合理订货问题的优化模型.doc

数学建模课程论文 论文题目 合理订货问题的优化模型学 院 信息科学与工程学院专 业 电子信息科学与技术 合理订货问题的优化模型摘 要 本文讨论了如何为某商业公司制定一个合理的订货方案以使所花费用最少的问题。问题一是在一定约束条件下以所花费用为目标函数的订货优化问题。通过合理假设把一年怎样组织订货的问题转化成一个订货周期内的订货问题。在一个订货周期内，假设不允许缺货，目标函数总费用分为五个部分：购买物资费用、从工厂到仓库的运费、库存费、从仓库到分店的运费及订货费。订货费由题目已知，其余费用均可通过相应变量之间的线性运算得到，再根据题目条件给出约束条件，从而建立一个多元线性优化模型。根据经济订货批量公式等计算出订货周期、订货次数、每次订货量。利用Lingo软件求解出每次订货的总费用为969543.18元，订货次数为16次，每次订货量2156件，并给出具体的订货方案（见表8、9、10、11）。假设进行销售时允许缺货，虽然会造成一定损失，但相应的存储费也会减少，这是符合现实生活的。在模型一的基础上建立适当模型，目标函数即总费用除了原来的五个部分，还加上由于缺货产生的费用，约束条件只改变订货周期与取货周期的关系。利用Lingo软件求解出每次订货的总费用为893863.5元，订货次数为12次，每次订货量1706件。问题二是在问题一的基础上改变了工厂生产物资的单价，可利用价格有折扣的存储模型的相关知识建立模型二，求解出在工厂订购每种物资的最佳经济批量，同时得到新的单价表（见表12），代入模型一中利用Lingo软件求解，每次订货的总费用变为951774.42元，订货次数和每次订货量没变，并求出新的订货方案（见表13、14、15、16）。在以上模型基础上，还可以考虑订货期有提前的情况下如何建立模型的问题，以及可以考虑如何选择最佳运输方案来降低成本。该模型能够代表实际应用中的许多问题，如其他方面的联合订货销售问题、选址问题、物流管理、最大利润问题等。同时，规划模型在工业、商业、交通运输、工程技术、行政管理等领域有着广泛的应用。关键词 订货方案；多元线性优化模型；价格有折扣的存储模型；最佳经济批量一 问题重述随着市场经济的快速发展，有效的供应链管理是降低成本获得市场竞争优势的重要手段之一。在满足生产和需求的同时，为了使所花费用最少，需要合理地组织订货方案，从而为企业创造更大的效益。现有某商业公司管理着5 个仓库（）和8个分店（），主要经营10种物资，而这些物资全部向3个工厂()进货。公司的工作流程是根据8个分店的销售需要，先向工厂订货，然后将各种物资运送到仓库，再由仓库运送到分店进行销售。分店只消耗物资，不储存物资。已知数据有：各工厂生产10种物资的年产量（见附录表1）；各种物资单价（见附录表2）；每个工厂到每个仓库的运输单价（见附录表3）；每个仓库的容量（见附录录4）；各种物资的库存费与单位占用库容（见附录表5）；5个仓库到8个分店的运输单价（见附录表6）；8个分店对物资的年需求量（见附录表7）；公司每次订货产生的其它各种花费即订货费为1万元；一次订货可使用的流动资金上限为100万元。如果进行销售时允许缺货，缺货的损失费是存储费的2倍。试建立适当模型，解决以下三个问题：问题一：公司一年之中应该怎样组织订货（各种物资的订货次数与订货量以及运输方案）使得总的花费最少？问题二：如果A1工厂有订购优惠活动，物资订购量每增加30件订购单价就会降低5元，最多优惠15元，公司又应该怎样组织订货？二 问题分析问题一是在一定约束条件下以所花费用为目标函数的订货优化问题。通过对题目的分析，可作出如下假设：订货周期和取货周期固定，一次订货存在仓库的货物刚好可供各分店取次；每次订购物资数量和种类相同；每次取货时各分店在同一时间到仓库取货，且从各仓库所取物资数量和种类相同。由此订货和取货原理可把一年怎样组织订货的问题转化成一个订货周期内的订货问题。在一个订货周期内，假设不允许缺货，目标函数总费用分为五个部分：购买物资费用、从工厂到仓库的运费、库存费、从仓库到分店的运费及订货费。订货费由题目条件已知，其余费用均可通过相应变量之间的线性运算得到。再根据一次订货的流动资金上限、各工厂的年产量、各仓库的库容量、各分店的需求量等已知条件列出约束条件，从而建立一个多元线性优化模型。根据经济订货批量公式（EOQ公式）可计算出订货周期。对前面模型的改进与推广，因此可以假设进行销售时允许缺货，虽然会造成一定损失，但相应的存储费也会减少，这是符合现实生活的。可在模型一的基础上建立相应多元线性规划模型，目标函数即总费用除了原来的五个部分，还需加上由于缺货产生的费用，约束条件只改变订货周期与取货周期的关系。并且各工厂生产物资的单价按模型二求得的来使用。问题二是在问题一的基础上改变了某个条件，即工厂有订购优惠活动，物资订购量每增加30件订购单价就会降低5元，最多优惠15元，可利用价格有折扣的存储模型的相关知识建立模型二，先求解出在工厂订购种物资的最佳经济批量，再进一步算出该从、工厂订购物资的数量。同时得到新的单价表，代入问题一的模型中可求出新的订货方案。