奥林匹克训练题库答案A.doc

奥林匹克训练题库第一章 数字谜一 找规律1.（1）13；（2）21；（3）32；（4）30。提示：（4）第n项为n（n1）。2.（1）17；（2）256；（3）95；（4）4。提示：（1）是质数序列；（2）后项是前两项的乘积；（3）后项是前项的2倍加1；（4）后项是前两项之和的个位数。3.（1）5，36；（2）9，28。提示：（1）奇数项为自然数列，偶数项为前一项的平方；（2）奇数项、偶数项分别为等差数列。4.5，25，50。5.（1）1+79；（2）23。提示：（1）第一个加数三个算式一循环，第二个加数是奇数列；（2）被乘数两个算式一循环，乘数三个算式一循环。6.（1）3；（2）7。提示：（1）第二行等于第三行的2倍减去第行；（2）第二列等于第一、三列之和。7.（1）15不是质数；（2）10不是3的倍数；（3）5不是偶数；（4）16应为 17，因为第（n+1）项等于第 n项加 n。8.（1）36；（2）40。提示：（1）中心数等于周围三个数乘积的半；（2）中心数等于周围三个数之和的2倍。9.18。提示：（+）=。10.64。11. 提示：由第一行推知 =7，再由第二行推知=8，由第三列推知=10。1113 16 12.各圆内下面两数的乘积等于上面两数之和，所以第三图填7，第四图填9。13.解：最容易看出来的是每个圆内左边两数中上面数是下面数的4倍，右边两数中下面数是上面数的4倍。但四个圆都符合这一关系，故这不是要找的数字关系。再看对角线上两数之差，（1）（3）（4）都是8和2，而（2）是12和3，所以（2）是那个特殊的圆。有下图所示的两种改法：14.（1）48；（2）53。提示：前 9行共有 1+2+9=45（个）数。15.提示：（1）除1以外的数字都是等于它左上方和右上方的两个数字之和，故上、下空缺的数分别为5和20；（2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。16.提示：斜线和黑点的相对位置只有四种，所以第四个图如左下图所示。17.提示：a代表大圆，b代表小三角，c代表大三角，d代表小圆。ad如右上图。18.32。提示：， ，依次表示 1，2，3，外层是十位数，内层是个位数。19.2。提示：大圆内的数字等于其周围小圆内各数之积。20.a=24， b=28。解：五个圆中的10个数可以分为两类，第一类是属于两个圆公有的，第二类只属于一个圆。可以看出，每个第一类数正好等于与它相关的两个圆中21.658。解：从已知的四个三位数看出，只有数码6出现三次，而图中只有出现三次，故表示6，再比较没有6的三位数和图中没有的行，知第一行表示521，再由第二行中间的图形是5，得到第二行表示658。22.52867。提示：8在百位、十位都出现，所以8是，由此推知第4行是890，第2行是784； 6在十位、个位都出现，所以6是，由此推知第1行是 256，第 3行是 361。奥林匹克训练题库第一章 数字谜二 横式谜1.（1）888+（88888）+8-8=1999；（2）888+（88888）+88=2000；（3）888+（8888+8+8）8=2001；（4）（8+8+8）88+（888-8）8=2002；（5）（99-9）9+9=17；（6）9+9+（9-9）9=18；（7）（99-9）9+9=19；（8）（9+9）9+9+9=20；（9）（99+9）9+9=21；（10）（99+99）9=22。2.（1）（1+2）3=1；（2）12+3-4=1；（3）（1+2）3+45=1；（4）123-4+5-6=1；（5）（1+2）3+45+67=1；（6）（123-4+5-6+7）8=1；（7）（1+2）3+45+6-（7+8-9）=1。3.（1）（1+2+34）54+3-21=1999；（2）（1+2+34）54+32-2+1=2000； （3）（1+2+34）54+3（2-1）2001；（4）（1+2+34）54+3+2-1=2002。4.（1）（98-7）（65-43）-2-1=1999；（2）9+8+（76+54）32-1=2000； （3）9-8+（76+5）43-21=2001； （4）9+8+（76+54）32+1=2002。5.（1）1111-11+11=111； （2）12344-3+21=141；（3）123+4-56758=78； （4）13+5786-42=36。6.1（23）4（5678）9=2.8。7.（1）1+（23+4）5+（67+8）9=505；2）（1+2）3+4（5+6）7+89=1005；（3）1+23+（45+6）7+89=1717； （4）1+23+4（5+6）7+89=2899；（5）（1+2）3+4（5+6）7+89=9081。