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第十一章第十一章 全等三角形全等三角形 测试测试 1 全等三角形的概念和性质全等三角形的概念和性质 学习要求学习要求 1 理解全等三角形及其对应边 对应角的概念 能准确辨认全等三角形的对应元素 2 掌握全等三角形的性质 会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算 解决某 些实际问题 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 的两个图形叫做全等形 2 把两个全等的三角形重合到一起 叫做对应顶点 叫做对应边 叫做对应 角 记两个三角形全等时 通常把表示 的字母写在 上 3 全等三角形的对应边 对应角 这是全等三角形的重要性质 4 如果 ABC DEF 则 AB 的对应边是 AC 的对应边是 C 的对应角 是 DEF 的对应角是 图 1 1 5 如图 1 1 所示 ABC DCB 1 若 D 74 DBC 38 则 A ABC 2 如果 AC DB 请指出其他的对应边 3 如果 AOB DOC 请指出所有的对应边 对应角 图 1 2 图 1 3 6 如图 1 2 已知 ABE DCE AE 2 cm BE 1 5 cm A 25 B 48 那么 DE cm EC cm C D 7 一个图形经过平移 翻折 旋转后 变化了 但 都没有改变 即平移 翻折 旋转前后的图形 二 选择题二 选择题 8 已知 如图 1 3 ABD CDB 若 AB CD 则 AB 的对应边是 A DBB BCC CDD AD 9 下列命题中 真命题的个数是 全等三角形的周长相等 全等三角形的对应角相等 全等三角形的面积相等 面积相等的两个三角形全等 A 4B 3C 2D 1 10 如图 1 4 ABC BAD A 和 B C 和 D 是对应顶点 如果 AB 5 BD 6 AD 4 那么 BC 等于 A 6B 5C 4D 无法确定 图 1 4 图 1 5 图 1 6 11 如图 1 5 ABC AEF 若 ABC 和 AEF 是对应角 则 EAC 等于 A ACBB CAFC BAFD BAC 12 如图 1 6 ABC ADE 若 B 80 C 30 DAC 35 则 EAC 的 度数为 A 40 B 35 C 30 D 25 三 解答题三 解答题 13 已知 如图 1 7 所示 以 B 为中心 将 Rt EBC 绕 B 点逆时针旋转 90 得到 ABD 若 E 35 求 ADB 的度数 图 1 7 图 1 8 图 1 9 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 一 填空题 14 如图 1 8 ABE 和 ADC 是 ABC 分别沿着 AB AC 翻折 180 形成的若 1 2 3 28 5 3 则 的度数为 15 已知 如图 1 9 ABC DEF A 85 B 60 AB 8 EH 2 1 求 F 的度数与 DH 的长 2 求证 AB DE 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 16 如图 1 10 AB BC ABE ECD 判断 AE 与 DE 的关系 并证明你的结论 图 1 10 测试测试 2 三角形全等的条件 一 三角形全等的条件 一 学习要求学习要求 1 理解和掌握全等三角形判定方法 1 边边边 2 能把证明一对角或线段相等的问题 转化为证明它们所在的两个三角形全等 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 判断 的 叫做证明三角形全等 2 全等三角形判定方法 1 边边边 即 指的是 3 由全等三角形判定方法 1 边边边 可以得出 当三角形的三边长度一定时 这个 三角形的 也就确定了 图 2 1 图 2 2 图 2 3 4 已知 如图 2 1 RPQ 中 RP RQ M 为 PQ 的中点 求证 RM 平分 PRQ 分析 要证 RM 平分 PRQ 即 PRM 只要证 证明 M 为 PQ 的中点 已知 在 和 中 PM RQRP PRM 即 RM 5 已知 如图 2 2 AB DE AC DF BE CF 求证 A D 分析 要证 A D 只要证 证明 BE CF BC 在 ABC 和 DEF 中 AC BC AB A D 6 如图 2 3 CE DE EA EB CA DB 求证 ABC BAD 证明 CE DE EA EB 即 在 ABC 和 BAD 中 已知 ABC BAD 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 一 解答题一 解答题 7 已知 如图 2 4 AD BC AC BD 试证明 CAD DBC 图 2 4 8 画一画 已知 如图 2 5 线段 a b c 求作 ABC 使得 BC a AC b AB c 图 2 5 9 三月三 放风筝 图 2 6 是小明制作的风筝 他根据 DE DF EH FH 不用度 量 就知道 DEH DFH 请你用所学的知识证明 图 2 6 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 10 画一画 想一想 利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角 你能说明其作法的理论依据吗 测试测试 3 三角形全等的条件三角形全等的条件 二 二 学习要求学习要求 1 理解和掌握全等三角形判定方法 2 边角边 2 能把证明一对角或线段相等的问题 转化为证明它们所在的两个三角形全等 图 3 1 图 3 2 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 全等三角形判定方法 2 边角边 即 指的是 2 已知 