三 基本假设1. 假设年初时5个仓库存储10种物资的数量均为0，各分店刚刚开始营业；2. 假设每次订货时从3个工厂各订一定量的各种物资且订购物资数量和种类相同；3. 假设各分店的需求量稳定，并且能够预测；4假设每次取货时各分店在同一时间到仓库取货，且从各仓库所取物资数量和种类相同；5. 假设物资从工厂运到仓库和从仓库运到分店的运输时间忽略不计；6假设每次订货并把物资存储到仓库后各分店就立刻从各仓库取货，间隔时间忽略不计；7假设一年只有365天，闰年情况不考虑；8假设订货周期和取货周期固定，一次订货存在仓库的货物刚好可供各分店取n次；9. 假设各种物资一年内的订货次数都一样；10.假设各分店不存储物资；11.假设物资出厂单价、运输单价、库存费等在这一年中均无变化；12.假设货物体积可以相加，仓库均可以充分了利用；13假设商业公司订货都是先考虑通过最佳经济批量来减少花费再考虑如何安排运输方案以减少花费。四 符号说明：第个工厂；：第个仓库；：第个分店；：第种物资；：每次第种物资从第个仓库运到第个分店的数量；：每次第种物资从第个工厂运到第个仓库的数量；：从第个工厂订购第种物资的数量；：第个工厂生产第种物资的单价；：物资从第个工厂运输到第个仓库的单位运价；：物资从第个仓库运输到第个分店的单位运价；：第个工厂生产第种物资的数量；：第个分店对第种物资的需求量；： 第种物资的单位体积；： 第个仓库的总容量；： 第种物资的单位库存费；： 取货周期；： 一个订货周期内取货次数；： 订货周期； ： 一个订货周期内第种物资的库存费；： 一个订货周期内总费用；：一个订货周期内购买物资费用；：一个订货周期内从工厂到仓库的运费；：一个订货周期内库存费； ：一个订货周期内从仓库到分店的运费；：一个订货周期内订购费；： 每次订货花的其他费用；： 每种物资每天的存储费；： 每种物资平均每天的需求量；： 每次的订货量；： 一个订货周期内存储第种物资的费用；：第种物资的需求率；：平均每种物资的订货费；：每天每件物资的缺货损失费；五 模型建立、求解及结果分析有关物资的订购、贮存及运输问题，是经济管理和生产管理中的常见问题。在满足生产和需求的同时，为了使成本降至最低，需要合理地组织订货方案，从而为企业创造更大的效益。5.1不允许缺货的订货优化模型一 通过对题目的分析，可作如下假设：订货周期和取货周期固定，一次订货存在仓库的货物刚好可供各分店取次；每次订购物资数量和种类相同；每次取货时各分店在同一时间到仓库取货，且从各仓库所取物资数量和种类相同。由此订货和取货原理，可把一年怎样组织订货的问题转化成一个订货周期内的组织订货取货问题。5.1.1目标函数的提出在一个订货周期内，目标函数是总费用。总费用分为五个部分：购买物资费用、从工厂到仓库的运费、库存费、从仓库到分店的运费以及订货费，即： （1）设每次从第个工厂订购第种物资的数量为，则购买物资费用为： （2）设每次第种物资从第个工厂运到第个仓库的数量为，则从工厂运到仓库的物资总数量为，故从工厂到仓库的运费为： （3）设一个订货周期内第种物资的库存费为，则库存费为：设每次将第种物资从第个仓库运到第个分店的数量为，则从工厂运到仓库的物资总数量为，从仓库运到分店的物资总数量为。又一个订货周期内共取货次，且第次刚好将全部物资取完，据此可得：经过整理得库存费为： （4）每次从仓库运到分店的物资总数量为，且一个订货周期内总共取次货，故从仓库到分店的运费为： （5）根据题目已知条件知订货费为： （6）5.1.2约束条件的提出考虑一次订货可使用的流动资金上限为100万元，一个订货周期内的总费用不能超过此上限，即： （7） 每个仓库的库容量有限，存放在仓库的物资总体积不能超过该仓库的库容量，而一次订货存放在仓库的物资总数量为，故有： （8）订货周期为，取货周期为，且一个订货周期内总共取次货，故有： （9）订货次数为，一年之中从工厂订购物资总数量不能超过该厂生产该物资的年产量，即： （10）一次订货从工厂运到所有仓库的物资数量等于从该厂订购该种物资的数量，即： （11）一次订货从仓库运到所有分店的物资数量等于运到该厂的 该种 物资数量 ，即: （12）其中表示每次从仓库运到所有分店的物资数量。所有仓库运到分店的物资数量等于一个取货周期内该分店对该种物资的总需求量，即： （13）其中表示分店对物资数量需求量。 由自然条件可知，订货周期，取货周期，每次从第m个工厂订购第i种物资的数量，每次第i种物资从第m个工厂运到第j个仓库的数量，每次将第i种物资从第j个仓库运输到第k个分店的数量均大于或等于零，且为整数，即 （14）5.1.3模型的提出、求解及结果分析根据前面两部分目标函数和约束条件的提出，可以建立一个多元线性规划模型如下：在求解之间需先求出订货周期，根据经济订货批量公式（EOQ公式）： （表示每次的订货量）其中各个参数计算如下： （表示每次订货花的其他费用） （表示每种物资平均每天的需求量） （表示每种物资每天的存储费）则可得，订货次数，。