8.（1）8（3+2）（6-5）（4-7+9）=240；（2）（7+9）10+8（6-5）=288；（3）（1+2）3+4（5-4）3-（2-1）=62；（4）17-（2-5）3+10-（2-4）=300；（5）1（2456789）=90720。9.（1111-111）（1+1）-1=1999。 10.（77-7）77-77+777+7=1999。11.33（331）=1122。12.（1）9111111=111111；（2）1377377=377377。13.（1）10899=9801；（2）21784=8712。解：（1）比较等式两端，由a99知d=9，a=1，又由b9不能向千位进位，即b99，以及b1知b=0，最后推出c=8。（2）比较等式两端，由a410及a为偶数知a=2，又由 4ad及d4的个位数是a知d=8；再由b4不能向千位进位及 b为奇数知b=1；最后推出c=7。14.410256或615384。解：设a=“学习好”，b=“勤动脑”。由题意得（1000ab）5=（1000ba）8，数码，所以a=410，b=256；或a=615， b=384。所求六位数是 410256或 615384。15.（1）4567；（2） 3891；（3）1386。解：（1）将横式化成较为熟悉的竖式（见式子）。由千位知a=4，由百位知b=6或5，因为十位加法必向百位进位，所以b=5；再由十位知c=8，7或6，因为个位加法必向十位进2，所以c=6，最后由个位知d=7。原式为4567456454=5072。（2）（3）解法与（1）类似。16.共有四组解：（1）219，438，657； （2）192，384，576；（3）273，546，819； （4）327，654，981。17.（1）8888=7744； （2）4477=3388；（3）7788=6776； （4）5599=5445。18.（1） 610456109； （2）791837=214；（3） 339329=117； （4）846858=146。19.（1） 543=162； （2）5716=3426；（3）5823=1746，或4536=2718。20.（1）278=439=156，或358=629=174；（2）354=627=918；（3）17384=6952，或19634=7852。21.（1）4679=23158=3634；（2）589632174=5568；（3）213=497=568，或819=273=546；（4）42=63=15879，或 62=93=17458。22.（1）74+68+52+31=8；（2）74+68+51+32=9，或74+63+51+28=9；（3）72+68+34+5110；（4）84+72+51+36=11，或72+63+51+48=11；（5）84+71+52+36=12，或 82+73+51+46=12，或71+63+52+48=12；（6）81+76+52+43=13。23.（1）74359=8261，25847=3691，48527=6931， 59237=8461；（2）18475=3692， 48175=9632；（3）57819=6423， 41267=5893； （4）31786=5294；（5）19738=2465， 29178=3645，29418=3675， 49738=6215，63418=7925， 74138=9265，74618=9325， 28967=4135；（6） 74319=8256，75129=8346；7）37529=4168，64259=7138。24.7+1=8，9-6=3，54=20。提示：0只能在乘法算式中积的个位，乘法算式只有 52=10， 54=20，56=30，58=40四种可能。25.提示：等号右端的数必然满足除以3余2，除以4余3，除以7余4。26.5-4=1，3+6=9，728=9，19=9。提示：乘法算式只能是19=9。27.（1）78=56，1243=9；（2）127=5+9，84=63；（3）36=97254=18。提示：（1）第一式左端只能是69，或 78；（2）第二式的商只能是2或3；（3）最右端的数的十位数只能是1，并且该数是合数。 29.（1）37=21， （2）38=24，4+8=32； 67=42。30.有五种填法：1（268）=1（389）=2（349）=2（468）=2（689）=24。31.有四组解：（1）1，36，784，90252；（2） 9，16，784，3025；（3）9，81，324，7056； （4）9，81，576，2304。