2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质学案.docx

242抛物线的简单几何性质1了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质2会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦点准线方程xxyy对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率e1抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异(1)它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；(2)顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；(3)焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；(4)离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0e1，抛物线的离心率是e1；(5)椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()(4)抛物线x24y，y24x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同()答案：(1)(2)(3)(4) 抛物线2y3x2的准线方程为()Ay ByCy Dy1答案：A 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()Ax23y By26xCx212y Dx26y答案：C 抛物线y2px2(p0)的对称轴为_答案：y轴探究点1抛物线的几何性质(1)等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是()A8p2 B4p2C2p2 Dp2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程【解】(1)选B由抛物线的对称性质及OAOB知，直线OA的方程为yx，由得A(2p，2p)，则B(2p，2p)，所以|AB|4p，所以SABO4p2p4p2，选择B(2)设所求抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0)，交点A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)，由A，B，可得|AB|2p，故抛物线的通径长为2p注意通径是所有焦点弦中最短的弦(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y22px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1x2即可 1过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1y26，则|P1P2|()A5 B6C8 D10解析：选C抛物线x24y的准线为y1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y11，y21，所以|P1P2|y1y2282已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|2，则|BF|_解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|x112，则x11，故直线AF的方程是x1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|AF|2答案：2探究点3直线与抛物线的位置关系已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？【解】由消去y可得k2x2(2k4)x10(*)当k0时，方程(*)只有一个解，则有x，y1所以直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴当k0时，方程(*)是一个一元二次方程(2k4)24k24k216k164k216k16(1)当0，即k1且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；(2)当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；(3)当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离综上所述，当 k1或k0时，直线l与C有一个公共点；当k1时，直线l与C没有公共点直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20(1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)，通径为2p8，p42设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB()A30 B45C60 D90解析：选D由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，则SAOB2a16，解得a4，所以|AB|8，|OA|OB|4，所以AOB903过点P(0，1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条 B3条C2条 D1条解析：选B当直线垂直于x轴时满足条件，当直线不垂直于x轴时，设直线方程为ykx1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线4过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值解：由抛物线y28x知，p4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，所以|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以x1x2|AB|p由条件知3，则x1x26，所以|AB|p6，又因为p4，所以|AB|10 知识结构深化拓展焦点弦的性质如图，AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l(1)以AB为直径的圆必与准线l相切(2)|AB|2(焦点弦长与中点关系)(3)|AB|x1x2p(4)若直线AB的倾斜角为，则|AB|：如当90时，AB叫抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2(6)学生用书P119(单独成册)A基础达标1顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是()Ay2x By23xCy26x Dy26x解析：选C顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y22px(p0)，由题意知，故p3因此，所求抛物线的标准方程为y26x2已知直线ykxk(k为实数)及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析：选C因为直线ykxk恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y22px的内部，所以当k0时，直线与抛物线有一个公共点，当k0时，直线与抛物线有两个公共点3过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则为()A4 B4Cp2 Dp2解析：选B法一：(特例法)当直线垂直于x轴时，点A，B，4法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得y1y2p2，则44有一个正三角形的两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A2p B4pC6p D8p解析：选B设A、B在y22px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则AOx30，则OA方程为yx由得y2p，所以AOB的边长为4p5直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A B2C