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函数的对称性 有些函数 其图像有着优美的对称性 同时又有着优美的对称关系式 1 3 1 2 1 6 5 4 3 2 7 8 偶函数 Y F x 图像关于直线x 0对称 知识回顾 从 形 的角度看 从 数 的角度看 F x F x X Y 1 3 1 2 1 6 5 4 3 2 7 8 f x f 4 x f 1 f 0 f 2 f 310 f 6 f 4 310 0 Y f x 图像关于直线x 2对称 f 3 f 4 从 形 的角度看 从 数 的角度看 x y 1 f 1 x f 3 x f 2 x f 2 x f x f 4 x 对于任意的x你还能得到怎样的等式 从 形 的角度看 从 数 的角度看 Y f x 图像关于直线x 2对称 1 3 1 2 6 5 4 3 2 7 0 Y x 1 3 1 2 1 6 5 4 3 2 7 8 x 1 f x f 2 x 思考 若y f x 图像关于直线x 1对称 Y x 1 3 1 2 1 6 5 4 3 2 7 8 x 1 f 1 x f 1 x 思考 若y f x 图像关于直线x 1对称 f x f 2 x Y x 1 猜测 若y f x 图像关于直线x a对称 在y f x 图像上任取一点P 点P关于直线x a的对称点P 则有P 的坐标应满足y f x 也在f x 图像上 P x0 f x0 P P 2a x0 f x0 f x0 f 2a x0 即 f x f 2a x x0 2a x0 y f x 图像关于直线x a对称 代数证明 求证 已知 y f x 图像关于直线x a对称 f x f 2a x 在y f x 图像上任取一点P 若点P关于直线x a的对称点P 也在f x 图像上 P x0 f x0 P P 2a x0 f x0 f x0 f 2a x0 f x f 2a x x0 2a x0 y f x 图像关于直线x a对称 代数证明 已知 求证 y f x 图像关于直线x a对称 则y f x 图像关于直线x a对称 f x f 2a x P 在f x 的图像上 y f x 图像关于直线x a对称 f a x f a x y f x 图像关于直线x 0对称 特例 a 0 轴对称性 思考 若y f x 满足f a x f b x 则函数图像关于对称 F x F x 0 y F x 图像关于 0 0 中心对称 中心对称性 类比探究 a 从 形 的角度看 从 数 的角度看 F x F 2a x 0 x y o a y F x 图像关于 a 0 中心对称 从 形 的角度看 从 数 的角度看 中心对称性 类比探究 x 2a x F x F 2a x 0 F a x F a x 0 x y o a 从 形 的角度看 从 数 的角度看 中心对称性 类比探究 a x a x y F x 图像关于 a 0 中心对称 b a F a x F a x 2b F x F 2a x 2b b 中心对称性 y F x 图像关于 a b 中心对称 类比探究 x y o 思考 1 若y f x 满足f a x f b x 0 2 若y f x 满足f a x f b x 2c 则函数图像关于对称 则函数图像关于对称 知识内容 函数图像的对称性 对称关系式 y F x 图像关于x a轴对称 F x F 2a x F a x F a x y F x 图像关于点 a b 中心对称 F x F 2a x 2b F a x F a x 2b 数学思想方法 1 数形结合 2 由特殊到一般 3 类比思想 知识迁移 已知对任意x 有f x 2 f x 当x 2 3 y x 求当x 1 0 时 f x 的解析式 谢谢 奇函数 F x F x 即 F x F x 0 函数图像关于 0 0 中心对称 x x F x F 2a x 0 F a x F a x 0 函数图像关于 a 0 中心对称 x x a 函数图像关于 a 0 中心对称 F a x F a x 0 F x F 2a x 0 函数图像关于 a 0 中心对称 函数图像关于直线x 0对称 F x F x 函数图像关于直线x a对称 F a x F a x x a F x F 2a x 函数图像关于 0 0 中心对称 函数图像关于 a 0 中心对称 F x F x F a x F a x 0 F x F 2a x 0 轴对称 中心对称性 函数图像关于轴对称 证明 必要性 1 3 1 2 6 5 4 3 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 1 6 5 4 3 2 7 8 思考 若函数图像关于轴对称 有怎样的对称关系式 函数y f x 图像关于x a轴对称 证明 必要性 任取y f x 图像上一点P x0 y0 若点P关于直线x a的对称点P 也在f x 图像上 分析 P x0 y0 P P 2a x0 y0 代入y f x Y0 f 2a x0 y f x 图像上每一点及其关于x a对称点都在y f x 图像上 则y f x 图像上图象关于x a对称 则由P的任意性可知 f x f 2a x 函数图像关于直线x 0对称 F x F x 函数图像关于直线x a对称 F a x F a x x a F x F 2a x 函数图像关于 0 0 中心对称 函数图像关于 a 0 中心对称 任取y f x 图像上一点P x0 y0 设P 是P关于直线x a的对称点 由f x 图像关于x a对称 P 也在y f x 图像上 P x0 y0 P f 2a x0 f x0 即 f x f 2a x x0 2a x0 P 2a x0 y0 猜测 若f x 图像关于直线x a对称 f x 有怎样的对称关系式 证明 y0 f x0 若P 也在f x 图像上 2a x0 y0 P P 2a x0 y0 代入y f x f 2a x0