现利用Lingo软件求解得一次订购的最小费用为969543.179元，其他各个值制作表格如下：表8 每次从3个工厂定的10种物资数量订货量（件/次）12002005020967013310001337306708913382020016743100067760149100表9 每次从3个工厂到5个仓库的运输数量运输量（件/次）07570012200059800070100表10 5个仓库储存的10种物资的数量存储量（件/次）0000000000024000292230014512074024307202090104018000203000215000001310900000表11 每次从5个仓库到8个分店的运输数量运输量（元/件）000000000165000323026857029729300054 0174001560268012200000005.2不允许缺货的订货优化模型二工厂有优惠活动，订货时肯定倾向于工厂。但不是所有物资都从工厂订货，因为本身各厂有年产量上限，且要考虑工厂到仓库的运费。另外10种物资在一个周期内的订货量在模型一基础上不变，变的只是从每个工厂订购物资及每个工厂运到仓库的数量。因此可以建立一个价格有折扣的存储模型，先求解出对于A1工厂订购种物资的最佳经济批量，再进一步算出该从、工厂订购物资的数量。设为工厂的单价，由题目条件得：根据价格有折扣的存储模型的相关知识，建立模型如下：设一个订货周期内存储第种物资的费用为，第种物资的需求率为，平均每种物资的订货费为。当在工厂物资的订购量为时，一周期内第种物资所需费用为：平均每单位第种物资的所需费用为：令关于的导数等于0，求解得。（1）若，则计算取可求出相应的最佳经济批量。（2）若，则取可求出相应的最佳经济批量。（3）若，则计算 取可求出相应的最佳经济批量。（4）若，则最佳经济批量。由模型一结果中的表8分析可知，要想享受优惠只能改变和的订货量，因为其他的量都超过90了。从表8可知此时的,因此只需计算当大于60、大于90时相应的参数，再和时比较，就可确定最佳经济批量。对于物资, 一个订货周期内存储该种物资的费用为：该种物资的需求率为：因此可以计算出：当时，元 当时，元 当时，元所以此时的最佳订货量为90件。同理分析,一个订货周期内存储该种物资的费用为： 该种物资的需求率 ：因此可以计算出：当时，元 当时，元所以此时的最佳订货量为90件。此时工厂的各种物资的订购单价有所改变（如表12）：表12 改变后的3个工厂生产10种物资的单价订购单价(元/件)85-195235275285-41543548590180-240-305380435-490-170210245-285400-450480将这些新单价代入问题一的模型中可求出新的订货方案从而使得花费最少。结果发现在工厂中订购的物资都大于等于90件/次，这与之前的分析相符合。新的订货方案如下：表13 每次从3个工厂定的10种物资数量订货量（件/次）1200200902099001331000133730430791338202001674384054760149100表14 每次从3个工厂到5个仓库的运输数量）运输量（件/次）08110013100056300067300表15 5个仓库储存的10种物资的数量存储量（件/次）00000000000240002922300145120740243072020901040 18000203000215000001310900000表16 每次从5个仓库到8个分店的运输数量运输量（元/件）000000000165000323026857029729300054 0174001560268012200000005.3 允许缺货的订货优化模型假设进行销售时允许缺货，虽然会造成一定损失，但相应的存储费也会减少，这是符合现实生活的。建立此模型的思路和模型一类似，同样把一年怎样组织订货的问题转化成一个订货周期内的组织订货取货问题。在一个订货周期内，目标函数总费用除了原来五个部分：购买物资费用、从工厂到仓库的运费、库存费、从仓库到分店的运费以及订货费，还需加上由于缺货产生的费用，记为。缺货造成了损失费，但也减少了相应的存储费，故根据题目条件在模型一基础上可算的得缺货产生的费用为：其中表示一个订货周期内货物刚好取完的时间。约束条件的改变只是把原来的改为现在的。在缺货模型下，订货周期为一次订货的订货量为其中：（表示每次订货花的其他费用）（表示每种物资平均每天的需求量） （表示每种物资每天的存储费）（表示每天每件物资的缺货损失费）可计算得到：订货周期，订货次数，每次的订货量。利用Lingo求解模型得每次订货的最小总费用为893863元。六 模型改进与推广6.1模型改进方向在现实生活中，订货之后肯定需要一定的时间才能到达仓库。于是在以上模型基础上可以考虑建立一个允许缺货，订货提前期为L0的EOQ模型，同时还以可以考虑如何选择最佳运输方案来降低成本。6.2模型推广本文建立了多元性规划模型，解决了物资订购与配送的优化问题。这个模型不仅适用于物资的订购运输问题，对规划类问题的求解也可以起到指导作用。该模型涉及到了流动资金上限、生产能力上限、仓库存储量和需求量的限制，用来求解最小费用问题，能够代表实际应用中的许多问题，如其他方面的联合订货销售问题、选址问题、物流管理、最大利润问题等。