D4解析：选C直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则线段AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x1由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是线段AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为1，故填答案：7已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_解析：设抛物线C的方程为y2ax(a0)，由方程组，得交点坐标为A(0，0)，B(a，a)，而点P(2，2)是AB的中点，从而有a4，故所求抛物线C的方程为y24x答案：y24x8已知A(2，0)，B为抛物线y2x上的一点，则|AB|的最小值为_解析：设点B(x，y)，则xy20，所以|AB| 所以当x时，|AB|取得最小值，且|AB|min答案：9若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，求此抛物线的标准方程解：设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，设A(x0，y0)，由题知M因为|AF|3，所以y03，因为|AM|，所以x17，所以x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4所以所求抛物线的标准方程为x24y或x28y10已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当AOB的面积等于时，求k的值解：(1)证明：如图，由方程组消去x并整理，得ky2yk0设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系知y1y2，y1y21因为kOAkOB1，所以OAOB(2)设直线与x轴交于点N，显然k0令y0，则x1，即点N(1，0)所以SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|1 ，所以kB能力提升11设直线l1：y2x，直线l2经过点P(2，1)，抛物线C：y24x，已知l1，l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为()A1 B2C3 D4解析：选C因为点P(2，1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C交于两点，所以过点P的直线l2在分别过这两点或与x轴平行时符合题意所以满足条件的直线l2共有3条12直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_解析：由，消去y得x210x90，得x1或9，即或所以|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，所以|PQ|8，所以梯形APQB的面积S848答案：4813已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x2y10截得的弦长为，求此抛物线方程解：设抛物线方程为x2ay(a0)，由消去y，得2x2axa0因为直线与抛物线有两个交点，所以(a)242a0，即a8设直线与抛物线两个交点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2(x1x2)，所以|AB| 因为|AB|，所以 ，即a28a480，解得a4或a12，所以所求抛物线方程为x24y或x212y14(选做题)如图，已知抛物线y24x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N(1)求y1y2的值；(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值解：(1)依题意，设AB的方程为xmy2，代入y24x，得y24my80，从而y1y28(2)证明：连接MN，设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为xny1，代入y24x消x得：y24ny40，所以y1y34，同理y2y44，由(1)知y1y28，所以2为定值双曲线与抛物线(强化练)学生用书P121(单独成册)一、选择题1顶点在坐标原点，准线方程为y1的抛物线的标准方程是()Ax22y Bx24yCx22y Dx24y解析：选B抛物线的准线为y1，故其焦点在y轴负半轴上，且1，所以抛物线的标准方程为x24y2已知双曲线1(a0)的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于()A BC D解析：选C根据右焦点坐标为(3，0)，知c3，则a259，所以a2，故e3已知双曲线的实轴长和虚轴长等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为()A1 B1C1 D1解析：选D由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2y2(0)，将点(5，3)代入方程，可得523216，所以双曲线方程为x2y216，即14若抛物线y22x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A BC D解析：选A线段AB所在的直线的方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为15已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A BC D解析：选D由题意知过点(4，2)的渐近线的方程为yx，所以24，所以，e211，所以e，故选D6已知双曲线1(b0)的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A B4C3 D5解析：选A由题易得抛物线的焦点为(3，0)，所以双曲线的右焦点为(3，0)，所以b2945，所以双曲线的一条渐近线方程为yx，即x2y0，所以所求距离为d7(2018上海金山调研)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10解析：选D设切线方程为2xym0，联立，得x22xm0由44m0，得m1，所以切线方程为2xy10故选D8已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(，0)，点P在双曲线上，且PF1PF2，PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A1 B1Cy21 Dx21解析：选C由题意，知(|PF1|PF2|)216，即2a4，解得a2，又c，所以b1，所以所求双曲线的方程为y21故选C9(2018泉州高二检测)已知点A(4，0)，抛物线C：x212y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|MN|等于()A23 B34C35 D45解析：选C抛物线焦点为(0，3)，又A(4，0)，所以FA的方程为3x4y120，设M(xM，yM)由可得xM3(负值舍去)，所以yM，所以故选C10如图，已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|4，P是双曲线右支上的一点，F2P的延长线与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|1，则双曲线的离心率是()A3 B2C D解析：选B记APF1的内切圆在边AF1，AP上的切点分别为N，M，则|AN|AM|，|NF1|QF1|，|PM|PQ|又|AF1|AF2|，所以|NF1|AF1|AN|AF2|AM|MF2|，所以|QF1|MF2|则|PF1|PF2|(|PQ|QF1|)(|MF2|PM|)|PQ|PM|2|PQ|2，即2a2，则a1由|F1F2|42c，得c2，所以双曲线的离心率e2，故选B二、填空题11抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为_解析：将yax2化为x2y，由于准线方程为y2，所以抛物线开口向下，0，且2，所以a答案：12已知ab0，若椭圆1与双曲线1的离心率之积为，则双曲线的渐近线方程为_解析：由已知及椭圆、双曲线的几何性质，得，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx，即xy0答案：xy013已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为_解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，不妨设交点A在第一象限，由yx，x2y24，得xA，yA，故四边形ABCD的面积为4xAyA2b，解得b212，故所求的双曲线方程为1答案：114已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，