如图 3 1 AB CD 相交于 O 点 AO CO OD OB 求证 D B 分析 要证 D B 只要证 证明 在 AOD 与 COB 中 OD COAO AOD D B 3 已知 如图 3 2 AB CD AB CD 求证 AD BC 分析 要证 AD BC 只要证 又需证 证明 AB CD 在 和 中 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 一 解答题一 解答题 4 已知 如图 3 3 AB AC BAD CAD 求证 B C 图 3 3 5 已知 如图 3 4 AB AC BE CD 求证 B C 图 3 4 6 已知 如图 3 5 AB AD AC AE 1 2 求证 BC DE 图 3 5 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 7 如图 3 6 将两个一大 一小的等腰直角三角尺拼接 A B D 三点共线 AB CB EB DB ABC EBD 90 连接 AE CD 试确定 AE 与 CD 的位置 与数量关系 并证明你的结论 图 3 6 测试测试 4 三角形全等的条件三角形全等的条件 三 三 学习要求学习要求 1 理解和掌握全等三角形判定方法 3 角边角 判定方法 4 角角边 能 运用它们判定两个三角形全等 2 能把证明一对角或线段相等的问题 转化为证明它们所在的两个三角形全等 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 1 全等三角形判定方法 3 角边角 即 指的是 2 全等三角形判定方法 4 角角边 即 指的是 图 4 1 2 已知 如图 4 1 PM PN M N 求证 AM BN 分析 PM PN 要证 AM BN 只要证 PA 只要证 证明 在 与 中 PA PM PN PM PN 即 AM 3 已知 如图 4 2 ACBD 求证 OA OB OC OD 分析 要证 OA OB OC OD 只要证 证明 AC BD C 在 与 中 C AOC OA OB OC OD 图 4 2 二 选择题二 选择题 4 能确定 ABC DEF 的条件是 A AB DE BC EF A E B AB DE BC EF C E C A E AB EF B D D A D AB DE B E 5 如图 4 3 已知 ABC 的六个元素 则下面甲 乙 丙三个三角形中 和 ABC 全等 的图形是 图 4 3 A 甲和乙B 乙和丙C 只有乙D 只有丙 6 AD 是 ABC 的角平分线 作 DE AB 于 E DF AC 于 F 下列结论错误的是 A DE DFB AE AFC BD CDD ADE ADF 三 解答题三 解答题 7 阅读下题及一位同学的解答过程 如图 4 4 AB 和 CD 相交于点 O 且 OA OB A C 那么 AOD 与 COB 全等吗 若全等 试写出证明过程 若不 全等 请说明理由 答 AOD COB 证明 在 AOD 和 COB 中 图 4 4 COBAOD OBOA CA AOD COB ASA 问 这位同学的回答及证明过程正确吗 为什么 综合 应用 诊断综合 应用 诊断 8 已知 如图 4 5 AB AE AD AC E B DE CB 求证 AD AC 图 4 5 9 已知 如图 4 6 在 MPN 中 H 是高 MQ 和 NR 的交点 且 MQ NQ 求证 HN PM 图 4 6 10 已知 AM 是 ABC 的一条中线 BE AM 的延长线于 E CF AM 于 F BC 10 BE 4 求 BM CF 的长 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 11 填空题 1 已知 如图 4 7 AB AC BD AC 于 D CE AB 于 E 欲证明 BD CE 需 证明 理由为 2 已知 如图 4 8 AE DF A D 欲证 ACE DBF 需要添加条件 证明全等的理由是 或添加条件 证明全等的理由是 也可以添加条件 证明全等的理由是 图 4 7 图 4 8 12 如图 4 9 已知 ABC A B C AD A D 分别是 ABC 和 A B C 的角平分线 1 请证明 AD A D 2 把上述结论用文字叙述出来 3 你还能得出其他类似的结论吗 图 4 9 13 如图 4 10 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 l 经过顶点 C 过 A B 两 点分别作 l 的垂线 AE BF E F 为垂足 1 当直线 l 不与底边 AB 相交时 求证 EF AE BF 图 4 10 2 如图 4 11 将直线 l 绕点 C 顺时针旋转 使 l 与底边 AB 交于点 D 请你探究 直线 l 在如下位置时 EF AE BF 之间的关系 AD BD AD BD AD BD 图 4 11 测试测试 5 直角三角形全等的条件直角三角形全等的条件 学习要求学习要求 掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法一 斜边 直角边 即 HL 能熟练 地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全 等 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 判定两直角三角形全等的 HL 这种特殊方法指的是 2 直角三角形全等的判定方法有 用简写 3 如图 5 1 E B F C 在同一条直线上 若 D A 90 EB FC AB DF 则 ABC 全等的根据是 图 5 1 4 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等 不全等的画 全等的注明理由 1 一个锐角和这个角的对边对应相等 2 一个锐角和这个角的邻边对应相等 