同时，规划模型在工业、商业、交通运输、工程技术、行政管理等领域有着广泛的应用。参考文献1 王连堂.数学建模M.西安.陕西师范大学出版社,2008.2 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型M.北京:高等教育出版社,2011.3 谢金星,薛毅.优化建模与LINGO软件M.北京:清华大学出版社,2005.4王殷清.随机运筹学M.北京：高等教育出版社，1993.附录：1.题目中已知变量的数据表格：表1 3个工厂生产10种物资的年产量年产量（万件/年）0.2-0.30.10.320.1-0.20.150.150.20.13-0.1-0.150.20.15-0.12-0.250.080.15-0.10.14-0.250.15表2 3个工厂生产的10种物资的单价订购单价（元/件）100-210250290300-43045050090180-240-305380435-490-170210245-285400-450480表3 3个工厂到5个仓库的运输单价运价（元/件）-10141713108-9161516915-表4 5个仓库的库容量仓库容量（3）8006001000700800表5 10种物资的单件库存费和体积物资单位库存费（元/件年）407090100120120150160180200体积（3/件）1.51.01.52.01.50.51.52.01.00.5表6 5个仓库到8个分店的单位运价运价（元/件）32363145-33-52535-25-5-4 41442-2-22535252表7 8个分店对10种物资的需求量需求量（件/年）6030080010020060040080150600908005001200500400200100800500150500400800600-800800400-3004002004001508005001501500400400-150100200300-400908005002001000-4001501000100020040080012009015090100090500100100015002005005001000901502005002002.问题一的求解程序 不允许缺货model:sets:good/M1.M10/:v,kc,n,t;factory/A1.A3/;store/B1.B5/:capacity;shop/C1.C8/;good_factory(good,factory):produceamount,price,order;good_factory_store(good,factory,store):amount1;good_store_shop(good,store,shop):amount2;factory_store(factory,store):costfs;store_shop(store,shop):costss;good_shop(shop,good):need;endsetsdata:!5个仓库的容量 ;capacity=800 600 1000 700 800;!每件物资的体积;v=1.5 1.0 1.5 2.0 1.5 0.5 1.5 2.0 1.0 0.5 ;!10种物资的单位库存费 ;kc=40 70 90 100 120 120 150 160 180 200;!3个工厂生产10种物资的年产量 ;produceamount=2000 0 3000 1000 3200 1000 0 2000 1500 1500 2000 1300 0 1000 0 1500 2000 1500 0 1200 0 2500 800 1500 0 1000 1400 0 2500 1500;!3个工厂生产10种物资的单价;price=100 10000 210 250 290 300 10000 430 450 50090 180 10000 240 10000 305 380 435 10000 490 10000 170 210 245 10000 285 400 10000 450 480;!3个工厂到5个仓库的单位运价;costfs=10000 10 14 17 1310 8 10000 9 1615 16 9 15 10000;!5个仓库到8个分店的单位运价;costss=3 2 3 6 3 1 4 510000 3 3 10000 5 2 5 35 10000 2 5 10000 5 10000 4 4 1 4 4 2 10000 2 100002 2 5 3 5 2 5 2;!8个分店对10种物资的需求;need= 60 300 800 100 200 600 400 80 150 60090 800 500 1200 500 400 200 100 800 500150 500 400 800 600 0 800 800 400 0400 400 200 400 150 800 500 150 1500 