32.（1）52=42+32；（2）92=62+52+42+22；（3）63=53+43+2333.12+42+62+72=22+32+52+82提示：根据题中第二句话，将18八个数平分为两组，每组四个数之和都等于18的分法有四种，逐一检验。34.（1）13+53+33=153，或33+73+13=371；（2）（5+1+2）3=512。35.（1）1；（2）2；（3）1；（4）3；（5）4。提示：（1）等号右端乘积的个位数为2，内只能是1或6。经试算，应填1。（2）（5）的解法与（1）类似。 提示：（1）被除数是3，4，5的公倍数；（2）被除数减去7后是4，5，6的公倍数；（3）被除数必然满足减去5是3的倍数，减去3是4的倍数，减去1是5的倍数这个条件，11是满足这个条件的一个数，但由第一式的除数不小于6知，被除数应不小于 36+5=23，所以11不是我们要求的被除数。因为3，4，5的最小公倍数是60，所以11加上60的倍数也满足这个条件，在100以内只有71。37.（1）3（23+8）2=8699；（2）（165-33）22=4356。提示：先求出932=8699和662=4356。38.15263748=692640。39.941852763=611721516。40.18。 提示：6（7-2）1-34=18。41.91（8+7）-23+4-6=131。43.29=4+25=8+21=9+20=14+15。提示：至少有四个合数是奇数。44.（1）5123-4876=247；（2）81+72+63+54=60 ；（3）（5+6+13）（7+8+24）=936；（4）76+84+52+13=6。解：一个带分数由整数和真分数两部分组成，真分数的分母应大于分子，所以本题中的分母只能取2或3。如果等式右边两个分数的分母相同，记为a，则等号左边两数之和是整数或分母为a，而等号右边乘积的分母为a2（分子中不含因数a），等式不成立。所以等式左边两个分数的分母不相同，一个是2，另一个是3。再由真分数部分的分子小于分母，可得答案为 48.（1）2.47.5=2+4+7+5；（2）1.9675=56+91；（3）29+1.67.5=2+9+1+6+7+5。提示：从小数相乘后的积是自然数入手分析。奥林匹克训练题库第一章 数字谜三 竖式谜1.（1）27；（2）36；（3）30；（4）75。2.（1）37541998；（2）25802000；（3）23872001。提示：将乘积分解因数。3.（1）7566；（2）7807。提示：（1）c3，a2，b=1；（2）b=3，a=2，c1。4.35。解：若 b5，则由竖式知a=c，bd，不满足 a+b=2（ c+d）；若b5，则由竖式知a=c-1，b=d+5，代入a+b=2（c+d），得c+d=4。5.42。提示：解题方法与第4题类似。6.（1）5566=3336，或4455=2225；（2）2255=1125。提示：只可能是5或6。7.（1）1438+7204=8642；（2）838+9384=10222。8.（1）2909-1798=1111；（2）10234-9646=588。9.129+438=567。10.179.28。解：设应填x。由（x-1）+（x+9）+（x9）+（x9）=2000，解得x=179.28。11.（1）1764=1088；（2）528339=206037；（3） 734619=454346。提示：（3）被乘数是6606和4404的三位数的公约数。12.（1）60038769；（2）24652985；（3）110614=79；（4）100899111=909；（5）9713441660709；（6）10004511=9095。 （5）除数6=，除数7=，所以除数是15或16，又由被除数的个位是4，推知除数是16；（6）由竖式特点，推知除数应是99的两位数的约数，可能取值有11，33和99。再由商的个位是5，推知除数是11。13.（1）697764=1091；（2）1108799=11198。14.（1）11289=9968；（2）12481=10044；（3）110768112=989； （4）11768412=9807。（2）设被乘数为a。由8a999，81a10000，推知所以 a=124。（3）商是989。设除数是a，由竖式知a8的百位数必小于9。由15.12。16.33708，12。提示：商的个位大于商的百位，所以商的个位是9，推知除数是12。17.（1）10212=8.5；（2）10514=7.5；（3）425.6=7.5；（4）6.36.25=1.008。提示：先把小数除法竖式化成整数除法竖式，要求商与除数的个位都不是0。