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第五节 一 有向曲面及曲面元素的投影 二 对坐标的曲面积分的概念与性质 三 对坐标的曲面积分的计算法 四 两类曲面积分的联系 机动目录上页下页返回结束 对坐标的曲面积分 第十章 一 有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分左侧和右侧 单侧曲面的典型 机动目录上页下页返回结束 其方向用法向量指向 方向余弦 0为前侧 0为后侧 封闭曲面 0为右侧 0为左侧 0为上侧 0为下侧 外侧内侧 设 为有向曲面 侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面 表示 其面元 在xoy面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 机动目录上页下页返回结束 二 对坐标的曲面积分的概念与性质 1 引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 分析 若 是面积为S的平面 则流量 法向量 流速为常向量 机动目录上页下页返回结束 对一般的有向曲面 用 大化小 常代变 近似和 取极限 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 则 机动目录上页下页返回结束 设 为光滑的有向曲面 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点 分 记作 P Q R叫做被积函数 叫做积分曲面 或第二类曲面积分 下列极限都存在 向量场 若对 的任 2 定义 机动目录上页下页返回结束 引例中 流过有向曲面 的流体的流量为 称为Q在有向曲面 上对z x的曲面积分 称为R在有向曲面 上对x y的曲面积分 称为P在有向曲面 上对y z的曲面积分 若记 正侧的单位法向量为 令 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动目录上页下页返回结束 3 性质 1 若 之间无公共内点 则 2 用 表示 的反向曲面 则 机动目录上页下页返回结束 三 对坐标的曲面积分的计算法 定理 设光滑曲面 取上侧 是 上的连续函数 则 证 取上侧 机动目录上页下页返回结束 若 则有 若 则有 前正后负 右正左负 说明 如果积分曲面 取下侧 则 机动目录上页下页返回结束 例1 计算 其中 是以原点为中心 边长为a的正立方 体的整个表面的外侧 解 利用对称性 原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧 机动目录上页下页返回结束 解 把 分为上下两部分 思考 下述解法是否正确 例2 计算曲面积分 其中 为球面 外侧在第一和第八卦限部分 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 例3 设S是球面 的外侧 计算 解 利用轮换对称性 有 机动目录上页下页返回结束 四 两类曲面积分的联系 曲面的方向用法向量的方向余弦刻画 机动目录上页下页返回结束 令 向量形式 机动目录上页下页返回结束 例4 位于原点电量为q的点电荷产生的电场为 解 机动目录上页下页返回结束 例5 设 是其外法线与z轴正向 夹成的锐角 计算 解 机动目录上页下页返回结束 例6 计算曲面积分 其中 解 利用两类曲面积分的联系 有 原式 旋转抛物面 介于平面z 0 及z 2之间部分的下侧 机动目录上页下页返回结束 原式 机动目录上页下页返回结束 内容小结 定义 1 两类曲面积分及其联系 机动目录上页下页返回结束 性质 联系 思考 的方向有关 上述联系公式是否矛盾 两类曲线积分的定义一个与 的方向无关 一个与 机动目录上页下页返回结束 2 常用计算公式及方法 面积分 第一类 对面积 第二类 对坐标 二重积分 1 统一积分变量 代入曲面方程 方程不同时分片积分 2 积分元素投影 第一类 面积投影 第二类 有向投影 4 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 注 二重积分是第一类曲面积分的特殊情况 转化 机动目录上页下页返回结束 当 时 上侧取 下侧取 类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 P167题2 提示 设 则 取上侧时 取下侧时 2 P184题1 3 P167题3 3 机动目录上页下页返回结束 是平面 在第四卦限部分的上侧 计算 提示 求出 的法方向余弦 转化成第一类曲面积分 P167题3 3 设 作业P1673 1 2 4 4 1 2 第六节目录上页下页返回结束 备用题求 