(x2-x1); if w0 x3=x2-(2*f2/(w+sqrt(w2-4*c*f2); end err=abs(x3-1.87938524); x0=x1; x1=x2; x2=x3; y=feval(f,x2); fprintf(k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.8en,k,k,x2,k,err,k,y) if (erre)|(y=0)|(k=max) break; endend5. 运行结果图1 运行结果界面（1）牛顿法计算结果 k02.000000001.000000e+00011.888888899.503649e-0037.270233e-00221.879451576.632695e-0055.038501e-004即，误差为6.632695e-005。（2）弦截法计算结果k02.000000001.000000e+00011.90000000 1.59000000e-00121.881093941.708696e-0031.29961633e-00231.879411062.582017e-0051.96128714e-004即，误差为2.582017e-005。 (3) 抛物线法计算结果k01.00000000-3.00000000e+00013.00000000 1.70000000e+00122.000000001.00000000e+00031.893149821.376458e-0021.05630272e-00141.879135262.499828e-004-1.89859581e-00351.879385305.621918e-0084.15115927e-007即，误差为5.621918e-008。6. 小结迭代法是解非线性方程的主要方法，牛顿法就是最有效的迭代法之一，它在单根附近具有较高阶的收敛速度。而弦截法用差商代替导数，对于较复杂的函数运算变的方便。抛物线法也是超线性收敛的，适用于求多项式的实根和复根。