此时，因为被除数的右面有连续n个0，所以在商与除数中，一个能被2n整除（个位必是偶数），另一个能被5n整除（个位必是5）。以此为突破口求解。例如（4），先化为整数除法竖式（见左下式）。因为“除数a=000”，所以a=8，除数是53的倍数。又因为被除数有四个0，所以除数应是54=625的倍数，推知除数为625，商为1008（见右上式）。18.（1）10216=6.375；（2）106039248=22091.5。解：（1）先化为整数除法竖式（见左下式）。由于被除数有三个0，53=125，23=8，所以，除数是8的倍数，商是125的奇数倍。由竖式知c=9，所以除数是96的两位数约数，可能为96，48，32，24和16。又由b=5，除数b=，推知除数是16，进而推知a=6。因为商的后三位数是125的奇数倍，可能为125，375，625和875，经验算375符合题意，所以商为6375，被除数为637516=102000。原题解为10216=6.375。（2）先化为整数除法竖式（见右下式）。由竖式特点看出，d=9，g9，所以b4。因为被除数有一个0，所以a，c中一个是5，另一个由除数是48，可以推出商是220915，被除数是22091548=10603920原题解为106039248=22091.5。19.（1）167456=93744；（2）217446=100004。提示：（1）先求出被乘数的个位是4，乘数的十位是5；（2）乘数可能是16，26，36，46和56，它们能得到的最小乘积分别是800016=128000，400026=104000，277836=100008，217446=100004，178656=100016。20.（1）2043678=262；（2）1073616=671。解：（1）如右式。因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的最小可能值为262。由右式知d=8，所以c=3或8。当a=2（2）商的十位大于商的百位，所以商的最小可能值是671。当商是671 提示：（3）由个位加法知“用”是偶数，再由千位加法推知“用”=8，且百位向千位进2，“数”=1。因为十位加法不可能向百位进位，所以由百位加法得学+用+2好=学+20，解得“好”=6。再由个位加法知“学”=2或7，若“学”=7则“为”=6，与“好”=6矛盾，所以“学”=2，“为”=4。提示：利用111111=370373。提示：（1）“学”2，“趣”4，再由“学2”的个位数等于“趣”，推知“学”=2，8或9。经试验只有“学”=9时有解。（2）若“赛”5，则“华”=1，此时“杯”无合适数字；若“赛”=2，则“华”是小于5的偶数，推知“华”=4，此时“杯”无合适数字；若“赛”=3，则“华”=1或2，此时“杯”也没有合适数字；若“赛”=4，则“华”=2，由此依次可得“杯”=8，“罗”=1，“金”=7，“庚”=9。（3）与（2）解法类似。25.（1）286826；（2）32013201。提示：（1）因为“我你他他=*”，故“他”1；由“我你他我=*我”知“我”3，再由“他”1推知，“我”=2，“他”=6；最后由“我你他你=*你”知“你”=8。（2）由竖式特点知“数”=0；因为“趣味数学趣”的首位数必是9，所以“趣”=3；再由被乘数与“味”和“学”的乘积都是四位数，所以“味”和“学”只能取1或2，故只需验证31022和32012，经验证当被乘数是3201时竖式成立。26.（1）93769376=87909376；（2）9062590625=821289065；（3）625625=390625；（4）176176=30976。解：（1）设“小数学家”=x，由竖式知x2-x=x（x-1）能被104整除。因为x与（x-1）是两个相邻的自然数，必互质，又104=2454=16625，所以x与（x-1）中的奇数能被625整除，偶数能被16整除。经验证，只有当x=9376时有解。（2）设“从小爱数学”=x，则x2-x=x（x-1）能被105整除。因为x与（x-1）是两个相邻的自然数，必互质，又105=2555=323125，所以x与（x-1）中的奇数应能被3125整除，偶数能被32整除。从竖式可以看出“小”= 0，满足千位是0且能被3125整除的奇五位数只有40625和90625，与它们相邻的四个偶数中只有90624能被32整除，所以x=90625。（3）设“数字谜”=x，由竖式知x2-x=x（x-1）能被10000整除。因为x与（x-1）是两个相邻的自然数，必互质，又10000=2454=16625，所以x与（x-1）中的奇数应能被625整除，偶数能被16整除。