400400 0 150 100 200 300 0 400 90 800500 200 1000 0 400 150 1000 1000 200 400800 1200 90 150 90 1000 90 500 100 10001500 200 500 500 1000 90 150 200 500 200;enddataw=w1+w2+w3+w4+10000;w1=sum(good(i):sum(factory(m):price(i,m)*order(i,m);w2=sum(factory_store(m,j):costfs(m,j)*sum(good(i):amount1(i,m,j);w3=(ti*(ni-1)/365)*sum(good(i):sum(factory_store(m,j):kc(i)*amount1(i,m,j)-(ti*ni*(ni-1)/700)*sum(good(i):sum(store_shop(j,k):kc(i)*amount2(i,j,k);w4=sum(store_shop(j,k):costss(j,k)*sum(good(i):amount2(i,j,k);!约束条件;w=1000000;for(store(j):sum(good_factory(i,m):v(i)*amount1(i,m,j)=capacity(j);si=ni*ti;for(good_factory(i,m):(365/si)*order(i,m)=sum(good(k):need(n,k)*ti);for(good(k):sum(factory(j):order(j,k)=sum(shop(n):need(n,k)*ti);for(factory(j):sum(store(m):amountfs(j,m)=sum(good(k):order(j,k);for(good(k):sum(factory(j):order(j,k)=rk(k)*ti);for(factory_good(j,k):order(j,k)=produce(j,k);for(store(m):sum(good(k):sum(factory(j):order(j,k)*v(k)=capacity(m);for(factory_good(j,k):gin(order(j,k);for(factory_store(j,m):gin(amountfs(j,m);for(store_shop(m,n):gin(amountss(m,n);for(good(k):t(k)T);min=365*x/ti;x=1000000;end3.问题二的求解程序：model:sets:good/M1.M10/:v,kc,n,t;factory/A1.A3/;store/B1.B5/:capacity;shop/C1.C8/;good_factory(good,factory):produceamount,price,order;good_factory_store(good,factory,store):amount1;good_store_shop(good,store,shop):amount2;factory_store(factory,store):costfs;store_shop(store,shop):costss;good_shop(shop,good):need;endsetsdata:!5个仓库的容量 ;capacity=800 600 1000 700 800;!每件物资的体积;v=1.5 1.0 1.5 2.0 1.5 0.5 1.5 2.0 1.0 0.5 ;!10种物资的单位库存费 ;kc=40 70 90 100 120 120 150 160 180 200;!3个工厂生产10种物资的年产量 ;produceamount=2000 0 3000 1000 3200 1000 0 2000 1500 1500 2000 1300 0 1000 0 1500 2000 1500 0 1200 0 2500 800 1500 0 1000 1400 0 2500 1500;!3个工厂生产10种物资的单价;price=85 10000 195 235 275 285 10000 415 435 48590 180 10000 240 10000 305 380 435 10000 490 10000 170 210 245 10000 285 400 10000 450 480;!3个工厂到5个仓库的单位运价;costfs=10000 10 14 17 1310 8 10000 9 1615 16 9 15 10000;!5个仓库到8个分店的单位运价;costss=3 2 3 6 3 1 4 510000 3 3 10000 5 2 5 35 10000 2 5 10000 5 10000 4 4 1 4 4 2 10000 2 100002 2 5 3 5 2 5 2;!8个分店对10种物资的需求;need= 60 300 800 100