取外侧 解 注意 号 其中 机动目录上页下页返回结束 利用轮换对称性 机动目录上页下页返回结束 第六节 Green公式 Gauss公式 推广 一 高斯公式 二 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三 通量与散度 机动目录上页下页返回结束 高斯公式通量与散度 第十章 一 高斯 Gauss 公式 定理1 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 下面先证 函数P Q R在 面 所围成 的方向取外侧 则有 Gauss公式 高斯目录上页下页返回结束 证明 设 为XY型区域 则 定理1目录上页下页返回结束 所以 若 不是XY 型区域 则可引进辅助面 将其分割成若干个XY 型区域 故上式仍成立 正反两侧面积分正负抵消 在辅助面 类似可证 三式相加 即得所证Gauss公式 定理1目录上页下页返回结束 例1 用Gauss公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧 解 这里 利用Gauss公式 得 原式 用柱坐标 及平面z 0 z 3所围空间 思考 若 改为内侧 结果有何变化 若 为圆柱侧面 取外侧 如何计算 机动目录上页下页返回结束 例2 利用Gauss公式计算积分 其中 为锥面 解 作辅助面 取上侧 介于z 0及 z h之间部分的下侧 所围区域为 则 机动目录上页下页返回结束 利用重心公式 注意 机动目录上页下页返回结束 例3 设 为曲面 取上侧 求 解 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 机动目录上页下页返回结束 在闭区域 上具有一阶和 二阶连续偏导数 证明格林 Green 第一公式 例4 设函数 其中 是整个 边界面的外侧 分析 高斯公式 机动目录上页下页返回结束 证 令 由高斯公式得 移项即得所证公式 见P171 机动目录上页下页返回结束 二 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1 连通区域的类型 设有空间区域G 若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G 则称G 为空间二维单连通域 若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面 则称G为空间一维单连通域 例如 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 既是一维也是二维单连通区域 是二维但不是一维单连通区域 是一维但 机动目录上页下页返回结束 2 闭曲面积分为零的充要条件 定理2 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数 为G内任一闭曲面 则 证 充分性 根据高斯公式可知 是 的充分条件 的充要条件是 必要性 用反证法 已知 成立 机动目录上页下页返回结束 因P Q R在G内具有连续一阶偏导数 则存在邻域 则由高斯公式得 与 矛盾 故假设不真 因此条件 是必要的 取外侧 机动目录上页下页返回结束 三 通量与散度 引例 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1 速度场为 理意义可知 设 为场中任一有向曲面 单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系 流量还可表示为 机动目录上页下页返回结束 若 为方向向外的闭曲面 当 0时 说明流入 的流体质量少于 当 0时 说明流入 的流体质量多于流出的 则单位时间通过 的流量为 当 0时 说明流入与流出 的流体质量相等 流出的 表明 内有泉 表明 内有洞 根据高斯公式 流量也可表为 机动目录上页下页返回结束 方向向外的任一闭曲面 记 所围域为 设 是包含点M且 为了揭示场内任意点M处的特性 在 式两边同除以 的体积V 并令 以 任意方式缩小至点M 则有 此式反应了流速场在点M的特点 其值为正 负或0 分别反映在该点有流体涌出 吸入 或没有任何变化 机动目录上页下页返回结束 定义 设有向量场 其中P Q R具有连续一阶偏导数 是场内的一片有向 则称 曲面 有向曲面 的通量 流量 在场中点M x y z 处 divergence 机动目录上页下页返回结束 表明该点处有正源 表明该点处有负源 表明该点处无源 散度绝对值的大小反映了源的强度 例如 匀速场 故它是无源场 P16目录上页下页返回结束 说明 由引例可知 散度是通量对体积的变化率 且 例5 置于原点 电量为q的点电荷产生的场强为 解 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 