二节二重积分的计算PPT课件.ppt

一 问题的提出 曲顶柱体的体积 曲顶柱体 1 特点 平顶 柱体体积 特点 曲顶 曲顶柱体 曲顶柱体的体积 2 演示文稿1 ppt播放 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 如下动画演示 3 步骤如下 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积 先分割曲顶柱体的底 并取典型小区域 曲顶柱体的体积 4 2 直角坐标系下的积分微元 我们利用直角坐标网分割D 让分割充分细 取D的被坐标网割出的一个典型子区域 设它是如图的矩形 其面积为 5 先将二重积分化为二次积分 然后先后计算两次定积分求得二重积分的值 6 如果积分区域D可表示为 其中函数 在区间上连续 一 利用直角坐标系计算二重积分1 x 型区域 则D称为x 型区域 x 型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 7 设曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 曲顶柱体体积的计算 8 如果积分区域D可表示为 其中函数 在区间上连续 2 y 型区域 则D称为y 型区域 y 型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 9 同样 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 10 例1 解将D看作x 型区域 则 D x y 0 y x 0 x 1 11 例1 解将D看作y 型区域 则 D x y y x 1 0 y 1 12 如果积分区域D可表示为x 型区域又可表示为y 型区域 且f x y 在D上连续 则有 为计算方便 可选择积分次序 采用哪一种次序积分通常取决于被积函数的结构 必要时还可以交换积分次序 13 解将D看作y 型区域 则 D x y y x 1 0 y 1 14 15 3 一般情形 如果积分区域D不是x 型区域也不是y 型区域 可用平行坐标轴的直线段分割 把D分割为若干个x 型或y 型区域 在每个小区域上计算二重积分 在各个小区域上的积分之和就是D上的二重积分 若区域如图 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割 16 计算二重积分的几点说明 1 化二重积分为二次积分的关键是 确定二次积分的上 下限 而二次积分中的上 下限又是由区域D的几何形状确定的 因此计算二重积分应先画出积分区域D的图形 2 第一次积分的上 下限是函数或常数 而第二次积分中的上 下限一定是常数 且下限要小于上限 3 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来 且区域的划分要尽量地简单 17 解 将D看作y 型区域 则 两曲线的交点 18 例4 解将D看作x 型区域 则 19 解 注意 正确选择积分次序相当重要 20 解 积分区域如图 如何变换积分次序 将给定的二次积分化为二重积分 然后再将二重积分化为另一个次序的二次积分 如何变换积分次序 根据所给积分写出D的边界曲线 再写出另一个区域表示式 即可写出另一个次序的二次积分 21 解 积分区域如图 22 解 原式 23 解 积分域由两部分组成 视为y 型区域 则 练习 交换下列积分顺序 24 解 说明 有些二次积分为了积分方便 还需交换积分顺序 25 解 说明 有些二次积分为了积分方便 还需交换积分顺序 26 当二重积分的被积函数中含有绝对值函数 取大或取小函数 max或min 等特殊函数时 如何计算二重积分的值 一般是将积分区域适当分块 使被积函数在各子块上都表示为初等函数形式 然后分别计算 27 例10 解 先去掉绝对值符号 如图 28 29 小结 用直角坐标计算二重积分 x 型 y 型 确定积分次序时要注意 1 考虑积分区域的特点 分块越少越好 2 考虑被积函数的特点 使第一次积分容易积出 并能为第二次积分的计算创造有利条件 30 利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分 31 32 33 34 A 35 36 二 利用极坐标系计算二重积分 37 一 重积分的换元积分法 定理1 设f x y 在有界闭区域D连续 在D上具有一阶连续偏导数的函数 把D映射为uv平面的区域D 其逆变换记成 又设行列式 则 38 例1f x y 在闭区域Dxy连续 则极坐标变换 它把变成 行列式 故 39 三 利用极坐标系计算二重积分 40 二重积分化为二次积分的公式 1 极点O在D的外部 区域特征如图 42 区域特征如图 43 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 2 极点O在D的边界上 44 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 3 极点O在D的内部 45 思考 下列各图中域D分别与x y轴相切于原点 试问 的变化范围是什么 1 2 46 47 48 法二 积分区域关于x轴对称 49 解 50 解 51 解 52 解 53 解 由于的原函数不是初等函数 故本题无法用直角坐标计算 54 解 利用例7可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式 55 同理 56 57 解 58 59 二重积分在直角坐标下的计算公式 在积分中要正确选择积分次序 三 小结 y 型 x 型 在积分中注意使用对称性 60 二重积分在极坐标下的计算公式 在积分中注意使用对称性 61 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分次序 写出积分限 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 可利用对称性 62 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分次序 写出积分限 计算要简便 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 可利用对称性 63 64 三 二重积分的应用 曲顶柱体的体积为 2 求非均匀薄片的质量 65 利用二重积分可以计算空间立体的体积 例1求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积 解 设两个直圆柱方程为 利用对称性 考虑第一卦限部分 其曲顶柱体的顶为 66 则