椭圆的性质及常考题含答案.doc

椭圆的性质2. 椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆题型一：椭圆的定义例1 到两定点F1(4,0)，F2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是()A椭圆 B圆 C线段 D射线 答案：C例2 平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为()A椭圆 B圆 C无轨迹 D椭圆或线段或无轨迹解析：当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹为线段；当2a|F1F2|时，轨迹不存在答案：D巩 固已知F1，F2是椭圆1的左、右两个焦点(1)求F1，F2的坐标；(2)若AB为过椭圆的焦点F1的一条弦，求ABF2的周长解析：(1)由椭圆的方程1可知，a225，b29，c2a2b225916，c4.F1(4,0)，F2(4,0)(2)由椭圆的定义可知|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a10.ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)2a2a4a20.题型二焦点三角形问题1.对焦点三角形的处理方法，通常是运用2.若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）.例3如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面积解析：由已知a2，b，得c1，即|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|.SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面积是.巩 固已知椭圆1 (ab0)的焦点分别是F1(0，1)，F2(0,1)，且3a24b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|PF2|1，求F1PF2的余弦值解析：(1)依题意知c1，又c2a2b2，且3a24b2，所以a2a21，即a21.a24.因此b23.从而椭圆方程为1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a224，又|PF1|PF2|1，所以|PF1|，|PF2|，又|F1F2|2c2，所以由余弦定理得cosF1PF2.即F1PF2的余弦值等于.题型三求椭圆的离心率例4已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1AF2，AF2F160，求该椭圆的离心率解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如右图所示由AF1AF2知AF1F2为直角三角形，且AF2F160.由椭圆定义知|AF1|AF2|2a，|F1F2|2c，则在RtAF1F2中，由AF2F160得|AF2|c，|AF1|c，所以|AF1|AF2|2a(1)c，所以离心率e1.点评：求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法：直接求出a和c的值，套用公式e求得离心率；根据题目条件提供的几何关系，建立参数a，b，c之间的关系式，结合椭圆定义以及a2b2c2等，消去b，得到a和c之间的关系，从而求得离心率的值或范围巩 固设椭圆的两个焦点分别为F1，F2。过F2作椭圆长轴的垂线交于点P.若为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。（答案）巩 固椭圆 1( ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是 F1，F2.若 |AF1|, |F1F2|，|F1B| 成等比数列，则此椭圆的离心率为_解析：由椭圆的定义知，|AF1|ac，|F1F2|2c，|BF1|ac.因为|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，因此4c2(ac)(ac)，整理得5c2a2，两边同除以a2得5e21，解得e.题型四 椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A0，B0且AB)，这种形式在解题中更简便例5已知中心在原点的椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程解析：设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)因为点和点都在椭圆上，所以即解得所以所求的椭圆的标准方程为x21.例6已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且则的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【巩固】1.设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解析：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)2a10，a5.又c4，b2a2c225169.故所求椭圆的方程为1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，故所求椭圆的方程为x21.题型五：椭圆与弦1. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或或求距离例7已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线yx2所得线段AB的长为.(1)求椭圆方程；(2)求OAB的面积解析：(1)a2b，设椭圆方程为1，联立得5x216x164b20，设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，|AB|x1x2| .5b2416，b24，即b2.a2b4.椭圆方程为1.(2)点O到直线yx2的距离d，SAOB|AB|d.点评：直线 l的斜率为 k，与椭圆的两个交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长为 |AB|x1x2|.巩 固1.在椭圆1上求一点P，使它到直线l：3x2y160的距离最短解析：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为yxm，代入1，并整理得4x23mxm270.9m216(m27)0 m216 m4，故两切线方程为yx4和yx4.如图，显然yx4与椭圆1的切点P距l最近，切点坐标为.2.已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长解析：方法一因为直线l过椭圆1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y2(x1)，即2xy20.由方程组得交点A(0，2)，B.|AB| .方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程组的解消y得3x25x0，则x1x2，x1x20.所以|AB| .例8已知椭圆y21，求过点P且被P平分的弦所在直线的方程解析：方法一由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为yk，即ykxk，由得(24k2)x24k(1k)x(1k)240，设直线与椭圆交于A(x1