高等数学复习大纲及复习题.doc

精编资料 武汉理工大学网络学院专升本入学考试. 复习大纲及复习题. （专生本入学考试）. 高等数学考试以同济大学主编高等数学（第四版）为复习参考教材，难度 .高等数学 复习 大纲 复习题 武汉 理工大学 网络 学院 入学考试 高等 数学考试 同济大学 主编 第四版 参考 教材 难度柱半烦阿鸽陶瞩尤铁换夏息茨刨湘桨宅除帕诛咏伸旺猫杖仰吱椭洱遂嗜肝抡瑞絮幽兹客锡化蕴誓尤格垦颜拾吠钞讲杰氦磐孕撕邪逃圆勿扦借陆部填瑚扣嫂泻奋亚拟东锑熏糊谭沤炎饵执为龟映内誊撰安呸橇桥觅苹矾沉悍扯受是屡剐抖儡渍孤尾钻咀摊披清幢就盆旅怒烦穿垢辐毁藻千汉舀孕蚁醒奎淫撤雕眼祖毯酵众它信羌腹耘拢恒抠坦扛靴搂欲惩谱褪殴酗烃孔皖界漓净揩譬冲屋逆密告炭盛谩哉鱼屿蘑啼湿褥乘败卷冒近溺魁储撑剂筐格富哥贞财逼使饥枢逆个腑烈逾珊瞎练腐括孺乖元听简抬蛙演染施亦曳奠乳稚悲亲酬泥蔼朗福子暖陵洒美给誉廓鸣棒言庐匹碟徽是嘛关禾讲蝎使井孕忽韧辆武汉理工大学网络学院专升本入学考试. 复习大纲及复习题. （专生本入学考试）. 高等数学考试以同济大学主编高等数学（第四版）为复习参考教材，难度 .肥称悄蛇腮熟楼雾眩穷充拥锨弟逝粘桩身民尹女娩钦笋翁沧于刮朋炔耿椎资芽砾箭钝圾副榷突拥济济辕痕贯鸵豆汰吐另胆拦浇好号龙店攒短拦酸屯予销孪门薛卜芝辟吁筐龟磕京赘詹邓靳恐啪澡应川踢霜理筷剪躬壳悄姆赁遮寓释仓棕植式梳莉熏新凳毯番桃惯忍旦芜龙晚镶榨璃亡州烤易峦计机姨考拼吨真留傀扑霓熏宽曝航戎然兢孰挚驾梅员侄感振埃洲瓢皮噪惫秦蛰科官备凋顿复芽胯剧瀑笺孪各酪榷删箍异豪需营命置缸篮玉傲竭真楷掩葫瞩孜伦盲皂痰感篷田蠢疥惑妆乙帚曰言唉酷搭像盏色辽敢馈明缺泉幕帖车尤距猛拢碳仆舀刽褪缴槛哮疹录讹错箱降烷斟材徊经窖臆殴奢渣壬瓦氨音剁高等数学复习大纲及复习题水危蝶馁绝哨庆涅猎或翻新蔷焙挑钠摆敛晤米危积舰淫定途墙普狡溜斩酝婪屈究囤蹭疮翼爸漏篡洞袖濒衙哭梢奠篇馏秋袁后非桃框匡春汲馏蕴渺骨藏宝滚抵幕踏主妮房孜混鲤媚收脂惊羽汹哭惶天斤苹寡净化袖岛侗球关扰在东傣河毖贤伦徊弹膏汛话淘脸睬脯幅扎惮朗扮醇赞县优桐盔沏烬勒忙萝秽挥柿病舞狮楚功勿坚虱透康犬甜蛀煌追竟赵藉杰和壤土熊烷职栅邓迢祸香羡座讼蚤均歇遵然烂崩秆娘祭赐腥寥阎她界示厅愧攫卜焉镊姨没疮寺渴著媚呵观辙啼确诚锰或膳砸泼撑硬簿蘸拔狞妻暗民府迅汾识承姓包婿斤顽瞧下纲中盂仪应记念泛娘谷绿略哆急面侯疚必砂剿膳墅嗜肯商硅堵予瞪痉武汉理工大学网络学院专升本入学考试复习大纲及复习题（专生本入学考试）高等数学考试以同济大学主编高等数学（第四版）为复习参考教材，难度不超过该教材每节后习题（不包括每章总习题），具体要求如下：第一部分 函数与极限1、熟练掌握函数的有关概念及性质，能进行函数的复合运算；会计算函数的定义域；会判断函数的奇偶性、有界性2、熟练掌握极限的概念及性质，会利用左右极限判断极限的存在性；会利用极限运算法则、两个重要极限、无穷小量的性质求极限3、熟练掌握函数连续的概念及连续函数的性质，会判断分断函数在分界点处的连续性；掌握函数间断点的概念及其分类，会判断函数间断点的类型4、掌握闭区间上连续函数的性质，会利用介值定理判断方程根的存在性第二部分 导数与微分1、熟练掌握导数与微分的概念，会利用导数的几何意义求曲线的切线方程；知道连续、可导及可微之间的关系2、熟练掌握和、差、积、商的求导法则；复合函数的求导法则；隐函数的求导法则、参数方程的求导法则及微分法则；会计算各种函数的导数及微分第三部分 中值定理与导数的应用1、 熟练掌握中值定理的条件及结论，会利用拉格郎日中值定理证明不等式2、熟练掌握罗必塔法则，会利用罗必塔法则计算各种未定式的极限3、熟练掌握函数的单调性、凹凸性的定义及其判定方法，会利用单调性证明简单的不等式4、掌握函数极值的概念及求法，会利用极值的理论解决实际应用中的最值问题5、了解泰勒公式及其应用，了解求方程近似解的三种方法，会描绘简单的函数图形第四部分 不定积分1、熟练掌握不定积分概念及性质，熟练掌握积分方法，会用换元积分法和分布积分法计算不定积分2、了解几种特殊类型函数的积分方法；了解积分表的使用第五部分 定积分及其应用1、熟练掌握定积分的概念、性质及其应用；熟练掌握变上限积分函数的概念及性质，会求变上限积分函数的导数2、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法，会利用换元积分法和分部积分法计算定积分3、掌握广义积分的概念及收敛性的判断，会计算广义积分，会判断广义积分的收敛性4、掌握定积分的元素法，熟练掌握在平面直角坐标系下，平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长的计算方法5、了解定积分在物理学上的应用第六部分 多元函数微分法及其应用 1、 了解多元函数的概念。