3 一个锐角和斜边对应相等 4 两直角边对应相等 5 一条直角边和斜边对应相等 二 选择题二 选择题 5 下列说法正确的是 A 一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B 斜边相等的两个直角三角形全等 C 斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D 一边长相等的两等腰直角三角形全等 6 如图 5 2 AB AC AD BC 于 D E F 为 AD 上的点 则图中共有 对全 等三角形 A 3B 4C 5D 6 图 5 2 三 解答题三 解答题 7 已知 如图 5 3 AB BD CD BD AD BC 求证 1 AB DC 2 AD BC 图 5 3 8 已知 如图 5 4 AC BD AD AC BC BD 求证 AD BC 图 5 4 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 9 已知 如图 5 5 AE AB BC AB AE AB ED AC 求证 ED AC 图 5 5 10 已知 如图 5 6 DE AC BF AC AD BC DE BF 求证 AB DC 图 5 6 11 用三角板可按下面方法画角平分线 在已知 AOB 的两边上 分别取 OM ON 如 图 5 7 再分别过点 M N 作 OA OB 的垂线 交点为 P 画射线 OP 则 OP 平分 AOB 请你说出其中的道理 图 5 7 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 12 下列说法中 正确的画 错误的画 并作图举出反例 1 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 2 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 3 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 13 1 已知 如图 5 8 线段 AC BD 交于 O AOB 为钝角 AB CD BF AC 于 F DE AC 于 E AE CF 求证 BO DO 图 5 8 2 若 AOB 为锐角 其他条件不变 请画出图形并判断 1 中的结论是否仍然成 立 若成立 请加以证明 若不成立 请说明理由 测试测试 6 三角形全等的条件三角形全等的条件 四 四 学习要求学习要求 能熟练运用三角形全等的判定方法进行推理并解决某些问题 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 两个三角形全等的判定依据除定义外 还有 2 如图 6 1 要判定 ABC ADE 除去公共角 A 外 在下列横线上写出还需要的 两个条件 并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据 1 B D AB AD 2 3 4 5 6 7 图 6 1 3 如图 6 2 已知 AB CF DE CF 垂足分别为 B E AB DE 请添加一个适当 条件 使 ABC DEF 并说明理由 添加条件 理由是 图 6 2 4 在 ABC 和 DEF 中 若 B E 90 A 34 D 56 AC DF 贝 ABC 和 DEF 是否全等 答 理由是 二 选择题二 选择题 5 下列命题中正确的有 个 三个内角对应相等的两个三角形全等 三条边对应相等的两个三角形全等 有两角和一边分别相等的两个三角形全等 等底等高的两个三角形全等 A 1B 2C 3D 4 6 如图 6 3 AB CD AD CB AC BD 交于 O 图中有 对全等三角形 A 2B 3C 4D 5 图 6 3 7 如图 6 4 若 AB CD DE AF CF BE AFB 80 D 60 则 B 的度 数是 A 80 B 60 C 40 D 20 8 如图 6 5 ABC 中 若 B C BD CE CD BF 则 EDF A 90 AB A 2 1 90o C 180 2 AD A 2 1 45o 图 6 4 图 6 5 图 6 6 9 下列各组条件中 可保证 ABC 与 A B C 全等的是 A A A B B C C B AB A B AC A C B B C AB C B A B C C D CB A B AC A C BA B C 10 如图 6 6 已知 MB ND MBA NDC 下列条件不能判定 ABM CDN 的 是 A M NB AB CDC AM CND AM CN 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 一 解答题一 解答题 11 已知 如图 6 7 AD AE AB AC DAE BAC 求证 BD CE 图 6 7 12 已知 如图 6 8 AC 与 BD 交于 O 点 AB DC AB DC 1 求证 AC 与 BD 互相平分 图 6 8 2 若过 O 点作直线 l 分别交 AB DC 于 E F 两点 求证 OE OF 13 如图 6 9 E 在 AB 上 1 2 3 4 那么 AC 等于 AD 吗 为什么 图 6 9 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 14 如图 6 10 ABC 的三个顶点分别在 2 3 方格的 3 个格点上 请你试着再在格点上 找出三个点 D E F 使得 DEF ABC 这样的三角形你能找到几个 请一一画 出来 图 6 10 15 请分别按给出的条件画 ABC 标上小题号 不写作法 并说明所作的三角形是否 唯一 如果有不唯一的 想一想 为什么 B 120 AB 2cm AC 4cm B 90 AB 2cm AC 3cm B 30 AB 2cm AC 3cm B 30 AB 2cm AC 