因为（625-1）16=39，所以x=625。（4）设“厘米”=x，则有x2-x=x（x-1）能被100整除。因为x与（x-1）是相邻的两个自然数，必互质，又100=425，所以x与（x-1）中的奇数能被25整除，偶数能被4整除。由此得x=25或76。再考虑“十”只能取1，2或3，经检验只有“十”=1、“厘”=7、“米”=6时有解。12+H=21知H=9。在剩下的3，4，5，6，7，8六数中，由A+D=12知A，D可取4，8或5，7，由B+E=9知B，E可取3，6或4，5，经检验只有一解。（2）（3）用拼凑法。28.（1）18634=7452；（2）13684=5472。29.（1）13684=5472，18634=7452；（2）12875=6435，16475=8235。30.（1）289+764=1052；（2）56+1987=2043；（3）1305-879=426；（4）3051-2964=87（4，7可互换位置）。31.（1）1584=632；（2）1823=546；（3）2183=654。32.（1）77533=25575；（2）75337=25275。33.（1）9654+5946=15600；（2）4859+4598=9447。34.1234765。解：由原题左式知A=1，结合右式推知E=7，再由左式推知B=2，再由右式推知F=6，再由左式推知C=3，再由右式推知G=5，D=4。36.1014或1035。提示：由（1）式知被除数为10*，（1）式的除数为3或9；（2）式的除数为2或5，且大于被除数的十位数字。经验证，当（1）（2）两式的除数分别为3和2时，被除数是1014；当（1）（2）两式的除数分别为9和5时，被除数是1035。37.10020或10440。提示：由（1）式知被除数为10*0，（1）式的除数为3或9；（2）式的除数为4，6或8，并能整除被除数的前三位数，且大于被除数的十位数字。经验证，当（1）（2）两式的除数分别为3和4时，被除数是10020；当（1）（2）两式的除数分别为9和8时，被除数是10440。 奥林匹克训练题库第一章 数字谜四 数阵1.（1）中心处可填1，4，7或10；（2）中心处可填1，5或9；（3）中心处可填1，6或11。2.解：本题是5-3辐射图。设中心数为a，由五条虚线上的数字之和得到518=（1+2+11）+4a，解得a=6。填数方法如左下图。3.除了最上面直线中间的只在一条直线上外，每个都在两条直线上。设最上面直线中间内填的数为x，则四条直线上的数字之和，等于16加两遍，再减去x，即104=（1+2+3+6）2-x，解得x=2。填法如右上图。4.解：设三角形三个顶点的数字之和为s。因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍。于是有（1+2+3+4+5+6）+s=3k，化简后为s+21=3k。由于s是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9k12。s和k有四组取值：通过试验，每组取值都对应一种填数方法（见下图）。第512题的解题方法与第4题相同。5.6.7.k的最大值为24，最小值为20。8.9.10.11.12.13.解：因为1+2+8=36，所以大正方形的四个顶点数之和应为363=12，这四个数只能是1，2，3，6，每边上的三数之和为（36+12）4=12。由此可得左下图的填法。14.解：设角上有a名士兵，由四条边上的士兵相加，得4150=360+4a，解得a=60，兵力分配见右上图。15.解：因为每个角都属于两面，所以四面的武器的威力系数之和，等于所有武器的威力系数之和，再加上四个角的武器威力系数。推知四个角的武器威力系数应尽量大。因为1+2+10=55，当四个角的威力系数为10，9，8，7时，55+10+9+8+7=89，89不是4倍数，所以四个角只能是10，9，8，6，由此可得每一面的威力系数应是（55+10+9+8+6）4=22。分配如下图。16.17.解：设中心数为a，各条直线和各个圆周上的三数之和均为k。因为a属于三条直线公有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到2（1+2+7）+a=5k，化简为a+56=5k。因为1a7，a+56又是5的倍数，所以a=4，k=12。填数方法见右图。18.19.解：如果不要求正三角形三个顶点数字之和也相等，则题目退化为3-4辐射图，由第1（1）题知，中心数有四种填法。对于每一种填法，适当调整各直线上数字的位置，都可使每个正三角形三个顶点数字之和相等（解不唯一）。