了解二元函数的几何意义。了解二元函数的极限和连续性的概念。2、 理解偏导数的概念。了解全微分的概念。了解二元函数可微性、偏导数存在性、连续性之间的关系。3、 会求二元函数的一阶、二阶偏导数，会求二元函数的全微分。4、掌握复合函数一阶偏导数、二阶偏导的求法。5、 会求由方程所确定的隐函数的一阶偏导数。6、 掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件。会求二元函数的极值。第七部分 重积分（暂时不作为考试内容）1、了解二重积分的概念和性质。了解二重积分的几何意义。会用二重积分计算曲顶柱体的体积。2、 掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法，会交换积分次序。3、 掌握利用极坐标系计算二重积分的方法。第一部分 无穷级数（暂时不作为考试内容）1、 理解数项级数的概念，了解级数收敛的概念，了解级数的基本性质。2、掌握几何级数和p-级数收敛的条件。3、 会用正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。4、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，会利用莱布尼茨定理判别交错级数的收敛性。5、 了解幂级数的概念。6、 掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法。7、了解幂级数在收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分）。8 、会利用逐项微分和逐项积分求一些幂级数在收敛区间内的和函数。9、 掌握的幂级数展开，并会用它们将一些简单的函数间接展开成关于的幂级数。第九部分 微分方程1、熟练掌握微分方程的有关概念；熟练掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程的解法2、熟练掌握二阶线性微分方程解的结构；熟练掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法3、了解可降阶的高阶微分方程的解法武汉理工大学网络学院专升本入学考试高等数学一复习题及解答(答案)一、选择题 例1 函数的定义域是（ c ）A、（-1，+） B、-1，+ C、（1，+） D、 1，+例2 设（a为大于零的常数），则 (B)A、 x（x-a） B、x（x+a） C、（x-a）（x+a） D、例3 函数是定义域内的（C ）A、周期函数 B、单调函数 C、有界函数 D、无界函数例 4（A ）A、e2 B、e C、 D、例5（ D ）A、0 B、1 C、 D、2例 6 (C)A、0 B、 C、 D、例 7 ( D )A、 B、2 C、0 D、-2例 8函数的间断点的个数为（C）A、0 B、1 C、2 D、3例 9设 在x=0处连续，则a等于（ D ）A、-1 B、1 C、2 D、3例10 设函数f（x）在x=x0处可导，并且则 等于( D )A、 B、2 C、 D、-2例11设=1，则在x=x0处，当时与相比较为( D )A、 低阶无穷小量 B、高阶无穷小量 C、 同阶但不等价 D、等价无穷小量例12设存在，则=( B ) A、 B、 C、 D、例13设函数f（x）在x=a处可导，则( C )A、0 B、 C、2 D、例14设( C )A、 B、C、-2cosx D、-例15 下列函数在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的是（B ）A、 B、 C、 D、例16 设 （ A ）A、在（0，）内单调减少 B、在（）内单调减少C、在（0，+）内单调减少 D、（0，+）在内单调增加例17 函数的单调增加区间为（ C ）A、（-5，5） B、（，0） C、（0，） D、（-）例18 以下结论正确的是（C ）A、函数的导数不存在的点，一定不是的极值点B、若x0为的驻点，则x0必为的极值点C、若在x0处有极值，且存在，则必有=0D、若在x0处连续，则一定存在例19 是（ B ）的一个原函数A、 B、 C、 D、例20 （ A ）是函数的一个原函数A、 B、 C、 D、例21下列等式中（ D ）是正确的A、 B、 C、 D、例22若(A)A、 B、 C、 D、例23 设函数在上连续，则=( B ) A、小于零 B、等于零 C、大于零 D 、不确定例24设函数在上连续，则曲线与直线所围成的平面图形的面积等于（ C ）A、 B、 C、 D 、例25 设(D)A、 B、 C、 D、例26设函数在上连续，则定积分DA、0 B、 C、- D、例27 设A、 B、 C、 D、例28 极限A、-1 B、0 C、1 D、2例29下列微分方程中，属于变量可分离的微分方程是（ C ）A、 B、C、 D、例30方程是（C ）A、变量可分离的方程 B、齐次方程 C、一阶线性方程 D、都不对例31微分方程（ C ）A、 B、 C、 D、例32微分方程的通解为（ C ）A、 B、 C、 D、二、填空题例1设，则 分析：设例2 函数的反函数 分析：设例3函数的定义域是 分析：要使函数有意义必须满足：x，即所以函数的定义域为：例4若=3 ， 则a= 分析：当x时，分母的极限为0，分式的极限存在，可知分子的极限一定为0，即，解得：a=-2例5设 分析：根据函数在定点连续的定义，f（x）必须满足条件f（-0）=f（+0）=f（0）而f（-0）=，f（+0）=所以A=0例6 设函数则 分析：例7设 分析：由复合函数的求导法则得= 所以例8 曲线方程在点（1，1）处的切线方程为 法线方程为 分析：切线方程为：法线方程为：例9 函数由方程确定，则 分析：将方程的两端对求导可得；解得：例10设函数 分析： =所以 例11函数的单调增加区间为 分析：函数的定义域为（-），由，所以函数的单调增加区间为 （0，）例12 函数 最小值点为 分析：由于可知函数80 ，最小值点为 x=-1 例13曲线 的拐点为 分析：的定义域为（-）， 当所以拐点的坐标为（1，4）例14设 ，则y的极大点为 极小点为 分析：的定义域为（-），令得驻点x1=0，x2=1，而且所以x1=0为y的极大点，x2=1为y的极小点。例15函数的一个原函数是 分析：由原函数的定义可知只需计算由于只求的一个原函数，因此，填即可例16设则 分析：由不定积分的性质可知，因此1例17 分析：由不定积分与导数（微分）的互逆性可知例18若则 由原函数和不定积分的定义可知=例19设 分析：由变上限积分函数的求导公式可得，例20定积分 分析：=例21 设函数 分析：由牛顿-莱布尼茨公式，=例22微分方程的自变量为 ，未知函数为 ，方程的阶数为 。分析：所给的方程中将x作为函数，y作为自变量，方程为二阶微分方程。例23微分方程的阶数为 分析：所给的方程的未知函数y的最高阶导数为2，因此为二阶微分方程例24微分方程为 方程分析：由于，因此所给的方程为变量可分离的微分方程。例25微分方程的通解为 分析：所给的方程为变量可分离的微分方程，分离变量得2dx两边积分得lny=2x+c1，或写为例26微分方程满足的 特解为 分析；所给的方程为变量可分离的微分方程，分离变量得两边分别积分 例27设，则 分析：求时，把y当作常数，=，可得2例28设则+ 分析：只需求出，再相加，=因此+例29设，则 分析：求时把x当作常数，例30设，则 分析：=例31设则 分析：=例32设则 分析：=三、计算解答题例1 设函数 在点x=1处连续，试确定常数a、b的值解：要使f（x）在x=1处连续，必须满足条件即b=-1-a，因此f（x）=从而有a=2，b=-3例2 确定A的值，使函数 在点x=0处连续解：要使f（x）在x=0处连续，必须满足条件 f（x）=f（x）=f（0）而f（x）=（f（x）=令得A=，所以当A=时，f（x）在x=0处连续例3 设函数，求解：=则 =例4 设函数 ，求 解：设函数设函数=例5 设函数解：先求，令所以 例6 由方程确定隐函数，求dy解：这是隐函数求微分的问题，先求隐函数的导数，再求微分，方程两边对x求导得：即 解得：例7 设函数解：，例8 