2cm B 30 AB 2cm AC 1cm B 30 AB 2cm AC 1 5cm 测试测试 7 三角形全等的条件三角形全等的条件 五 五 学习要求学习要求 能熟练运用三角形全等的知识综合解决问题 课堂学习检测课堂学习检测 解答题解答题 1 如图 7 1 小明与小敏玩跷跷板游戏 如果跷跷板的支点 O 即跷跷板的中点 到地 面的距离是 50 cm 当小敏从水平位置 CD 下降 40 cm 时 小明这时离地面的高度是多 少 请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理 图 7 1 2 如图 7 2 工人师傅要在墙壁的 O 处用钻打孔 要使孔口从墙壁对面的 B 点处打开 墙壁厚是 35 cm B 点与 O 点的铅直距离 AB 长是 20 cm 工人师傅在旁边墙上与 AO 水平的线上截取 OC 35 cm 画 CD OC 使 CD 20 cm 连接 OD 然后沿着 DO 的 方向打孔 结果钻头正好从 B 点处打出 这是什么道理呢 请你说出理由 图 7 2 3 如图 7 3 公园里有一条 Z 字形道路 ABCD 其中 AB CD 在 AB BC CD 三段 路旁各有一只小石凳 E F M 且 BE CF M 在 BC 的中点 试判断三只石凳 E M F 恰好在一直线上吗 为什么 图 7 3 4 在一池塘边有 A B 两棵树 如图 7 4 试设计两种方案 测量 A B 两棵树之间的距 离 方案一 方案二 图 7 4 测试测试 8 角的平分线的性质角的平分线的性质 一 一 学习要求学习要求 1 掌握角平分线的性质 理解三角形的三条角平分线的性质 2 掌握角平分线的判定及角平分线的画法 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 叫做角的平分线 2 角的平分线的性质是 它的题设是 结论是 3 到角的两边距离相等的点 在 所以 如果点 P 到 AOB 两边的距离相等 那么 射线 OP 是 4 完成下列各命题 注意它们之间的区别与联系 1 如果一个点在角的平分线上 那么 2 如果一个点到角的两边的距离相等 那么 3 综上所述 角的平分线是 的集合 5 1 三角形的三条角平分线 它到 2 三角形内 到三边距离相等的点是 6 如图 8 1 已知 C 90 AD 平分 BAC BD 2CD 若点 D 到 AB 的距离等于 5cm 则 BC 的长为 cm 图 8 1 二 作图题二 作图题 7 已知 如图 8 2 AOB 求作 AOB 的平分线 OC 作法 图 8 2 8 已知 如图 8 3 直线 AB 及其上一点 P 求作 直线 MN 使得 MN AB 于 P 作法 图 8 3 9 已知 如图 8 4 ABC 求作 点 P 使得点 P 在 ABC 内 且到三边 AB BC CA 的距离相等 作法 图 8 4 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 一 解答题一 解答题 10 已知 如图 8 5 ABC 中 AB AC D 是 BC 的中点 DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 DE DF 图 8 5 11 已知 如图 8 6 CD AB 于 D BE AC 于 E CD BE 交于 O 1 2 求证 OB OC 图 8 6 12 已知 如图 8 7 ABC 中 C 90 试在 AC 上找一点 P 使 P 到斜边的距离 等于 PC 画出图形 并写出画法 图 8 7 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 13 已知 如图 8 8 直线 l1 l2 l3表示三条相互交叉的公路 现要建一个塔台 若要求 它到三条公路的距离都相等 试问 1 可选择的地点有几处 2 你能画出塔台的位置吗 图 8 8 14 已知 如图 8 9 四条直线两两相交 相交部分的线段构成正方形 ABCD 试问 是 否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点 若存在 请找出此点 这样的点有 几个 若不存在 请说明理由 图 8 9 测试测试 9 角的平分线的性质角的平分线的性质 二 二 学习要求学习要求 熟练运用角的平分线的性质解决问题 课堂学习检测课堂学习检测 一 选择题一 选择题 1 如图 9 1 若 OP 平分 AOB PC OA PD OB 垂足分别是 C D 则下列结论中 错误的是 A PC PDB OC OD C CPO DPOD OC PC 图 9 1 2 如图 9 2 在 Rt ABC 中 C 90 BD 是 ABC 的平分线 交 AC 于 D 若 CD n AB m 则 ABD 的面积是 A B mn 3 1 mn 2 1 C mnD 2mn 图 9 2 二 填空题二 填空题 3 已知 如图 9 3 在 Rt ABC 中 C 90 沿着过点 B 的一条直线 BE 折叠 ABC 使 C 点恰好落在 AB 边的中点 D 处 则 A 的度数等于 图 9 3 4 已知 如图 9 4 在 ABC 中 BD CE 分别平分 ABC ACB 且 BD CE 交于 点 O 过 O 作 OP BC 于 P OM AB 于 M ON AC 于 N 则 OP OM ON 的大小 关系为 图 9 4 三 解答题三 解答题 5 已知 如图 9 5 OD 平分 POQ 在 OP OQ 边上取 OA OB 点 C 在 OD 上 CM AD 于 M CN BD 于 N 求证 CM CN 图 9 5 6 已知 如图 9 6 ABC 的外角 CBD 和 BCE 的平分线 BF CF 交于点 F 求证 一点 F 必在 DAE 的平分线上 图 9 6 7 已知 如图 9 7 A B C D 四点在 MON 的边上 AB CD P 为 MON 内一点 并且 PAB 的面积与 PCD 