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2016年全国高中数学联赛试题1、 填空题1 设实数a满足，则的取值范围是_.【解】由于，解之得，2. 设复数满足，其中i是虚数单位，分别是的共轭复数，则的模为_.【解】，.【点评】3. 正数均不等于1，若.则_.【解】，,由于，Then ，.【点评】换元法.4. 袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率是_.【解】A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币A中取走的纸币面值之和小于B中取走的纸币之和，当袋子A中取走2张1元时，有种取法，只要B不取2张1元即可，有，其余情况均不符合题意，故.5. 设为一圆锥的顶点，是底面圆周上的三点，满足，为的中点.若，则二面角的大小为_.【解】,.6. 设函数，其中是一个正整数.若对任意实数，均有，则的最小值是_.【解】,当且仅当时，取到最大值，对于任意一个长为1的区间至少包含一个最大值点，从而.反之，当时，对于任意一个区间均包含的一个完整周期，此时，成立，综上，正整数的最小值为.7. 设为正实数，若存在，使得，则的取值范围是_【解】，因为，所以，若存在，使得，则，当时，区间长度不小于4，必存在；当时，当，无解，舍；当，；当，综上，.8.9. （16分）若实数a、b、c满足，求c的最小值.【解】设，则，则.【题目】在中，已知：.求的最大值.（A卷）【解】，即，由余弦定理，化简，得，.10.已知：为上的奇函数，且对任意，均有.求的值.【解】先求函数的解析式.因为对任意，均有，令，则，（叠乘）则，下面求，原式=11. 如图所示，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一个动点，以为焦点、为顶点作抛物线.设是第一象限内上的一点，是轴负半轴上一点，使得是为的切线，【解】,两焦点，设直线，由不重合，故直线的斜率存在，故是方程的两个不等实根，由于直线的斜率依次成等差数列，所以，即，若，则直线经过，与题意矛盾，故，由韦达定理，故，由，得，焦点到直线的距离为，故，注意到，令，则，故在区间上单调减，故.加试【题目】设满足.求的最大值.【解】推广成一般情况：设满足.let.求的最大值.,If and only if and ,So .【题目】如图所示，在中，是直线上两点，使得（2016全国高中数学联赛加试2题）设，的外心分别是，直线与分别交于.证明：是等腰三角形.【证明】作平分线，交于，即关于圆的幂等于关于圆的幂，在圆与圆的根轴上，是等腰三角形.【法2】分别作在上的射影，（其中外接圆半径），同理，因为，所以，因为，同理，所以，是等腰三角形.【题目】设均为素数，定义数列其中表示不小于实数的最小整数.证明：对于均有.【证明】（数学归纳法）
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