所以本题共有四种中心数不同的解（见下图）。20解：每个圆周和每条直线上三数之和应为15，其中有9的只有915和924，分别对应下图的两个解。21解：设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于19的和45，再加上两两重叠处的四个数之和。而两两重叠处的四个数之和最小是123410，最大是678930，所以，5k453075且5k451055，即11k15。当k11，13，14时可得四种填法（见下图），k12，15时无解。22解：设每个大圆周上的四个数之和为k（即题中的定数）。图中有一个属于三个大圆公有，有三个各属于两个大圆公有。设属于三个大圆公有的内的数为w，属于两个大圆公有的三个内的数字之和为v。将三个大圆上的数字和相加，得到3k1234567v2w28v2w，因为v2w最小为11（w1，v234），最大为29（w7，v654），分别代入上式，解得13k19，即定数可以取13至19之间的整数。本题是k13的情况，此时w1，v234，其它数的填法见右图。第2325题的解题方法与第22题相同。26解：19中有五个奇数，因为I属于四个圆公有，并且是奇数，要使每个圆内的四数之和都等于20，只有A，B，C，D是奇数，所以EFGH246820。又因为I属于四个圆公有，E，F，G，H各属于两个圆公有，A，B，C，D只属于一个圆公有，于是得到（129）（EFGH）3I80。由上式求得I5，于是可得右上图的答案。2726。解：五个正方形四角上的数字之和都等于K，合起来是5K。另一方面，除中间正方形四角上的数字各属于三个正方形外，其余数字仅属于一个正方形，所以五个正方形四角上所有数字之和又等于112的和再加2K，得到方程5K（1212）2K，解得K26。28解：设中心小三角形内的数为a，在四个大三角形中有三个尖朝上的，由这三个大三角形内的数字之和可得（1210）2a253，解得a10，由此可得填数方法如下：29提示：每个三角形上的三数之和都等于15。30解：设每条边上的五个数之和为k。左下图中三个阴影三角形只属于一条边，其余三角形各属于两条边，记三个阴影部分的数字之和为s，则有3k（129）2s90s，因为s的最小值为1236，所以k的最大值为28；同理k最小值为22。右下图为k28和k22的填数方法。31提示：因为每个数字都属于两条直线，所以六条直线上的数字之和等于前12个自然数之和的2倍，即156，由此知每条直线上的四个数字之和为26。填数方法见右图。32解：图中的六个圆分为四个小圆、一个中圆和一个大圆。如果不考虑中圆，那么除中心数属于四个圆公有外，其余各数均属于两个圆公有。设每个圆周上的四数之和为K，中心数为I，则由这五个圆周上的数字之和得到5K（129）22I，化简得K182I5。因为K是整数，且1I9，所以I5，由此求得K20。因为I5同时属于四个小圆，而每个小圆上的四个数字之和为K20，所以剩下的四个奇数1，3，7，9必在大圆周上（即每个小圆周上有两个奇数），由此推出四个偶数2，4，6，8在中圆周上。填数方法如左下图。33本题与第32题形式不同，但实质完全相同。填数方法见右上图。34解：设四个顶点的数字之和为S。因为每个顶点属于三个面公有，所以由四个面的数字之和得（128）2S144，解得S10，所以四个顶点的数是1，2，3，4。填法见右图。35解：因为每个顶点属于三个面公有，所以每个面上的数字之和为（128）3618，由此得到下图所示的三个解：36解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为129a45a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为6k3（45a），即2k45a。由此知a必为奇数，再由k不能被a整除推知a7，k19。各数的填法见右图。372或3（见下图）。38解：每个正三角形顶点的三数之和为（129）315，每条直线上的四数之和为20。将19九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种分法：（1）1，5，9；2，6，7；3，4，8；（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7。对于（1），中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得左下图的解；对于（2），中心小三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右下图的解。