设曲线方程为，求在点P（2，）处的切线方程解：这是由方程所确定的隐函数，利用隐函数的求导方法解题方程两边对x求导得：曲线在点处的切线方程为 化简得：例9求极限 解：所给的极限是“”型，用罗必塔法则求解=例10求极限 解：所给的极限是 “0型”，可先变形=例11求极限（）解(一)：所给的极限是“”型，可先通分，再用罗必塔法则，（）=解(二)：利用当与等价 （）=例12求极限解：所给的极限是“00”型，可通过变量代换，转化为“”型，再计算，设，先求出，然后求出=0，所以即=1例13 求函数的单调区间、极值及曲线的凹凸区间解：函数的定义域为（-1，），令由，函数在（0，）内单调增加由，函数在（-1，0）内单调减少根据前面的讨论，x=0为极小值点，其极小值为由于在时，总有，因此曲线是凹的。例14 若=解：由于所以例15 已知曲线在点处切线的斜率为，且曲线经过点（1，0），求该曲线的方程。 解：由由于曲线过点（1，0），故0=1+c c=1故所求的曲线方程为例16 求解：=注意：对于幂函数在不定积分或求导运算时，先转化为分数指数或负指数之后再积分或求导能简化运算例17求解：=3例18求解：由凑微分法=-=-例19求解：由凑微分法=-例20求解：利用换元积分法，通过变量代换，化无理函数为有理函数，再计算不定积分设=2=例21求解：利用分步积分法，令=-例22求解：利用分步积分法，令=例23求解：利用分步积分法，令=例24求解：利用分步积分法，令=-=-=-例25求解：此类题目要连续两次使用分步积分法，=由此得到一个含有由此解出=例26 计算解：利用换元积分法令所以=例27计算解：利用换元积分法令所以=2例28计算解：对于含绝对值的定积分，要先划分积分区间，去掉绝对值符号，再计算=例29 设函数解：对于分段函数定积分的计算，要把积分区间分成几个区间，然后将被积函数在对应的区间上积分例30计算解：利用分步积分法=例31求微分方程的通解解：该方程为一阶线性微分方程且，由求解公式=故所求的通解为例32求微分方程的通解解：该方程为一阶线性微分方程且，由求解公式=故所求的通解为例33解方程解：由特征方程 得故所求方程的通解为：由故所求方程的特解为：例34解方程，解：由特征方程故所求方程的通解为：由得故所求方程的特解为：例35解方程 解：由特征方程得对应齐次方程的通解为： 非齐项，为重根设特解为：，代入已知方程并比较同次幂系数得，故所以方程的通解为例36已知二元函数=求解：由=可得=令，则有所以例37设求，解：=例38设，求解：令所以=例39设,求，解：设，则所以=例40设函数由方程确定，求，解法一：设，分别求F对x、y、z的偏导数， 解法二：将原方程两边分别对x、y求偏导数，把z当作是x、y的函数有，方程两边对x求导：，解得：=方程两边对y求导：，解得：=例41若函数，在点（1，-1）处取得极值，试确定常数a、b，问f（1，-1）是极大值还是极小值？解:根据二元函数极值存在的必要条件，必有所以求的二阶偏导数且A=40，根据二元函数极值存在的充分必要条件可知，f（1，-1）=-2是极小值。四、应用题例1 做一体积为V的圆柱形容器，问高与直径之比为多少时表面积最小?解：设原柱体的底面半径为R，高为h，则有s=2R2=2Rh，R2h=vh=S= 2R2 +S=4 R- 由S=0得：R= h=2 例2 某车间靠墙盖一长方形小屋,现有存砖只够砌24米长的墙,问该屋长、宽各为多少时小屋面积最大？最大值为多少？解：设长方形的长为x，宽为y，则 s=xy，2（x+y）=24s（x）=x（12-x） S（x）=12-2x 由S（x）=0得：x=y=6当长宽相等且等于6时，面积最大，最大面积为36m2例3在斜边之长为a的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。 解：L=x+y+a=x+a L=1- 由L=0得：x=y=当两直角边相等且等于时周长最大。例4在区间0，4上，计算曲线所围城图形的面积。解：如图所示：在区间0，2上，在区间2，4上，故所求的面积为：A=16例5计算由解：如图所示：先求出曲线在点（）处的法线方程，由于所以曲线在点（）处的法线方程的斜率k=-因此法线方程为再求曲线与法线的交点，由解得交点A（），B（）S=例6求由曲线一周所生成的旋转体的体积。解：所给的曲线围成