的面积相等 求证 射线 OP 是 MON 的平分线 图 9 7 8 如图 9 8 在 ABC 中 C 90 BD 平分 ABC DE AB 于 E 若 BCD 与 BCA 的面积比为 3 8 求 ADE 与 BCA 的面积之比 图 9 8 9 已知 如图 9 9 B C 90 M 是 BC 的中点 DM 平分 ADC 1 求证 AM 平分 DAB 2 猜想 AM 与 DM 的位置关系如何 并证明你的结论 图 9 9 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 10 已知 如图 9 10 在 ABC 中 AD 是 ABC 的角平分线 E F 分别是 AB AC 上 一点 并且有 EDF EAF 180 试判断 DE 和 DF 的大小关系并说明理由 图 9 10 第十二章第十二章 轴对称轴对称 测试测试 1 轴对称轴对称 学习要求学习要求 1 理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念 弄清它们之间的区别与联系 能识 别轴对称图形 2 理解图形成轴对称的性质 会画一些简单的关于某直线对称的图形 一 填空题一 填空题 1 如果一个图形沿着一条直线 直线两旁的部分能够 那么这个图形叫做 这条直线叫做它的 这时 我们也就说这个图形关于这条直线 或轴 2 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能够与 重合 那么这两图形叫做关于 这条直线叫做 折后重合的点是 又叫做 3 成轴对称的两个图形的主要性质是 1 成轴对称的两个图形是 2 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对 的垂直平分线 4 轴对称图形的对称轴是 5 1 角是轴对称图形 它的对称轴是 2 线段是轴对称图形 它的对称轴是 3 圆是轴对称图形 它的对称轴是 二 选择题二 选择题 6 在图 1 1 中 是轴对称图形的是 图 1 1 7 在图 1 2 的几何图形中 一定是轴对称图形的有 图 1 2 A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 8 如图 1 3 ABC 与 A B C 关于直线 l 对称 则 B 的度数为 图 1 3 A 30 B 50 C 90 D 100 9 将一个正方形纸片依次按图 1 4a b 的方式对折 然后沿图 c 中的虚线裁剪 成图 d 样式 将纸展开铺平 所得到的图形是图 1 5 中的 图 1 4 图 1 5 10 如图 1 6 将矩形纸片 ABCD 图 按如下步骤操作 1 以过点 A 的直线为折 痕折叠纸片 使点 B 恰好落在 AD 边上 折痕与 BC 边交于点 E 如图 2 以 过点 E 的直线为折痕折叠纸片 使点 A 落在 BC 边上 折痕 EF 交 AD 边于点 F 如 图 3 将纸片收展平 那么 AFE 的度数为 图 1 6 A 60 B 67 5 C 72 D 75 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 一 解答题一 解答题 11 请分别画出图 1 7 中各图的对称轴 1 正方形 2 正三角形 3 相交的两个圆 图 1 7 12 如图 1 8 ABC 中 AB BC ABC 沿 DE 折叠后 点 A 落在 BC 边上的 A 处 若点 D 为 AB 边的中点 A 70 求 BDA 的度数 图 1 8 13 在图 1 9 中你能否将已知的正方形按如下要求分割成四部分 1 分割后的图形是轴对称图形 2 这四个部分图形的形状和大小都相同 请至少给出四种不同分割的设计方案 并画出示意图 图 1 9 14 在图 1 10 这一组图中找出它们所蕴含的内在规律 然后在横线的空白处设计一个恰 当的图形 图 1 10 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 15 已知 如图 1 11 在直角坐标系中 点 A 在 y 轴上 BC x 轴于点 C 点 A 关于直 线 OB 的对称点 D 恰好在 BC 上 点 E 与点 O 关于直线 BC 对称 OBC 35 求 OED 的度数 图 1 11 测试测试 2 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 学习要求学习要求 1 理解线段的垂直平分线的概念 掌握线段的垂直平分线的性质及判定 会画已知线 段的垂直平分线 2 能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 经过 并且 的 叫做线段的垂直平分线 2 线段的垂直平分线有如下性质 线段的垂直平分线上的 与这条线段 的 相等 3 线段的垂直平分线的判定 由于与一条线段两个端点距离相等的点在 并且两点 确定 所以 如果两点 M N 分别与线段 AB 两个端点的距离相等 那么直线 MN 是 4 完成下列各命题 1 线段垂直平分线上的点 与这条线段的 2 与一条线段两个端点距离相等的点 在 3 不在线段垂直平分线上的点 与这条线段的 4 与一条线段两个端点距离不相等的点 5 综上所述 线段的垂直平分线是 的集合 5 如图 2 1 若 P 是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点 则 1 PAC 2 PA 3 APC 4 A 图 2 1 6 ABC 中 若 AB AC 2cm BC 的垂直平分线交 AB 于 D 点 且 ACD 的周长为 14cm 则 AB AC 7 如图 2 2 ABC 中 AB AC AB 的垂直平分线交 AC 于 P 点 1 若 A 35 则 BPC 2 若 AB 5 cm BC 3 cm 则 PBC 的周长 图 2 2 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 