高斯公式及其应用 公式 应用 1 计算曲面积分 非闭曲面时注意添加辅助面的技巧 2 推出闭曲面积分为零的充要条件 机动目录上页下页返回结束 2 通量与散度 设向量场 P Q R 在域G内有一阶连续 偏导数 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G内任意点处的散度为 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 所围立体 判断下列演算是否正确 1 2 为 机动目录上页下页返回结束 作业 P1741 2 4 5 2 2 3 4 第七节目录上页下页返回结束 备用题设 是一光滑闭曲面 所围立体 的体 是 外法线向量与点 x y z 的向径 试证 证 设 的单位外法向量为 则 的夹角 积为V 机动目录上页下页返回结束 高斯 1777 1855 德国数学家 天文学家和物理学家 是与阿基米德 牛顿并列的伟大数学家 他的数学成就遍及各个领域 在数论 级数 复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献 他还十分重视数学的应用 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法 曲面论和位势论等 他在学术上十分谨慎 原则 代数 非欧几何 微分几何 超几何 在对天文学 大 恪守这样的 问题在思想上没有弄通之前决不动笔 三 环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一 斯托克斯公式 二 空间曲线积分与路径无关的条件 四 向量微分算子 机动目录上页下页返回结束 第十章 一 斯托克斯 Stokes 公式 定理1 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 斯托克斯公式 个空间域内具有连续一阶偏导数 的 侧与 的正向符合右手法则 在包含 在内的一 证 情形1 与平行z轴的直线只交于 一点 设其方程为 为确定起见 不妨设 取上侧 如图 则有 简介目录上页下页返回结束 则 利用格林公式 定理1目录上页下页返回结束 因此 同理可证 三式相加 即得斯托克斯公式 定理1目录上页下页返回结束 情形2曲面 与平行z轴的直线交点多于一个 则可 通过作辅助线面把 分成与z轴只交于一点的几部分 在每一部分上应用斯托克斯公式 然后相加 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立 注意 如果 是xoy面上的一块平面区域 则斯托克斯 公式就是格林公式 故格林公式是斯托克斯公式的特例 证毕 定理1目录上页下页返回结束 为便于记忆 斯托克斯公式还可写作 或用第一类曲面积分表示 定理1目录上页下页返回结束 例1 利用斯托克斯公式计算积分 其中 为平面x y z 1被三坐标面所截三角形的整个 解 记三角形域为 取上侧 则 边界 方向如图所示 利用对称性 机动目录上页下页返回结束 例2 为柱面 与平面y z的交线 从z 轴正向看为顺时针 计算 解 设 为平面z y上被 所围椭圆域 且取下侧 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 公式目录上页下页返回结束 二 空间曲线积分与路径无关的条件 定理2 设G是空间一维单连通域 具有连续一阶偏导数 则下列四个条件相互等价 1 对G内任一分段光滑闭曲线 有 2 对G内任一分段光滑曲线 与路径无关 3 在G内存在某一函数u 使 4 在G内处处有 机动目录上页下页返回结束 证 由斯托克斯公式可知结论成立 自证 设函数 则 定理2目录上页下页返回结束 同理可证 故有 若 3 成立 则必有 因P Q R一阶偏导数连续 故有 同理 证毕 定理2目录上页下页返回结束 与路径无关 并求函数 解 令 积分与路径无关 因此 例3 验证曲线积分 定理2目录上页下页返回结束 三 环流量与旋度 斯托克斯公式 设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为 则斯托克斯公式可写为 机动目录上页下页返回结束 令 引进一个向量 定义 沿有向闭曲线 的环流量 或 于是得斯托克斯公式的向量形式 旋度 机动目录上页下页返回结束 rotation 设某刚体绕定轴l转动 M为刚体上任一 点 建立坐标系如图 则 点M的线速度为 此即 旋度 一词的来源 旋度的力学意义 机动目录上页下页返回结束 注意 与 的方向形成右手系 斯托克斯公式 的物理意义 例4 求电场强度 的旋度 解 除原点外 这说明 在除点电荷所在原点外 整个电场无旋 机动目录上页下页返回结束 的外法向量 计算 解 例5 设 机动目录上页下页返回结束 四 