本题本质上只有这两解。39解：设左下图中阴影部分的数字之和为S。因为阴影部分属于两个圆公有，所以由四个圆内的数字之和得到428（1212）S，解得S34。在剩下的八个数中取四个，只有5，6，11，12或6，7，9，12的和等于34，经试验只有右下图一解。 解不唯一。42证明：将a，b，c三数按左下图所示填入方格，根据题目条件可得右下图。在右下图中，根据第二列和第三行都可以求出处的数，可得方程k（kab）ck（kbc）（kac）。注意：这个命题对九个数没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数，可以相同，也可以不同。43证明：设每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于k，中心数为d。根据题目条件可得下图。在下图中，根据第一行和第三列都可以求出处的数，可列方程kc（kdb）ka（kdc），注意：这个命题对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。44（1）45； （2）6。x（3456）245。（2）中心数为（59）27，第二行第三列的数为73（87）6，y73（96）6。45（1）7； （2）12。提示：由第42题知，中心数为2438。46（1）8； （2）11。解：（1）由第43题知，右下角的数为（39）26，所以x73（67）8。（2）由第43题知，右下角的数为（37）25，由67y（y5）23，解得y11。47解：由第42题知中间方格中的数为267389。由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为26789178。两个质数之和为178的共有六组：51731116729149411374713171107，经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。第48，49题与第47题类似。51解：（1）由第42题知中间方格的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列以及对角线的和都等于21，如右图所示填上各数（含x）。因为九个数都不大于12，由16x12知4x，由x212知x10，即4x10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经试验，当x6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x4或10时可得两个解（见左下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。（2）与（1）类似可解（见右上图）。52提示：对于符合题意的某种填法，任意交换两行或两列，仍是符合题意的填法。所以利用题中给出的填法（以下简称原解）可求解。比如（1），已给出4，6，由原解知，与4，6在同一行的是5，可填上5；再由原解知2，5之间填8；再由原解与4，8所在行、列相交的是5和7，5已填好，可填7。其余数类似可填。53提示：因为中间两个分别只与一个不相邻，只能填1和8，其余数的填法见左下图。54与第53题本质相同，填法见右上图。55解：首先确定这九个连续自然数。因为六条直线上的所有数之和等于6加了一次，其余数各加了两次，所以这九个数之和等于（2366）272。九个数中间的数是7298，推知这九个数是412，填数时注意到两个数的和是23的只有1112，可填上11和12（见左下图）。再注意到AB1，CD1及6的位置，可依次填上9，8；5，4；10，7（见右下图）。56解：不算中间的小三角形，则每个都是两个三角形的顶点。设每个三角形三个顶点数之和为k，则有6k（1239）2，解得k15。如果中间小三角形的三个顶点数都是奇数，则可推出外圈六个数的奇偶性全部相同，不合题意，所以中间小三角形的三个顶点数为一奇两偶（见右图）。又若图中处为奇数，则可推出全部九个数中只有三个奇数，不合题意，所以19中的四个偶数应填在同一直线的四个中。再由全是奇数构成的两个三角形推知中间小三角形中的奇数是5，从而两个偶数是4，6或2，8。于是得到下图中所示的四解：57解：本题中左下角的数属于5条直线共有，对角线上中间的数属于4条直线共有，其余数只属于2条或3条直线，所以左下角的数和对角线上中间的数处于特殊地位，应当首先确定这两个数以及每条直线上三数之和。设每条直线上三数之和为k。由图（1）中5条实线上所有数字之和，可列方程因为k是整数，所以a只能取1，6或11；再由图（2）中四条实线上所有数字之和，可列方程得到a只能取2，6或10。