一 解答题一 解答题 8 已知 如图 2 3 线段 AB 求作 线段 AB 的垂直平分线 MN 作法 图 2 3 9 已知 如图 2 4 ABC 及两点 M N 求作 点 P 使得 PM PN 且 P 点到 ABC 两边的距离相等 作法 图 2 4 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 10 已知点 A 在直线 l 外 点 P 为直线 l 上的一个动点 探究是否存在一个定点 B 当点 P 在直线 l 上运动时 点 P 与 A B 两点的距离总相等 如果存在 请作出定点 B 若 不存在 请说明理由 图 2 5 11 如图 2 6 AD 为 BAC 的平分线 DE AB 于 E DF AC 于 F 那么点 E F 是 否关于 AD 对称 若对称 请说明理由 图 2 6 测试测试 3 轴对称变换轴对称变换 学习要求学习要求 1 理解轴对称变换 能作出已知图形关于某条直线的对称图形 2 能利用轴对称变换 设计一些图案 解决简单的实际问题 一 填空题一 填空题 1 由一个 得到它的 叫做轴对称变换 2 如果由一个平面图形得到它关于某一条直线 l 的对称图形 那么 1 这个图形与原图形的 完全一样 2 新图形上的每一点 都是 3 连接任意一对对应点的线段被 3 由于几何图形都可以看成是由点组成的 因此 要作一个平面图形的轴对称图形 可归 结为作该图形上的这些点关于对称轴的 二 解答题二 解答题 4 试分别作出已知图形关于给定直线 l 的对称图形 1 图 3 1 2 图 3 2 3 图 3 3 5 如图 3 4 所示 已知平行四边形 ABCD 及对角线 BD 求作 BCD 关于直线 BD 的对 称图形 不要求写作法 图 3 4 6 如图 3 5 所示 已知长方形纸片 ABCD 中 沿着直线 EF 折叠 求作四边形 EFCD 关 于直线 EF 的对称图形 不要求写作法 图 3 5 7 为了美化环境 在一块正方形空地上分别种植不同的花草 现将这块空地按下列要求分 成四块 1 分割后的整个图形必须是轴对称图形 2 四块图形形状相同 3 四块图形面积相等 现已有两种不同的分法 分别作两条对角线 图 过一条边的四等分点作该边的垂线段 图 图 中的两个图形的分割看作同一种方法 请你按照上述三个要求 分别在图 的三个正方形中 给出另外三种不同的分割方法 只画图 不写作法 图 3 6 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 8 已知 如图 3 7 A B 两点在直线 l 的同侧 点 A 与 A 关于直线 l 对称 连接 A B 交 l 于 P 点 若 A B a 1 求 AP PB 2 若点 M 是直线 l 上异于 P 点的任意一点 求证 AM MB AP PB 图 3 7 9 已知 A B 两点在直线 l 的同侧 试分别画出符合条件的点 M 1 如图 3 8 在 l 上求作一点 M 使得 AM BM 最小 作法 图 3 8 2 如图 3 9 在 l 上求作一点 M 使得 AM BM 最大 作法 图 3 9 3 如图 3 10 在 l 上求作一点 M 使得 AM BM 最小 图 3 10 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 10 1 如图 3 11 点 A B C 在直线 l 的同侧 在直线 l 上 求作一点 P 使得四边 形 APBC 的周长最小 图 3 11 2 如图 3 12 已知线段 a 点 A B 在直线 l 的同侧 在直线 l 上 求作两点 P Q 点 P 在点 Q 的左侧 且 PQ a 四边形 APQB 的周长最小 图 3 12 11 1 已知 如图 3 13 点 M 在锐角 AOB 的内部 在 OA 边上求作一点 P 在 OB 边上求作一点 Q 使得 PMQ 的周长最小 图 3 13 2 已知 如图 3 14 点 M 在锐角 AOB 的内部 在 OB 边上求作一点 P 使得点 P 到点 M 的距离与点 P 到 OA 边的距离之和最小 图 3 14 测试测试 4 用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称 学习要求学习要求 1 运用所学的轴对称知识 认识和掌握在平面直角坐标系中 与已知点关于 x 轴或 y 轴对称点的坐标的规律 进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于 x 轴或 y 轴对称 的图形 2 能运用轴对称的性质 解决简单的数学问题或实际问题 提高分析问题和解决问题 的能力 课堂学习检测课堂学习检测 一 解答题一 解答题 1 按要求分别写出各对应点的坐标 已知点A 2 4 B 1 5 C 3 7 D 6 8 E 9 0 F 0 2 关于 y 轴的对称 点 A B C D E F 关于 x 轴的对称 点 A B C D E F 2 已知 线段 AB 并且 A B 两点的坐标分别为 2 1 和 2 3 1 在图 4 1 中分别画出线段 AB 关于 x 轴和 y 轴的对称线段 A1B1及 A2B2 并写出 相应端点的坐标 图 4 1 2 在图 4 2 中分别画出线段 AB 关于直线 x 1 和直线 y 4 的对称线段 A3B3及 A4B4 并写出相应端点的坐标 图 4 2 3 如图 4 3 已知四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A 1 1 B 5 1 C 5 4 D 2 4 分别写出四边形 ABCD 关于 x 轴 y 轴对称的四边形 A1B1C1D1和 A2B2C2D2的顶点坐标 图 4 3 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 4 如图 4 4 ABC 中 点 A 的坐标为 0 