向量微分算子 定义向量微分算子 它又称为 Nabla 算子 或哈密顿 Hamilton 算子 则 机动目录上页下页返回结束 则 高斯公式与斯托克斯公式可写成 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 斯托克斯公式 机动目录上页下页返回结束 在 内与路径无关 在 内处处有 在 内处处有 2 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设P Q R在 内具有一阶连续偏导数 则 机动目录上页下页返回结束 3 场论中的三个重要概念 设 梯度 机动目录上页下页返回结束 散度 旋度 则 思考与练习 则 提示 三式相加即得 机动目录上页下页返回结束 作业 P1831 1 3 4 2 1 3 3 1 4 2 6补充题 证明 习题课目录上页下页返回结束 斯托克斯 1819 1903 英国数学物理学家 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一 其 主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法 在1845年他导 出了著名的粘性流体运动方程 后称之 为纳维 斯托克斯方程 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式 他一生的工作先后分五卷 出版 机动目录上页下页返回结束 习题课 一 曲线积分的计算法 二 曲面积分的计算法 机动目录上页下页返回结束 线面积分的计算 第十章 一 曲线积分的计算法 1 基本方法 曲线积分 第一类 对弧长 第二类 对坐标 1 统一积分变量 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 2 确定积分上下限 第一类 下小上大 第二类 下始上终 练习题 P184题3 1 3 6 机动目录上页下页返回结束 解答提示 计算 其中L为圆周 提示 利用极坐标 原式 说明 若用参数方程计算 则 机动目录上页下页返回结束 P1843 1 P1843 3 计算 其中L为摆线 上对应t从0到2 的一段弧 提示 机动目录上页下页返回结束 P1843 6 计算 其中 由平面y z截球面 提示 因在 上有 故 原式 从z轴正向看沿逆时针方向 机动目录上页下页返回结束 1 利用对称性及重心公式简化计算 2 利用积分与路径无关的等价条件 3 利用格林公式 注意加辅助线的技巧 4 利用斯托克斯公式 5 利用两类曲线积分的联系公式 2 基本技巧 机动目录上页下页返回结束 例1 计算 其中 为曲线 解 利用轮换对称性 有 利用重心公式知 的重心在原点 机动目录上页下页返回结束 例2 计算 其中L是沿逆 时针方向以原点为中心 解法1令 则 这说明积分与路径无关 故 a为半径的上半圆周 机动目录上页下页返回结束 解法2 它与L所围区域为D 利用格林公式 思考 2 若L同例2 如何计算下述积分 1 若L改为顺时针方向 如何计算下述积分 则 添加辅助线段 机动目录上页下页返回结束 思考题解答 1 2 机动目录上页下页返回结束 计算 其中L为上半圆周 提示 沿逆时针方向 练习题 P184题3 5 P185题6 10 3 5 机动目录上页下页返回结束 P1856 设在右半平面x 0内 力 构成力场 其中k为常数 证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关 提示 令 易证 机动目录上页下页返回结束 P18510 求力 沿有向闭曲线 所作的 功 其中 为平面x y z 1被三个坐标面所截成三 提示 方法1 从z轴正向看去沿顺时针方向 利用对称性 角形的整个边界 机动目录上页下页返回结束 设三角形区域为 方向向上 则 方法2 利用斯托克斯公式 机动目录上页下页返回结束 二 曲面积分的计算法 1 基本方法 曲面积分 第一类 对面积 第二类 对坐标 二重积分 1 统一积分变量 代入曲面方程 2 积分元素投影 第一类 始终非负 第二类 有向投影 3 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 机动目录上页下页返回结束 思考题 1 二重积分是哪一类积分 答 第一类曲面积分的特例 2 设曲面 问下列等式是否成立 不对 对坐标的积分与 的侧有关 机动目录上页下页返回结束 2 基本技巧 1 利用对称性及重心公式简化计算 2 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 辅助面一般取平行坐标面的平面 3 两类曲面积分的转化 机动目录上页下页返回结束 练习 P185题4 3 其中 为半球面 的上侧 且取下侧 提示 以半球底面 原式 P185题4 2 P185