综合以上讨论知a6，k18。在图（3）中的5条实线中，只有b属于3条实线共有。注意到这5条实线上的数字没有6，在剩下的十个数字中，三个数的和等于18的共有以下八组：3411；189；1710；3510；279；2511；378；459，其中同时出现在三个算式中的数只有3和9，所以b只可能是3或9，此时c等于9或3。由同时含有3的三个算式知，若b3，c9，则d，e只能取4，11或5，10或7， 8，由于每条直线上的三个数之和为18，且c9，故d，e不能等于10或11，所以d，e只能取7，8。由此可得左下图中的答案。同理，若b9，c3，则可得右下图的另一答案。58解：因为每个三角形的顶点数之和都相等，所以大三角形的每个顶点必与对边中点的数相等，并由此得到三个顶点数之和为20210只能是2，3和5（见左下图）。59解：设每条边上的三个数之积为a，则a3应等于这六个数相乘后，再乘以三个顶点数的乘积。这六个数的乘积为12348122832。为使2832与三个顶点数的乘积是立方数，三个顶点数有四种可能搭配：1，2，3；2，3，8；1，4，12；4，8，12。经试验只有右上图所示的两种填法。60提示：三个质数的和仍为质数，最小的是2237。填法如右图所示。63解：四条边上的数字和为4520，而每个角上的数字属于两条边公有，所以当八个数的总和为K时，四个角上的数字之和为（20K）。填法如下图所示。64解：因为121391，从中去掉一个数后应能被3和4整除，即能被12整除，由911277知，应该去掉7。这样每个横行之和应为84328，每个竖列之和应为84421。进一步分析知道，六个奇数必然有三个在一列，另外三个各在一列。三个奇数的和为21的只有1911和3513两组，填好奇数，剩下的数就好填了（见下图）。上面给出了两个答案，因为行与行、列与列可互换，所以共有288种答案，但本质上只有以上两种。 66解：设每条边上的三数之和为S。如右图所示，设标有a的三数之和为A，标有b的三数之和为B。因为标有a的只属于一条边，没标字母的属于两条边，标有b的属于三条边，所以六条边上所有数字之和等于将19加两遍，再加B减A，得到6S90BA，再由小三角形三边上的数字和，得到3S2BA。由可得 S10B/3，所以B必为3的倍数。又因为B是19中的三数之和，故6B24。当B6时，S12，用b表示的三个数只能是1，2，3，可得左下图的解。当B24时，S18，用b表示的三个数只能是7，8，9，可得右上图的解。当B12时，S14，只有当用b表示的三个数为1，4，7时，有左下图的解。当B18时，S16，只有当用b表示的三个数为3，6，9时，有右上图的解。当B9，15或21时无解。67分析：一般地，对于左下图中的四个数a，b，c，d，如果取任一行、任一列三数之积为abcd，则有左下图的填法，其中s1；如果 cd， ab， bd，ac有公约数e，则有右下图的填法，其中se。记cd，ab，bd，ac的最大公约数为k，如右下图所示，k的每一个不同的约数e对应一个不同的解，所以题目不同答案的数量等于k的约数的个数。解：（1）因为（12，43，14，23）2，2只有1和2两个约数，由上面的分析可得左下图所示的两个解。（2）因为（23，45，24，35）1，所以只有右上图所示的一个解。（3）因为（23，54，25，34）2，2只有1和2两个约数，所以有下图所示的两个解。68解：（1）右下角的数为1210158，如左下图所示，由c所在的行与列的三数之积相等，得到12a8d，即ad23；同理，由a所在的行与列，可得12c15b，即bc45。于是可得下中图的解。（2）与（1）类似可得右上图的解。69解：（1）右上角的数为60（56）2，右下角的数为56215。与第67题类似，可得下面两种填法。（2）与（1）类似可得下面两种填法。70解：圆内三数之和最小为1113，最大为2226，有三个1的圆和有三个2的圆必在相对的位置，填法如右图。71解：同一圆周上的四个数不可能相同，否则另外两个圆周上的四数之和必然相等。由此知道，同一圆周上的四数之和最小为11125，最大为12227，即三个圆周上的四数之和分别为5，6，7，填法见下图。72解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图所示的两个解。因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方。73解：如果五个数中有两个相同，则其中三个数的和至多有7个不同值，所以五个数互不相同。五个互不相同的自然数中，最小的是1，2