1 点 C 的坐标为 4 3 点 B 的坐标为 3 1 如果要使 ABD 与 ABC 全等 求点 D 的坐标 图 4 4 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 5 如图 4 5 在平面直角坐标系中 直线 l 是第一 三象限的角平分线 图 4 5 实验与探究 1 由图观察易知 A 0 2 关于直线 l 的对称点 A 的坐标为 2 0 请在图中分 别标明 B 5 3 C 2 5 关于直线 l 的对称点 B C 的位置 并写出它 们的坐标 B C 归纳与发现 2 结合图形观察以上三组点的坐标 你会发现 坐标平面内任一点 P a b 关于 第一 三象限的角平分线 l 的对称点 P 的坐标为 不必证明 运用与拓广 3 已知两点 D 1 3 E 1 4 试在直线 l 上确定一点 Q 使点 Q 到 D E 两点的距离之和最小 并求出 Q 点坐标 测试测试 5 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 学习要求学习要求 掌握等腰三角形的性质 并能利用它证明两个角相等 两条线段相等以及两条直线垂 直 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 的 叫做等腰三角形 2 1 等腰三角形的性质 1 是 2 等腰三角形的性质 2 是 3 等腰三角形的对称性是 它的对称轴是 图 5 1 3 如图 5 1 根据已知条件 填写由此得出的结论和理由 1 ABC 中 AB AC B 2 ABC 中 AB AC 1 2 AD 垂直平分 3 ABC 中 AB AC AD BC BD 4 ABC 中 AB AC BD DC AD 4 等腰三角形中 若底角是 65 则顶角的度数是 5 等腰三角形的周长为 10cm 一边长为 3cm 则其他两边长分别为 6 等腰三角形一个角为 70 则其他两个角分别是 7 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 20 则等腰三角形的底角等于 二 选择题二 选择题 8 等腰直角三角形的底边长为 5cm 则它的面积是 A 25cm2B 12 5cm2 C 10cm2D 6 25cm2 9 等腰三角形的两边长分别为 25cm 和 13cm 则它的周长是 A 63cmB 51cm C 63cm 和 51cmD 以上都不正确 10 ABC 中 AB AC D 是 AC 上一点 且 AD BD BC 则 A 等于 A 45 B 36 C 90 D 135 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 一 解答题一 解答题 11 已知 如图 5 2 ABC 中 AB AC D E 在 BC 边上 且 AD AE 求证 BD CE 图 5 2 12 已知 如图 5 3 D E 分别为 AB AC 上的点 AC BC BD AD AE DE CE 求 B 的度数 图 5 3 13 已知 如图 5 4 ABC 中 AB AC D 是 AB 上一点 延长 CA 至 E 使 AE AD 试确定 ED 与 BC 的位置关系 并证明你的结论 图 5 4 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 14 已知 如图 5 5 Rt ABC 中 BAC 90 AB AC D 是 BC 的中点 AE BF 求证 1 DE DF 2 DEF 为等腰直角三角形 图 5 5 15 在平面直角坐标系中 点 P 2 3 Q 3 2 请在 x 轴和 y 轴上分别找到 M 点 和 N 点 使四边形 PQMN 周长最小 1 作出 M 点和 N 点 2 求出 M 点和 N 点的坐标 图 5 6 测试测试 6 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 学习要求学习要求 掌握等腰三角形的判定定理 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 等腰三角形的判定定理是 2 ABC 中 B 50 A 80 AB 5cm 则 AC 3 如图 6 1 AE BC 1 2 若 AB 4cm 则 AC 4 如图 6 2 A B C CDE 180 若 DE 2cm 则 AD 图 6 1 图 6 2 图 6 3 图 6 4 5 如图 6 3 四边形 ABCD 中 AB AD B D 若 CD 1 8cm 则 BC 6 如图 6 4 ABC 中 BO CO 分别平分 ABC ACB OM AB ON AC BC 10cm 则 OMN 的周长 7 ABC 中 CD 平分 ACB DE BC 交 AC 于 E DE 7cm AE 5cm 则 AC 8 ABC 中 AB AC BD 是角平分线 若 A 36 则图中有 个等腰三角形 9 判断下列命题的真假 1 有两个内角分别是 70 40 的三角形是等腰三角形 2 平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形 3 有两个内角不等的三角形不是等腰三角形 4 如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等 那么这个三角形是等腰三角 形 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 一 解答题一 解答题 10 已知 如图 6 5 ABC 中 BC 边上有 D E 两点 1 2 3 4 求证 ABC 是等腰三角形 图 6 5 11 已知 如图 6 6 ABC 中 AB AC E 在 CA 的延长线上 ED BC 求证 AE AF 图 6 6 12 已知 如图 6 7 ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D BF 平分 ABC 交 CD 于 E 交 AC 于 F 求证 CE CF 图 6 7 13 如图 6 8 在 ABC 中 BAC 60 ACB 40 P Q 分别在 BC CA 上 并且 AP BQ 分别为 BAC ABC 的角平分线 求证 BQ AQ AB BP 图 6 8 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 14 如图 6 9 若 A B 是平面上的定点 在平面上找一点 C 使 ABC 构成等腰直角三 角形 问这样的 C 点有几个 并在图 6 9 中画出 C 点的位置 图 6 9 15 如图 6 10 对于顶角 A 为 36 的等腰 ABC 请设计出三种不同的分法 将 ABC 分割为三个三角形 并且使每个三角形都是等腰三角形 图 6 10 测试测试 7 等腰三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质 学习要求学习要求 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 如果一个三角形的两条高线相等 如图 7 1 那么这个三角形一定是 图 7 1 2 如图 7 2 在 ABC 中 高 AD BE 交于 H 点 若 BH AC 则 ABC 图 7 2 3 如图 7 3 ABC 中 AB AC AD BD AC CD 则 BAC 图 7 3 4 如图 7 4 在 ABC 中 ABC 120 点 D E 分别在 AC 和 AB 上 且 AE ED DB BC 则 A 的度数为 图 7 4 5 如图 7 5 ABC 是等腰直角三角形 BD 平分 ABC DE BC 于点 E 且 BC 10cm 则 DCE 的周长为 cm 图 7 5 二 选择题二 选择题 6 ABC 中三边为 a b c 满足关系式 a b b c c a 图 7 50 则这个三角形一定为 A 等边三角形B 等腰三角形 C 等腰钝角三角形D 等腰直角三角形 7 若一个三角形是轴对称图形 则这个三角形一定是 A 等边三角形B 不等边三角形 C 等腰三角形D 等腰直角三角形 8 如图 7 6 ABC 中 AB AC BAC 108 若 AD AE 三等分 BAC 则图中 等腰三角形有 A 4 个B 5 个C 6 个D 7 个 图 7 6 图 7 7 9 等腰三角形两边 a b 满足 a b 2 2a 3b 11 2 0 则此三角形的周长是 A 7B 5C 8D 7 或 5 10 如图 7 7 ABC 中 AB AC BE CD BD CF 则 EDF A 2 AB 90 2 A C 90 AD A o 2 1 90 三 解答题三 解答题 11 已知 如图 7 8 AD 是 BAC 的平分线 B EAC EF AD 于 F 求证 EF 平分 AEB 图 7 8 12 已知 如图 7 9 在 ABC 中 CE 是角平分线 EG BC 交 AC 边于 F 交 ACB 的外角 ACD 的平分线于 G 探究线段 EF 与 FG 的数量关系并证明你的结论 图 7 9 13 如图 7 10 过线段 AB 的两个端点作射线 AM BN 使 AM BN 请按以下步骤画图 并回答 1 画 MAB NBA 的平分线交于点 E AEB 是什么角 2 过点 E 任作一线段交 AM 于点 D 交 BN 于点 C 观察线段 DE CE 有什么发 现 请证明你的猜想 3 试猜想 AD BC 与 AB 有什么数量关系 图 7 10 14 已知 如图 7 11 ABC 中 AB AC A 100 BE 平分 B 交 AC 于 E 1 求证 BC AE BE 2 探究 若 A 108 那么 BC 等于哪两条线段长的和呢 试证明之 图 7 11 测试测试 8 等边三角形等边三角形 学习要求学习要求 掌握等边三角形的性质和判定 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 的 叫做等边三角形 2 等边三角形除一般的等腰三角形的性质外 它的特有性质主要有 1 边的性质 2 角的性质 3 对称性 等边三角形是 图形 它有 对称轴 3 等边三角形的判定方法 1 三条边 的 是等边三角形 2 三个角 的 是等边三角形 3 的等腰三角形是等边三角形 4 含 30 角的直角三角形的一个主要性质是 5 判断下列命题的真假 有一个外角是 120 的等腰三角形是等边三角形 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 三个外角都相等的三角形是等边三角形 6 已知 如图 8 1 ABC 是等边三角形 AE BC 于 E AD CD 于 D 若 AB CD 则图中 60 的角有 个 图 8 1 7 如图 8 2 B C D 在一直线上 ABC ADE 是等边三角形 若 CE 15cm CD 6cm 则 AC ECD 图 8 2 8 如图 8 3 已知 ABC 中 AB AC BAC 120 DE 垂直平分 AC 交 BC 于 D 垂足为 E 若 DE 2cm 则 BC cm 图 8 3 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 解答题解答题 9 已知 如图 8 4 ABC 和 BDE 都是等边三角形 1 求证 AD CE 2 当 AC CE 时 判断并证明 AB 与 BE 的数量关系 图 8 4 10 如图 8 5 已知 ABC 是等边三角形 D E 分别在边 BC AC 上 且 CD CE 连 接 DE 并延长至点 F 使 EF AE 连接 AF BE 和 CF 1 请在图中找出一对全等三角形 用符号 表示 并加以证明 2 求证 AF BD 图 8 5 11 已知 如图 8 6 四边形 ABCD 中 AC 平分 BAD CD AB BC 6cm BAD 30 B 90 求 CD 的长 图 8 6