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第五章刚体的转动 5 1刚体的运动 5 2刚体定轴转动定律 5 3转动惯量的计算 5 4刚体定轴转动定律的应用 5 5转动中的功和能 5 6刚体的角动量和角动量守恒定律 1 5 1刚体的运动 刚体 特殊的质点系 形状和体积不变化 理想化的模型 平动和转动 可以描述所有质元 质点 的运动 平动 刚体各质点都绕同一直线 轴 做圆周运动 刚体上任意两点的连线保持平行 所有点运动轨迹都相同 转动 一 刚体的运动 定轴转动 各质元均作圆周运动 其圆心都在一条固定不动的直线 转轴 上 2 二 定轴转动 各点的角量相同 转动平面 线量与角量 3 5 2刚体的定轴转动定律 一 质点系的角动量定理 质点 质点系所受的合外力矩等于该质点系角动量的变化率 4 二 刚体的定轴转动定律 外力对刚体转动的贡献 只有在转动平面内的分量对刚体转动有贡献 刚体的定轴转动定律 刚体对给定轴的转动惯量 F ma 对转轴的力矩 5 5 3转动惯量的计算 对分立体 对连续体 特点 1 转动惯量具有叠加性 2 与刚体质量分布有关 3 转轴不同 J不同 6 哪种握法转动惯量大 7 例1 求质量为m 半径为R的均匀圆环的转动惯量 轴与圆环平面垂直并通过圆心 解 J是可加的 所以若为薄圆筒 不计厚度 结果相同 例2 求质量为m 半径为R 厚为l的均匀圆盘的转动惯量 轴与盘平面垂直并通过盘心 解 取半径为r 宽为dr的薄圆环 8 可见 转动惯量与l无关 所以 实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2 2 例3 求长为L 质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量 解 取如图坐标 dm dx 9 1 均匀薄圆环 2 均匀圆盘 3 均匀杆 常用的几个转动惯量 常用J 书Page166 10 计算J的几条规律 1 平行轴定理 刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算 棒长L mL 圆盘半径R m0 11 2 对薄平板刚体的正交轴定理 应用 12 竿子长些还是短些较安全 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘 13 例1 如图所示 一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联 绳子的质量可以忽略 它与定滑轮之间无滑动 假设定滑轮质量为M 半径为R 其转动惯量为MR2 2 试求该物体由静止开始下落的过程中 下落速度与时间的关系 解 根据牛顿定律和转动定律列方程 运动学关系 对滑轮 对物体 联立得 5 4转动定律应用举例 14 例2 一轻绳跨过两个质量为m 半径为r的均匀圆盘状定滑轮 绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物 如图所示 绳与滑轮间无相对滑动 滑轮轴光滑 两个定滑轮的转动惯量均为mr2 2 将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放 求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力 15 例5 7一根长为l 质量为m的均匀细直棒 其一端有一固定的光滑水平轴 因而可以在竖直平面内转动 最初棒静止在水平位置 求它由此下摆 角时的角速度 解 如图建立坐标 杆受到的重力矩为 16 2019 12 27 17 解 动力学关系 运动学关系 例4 18 5 5定轴转动中的功和能 二 定轴转动的动能定理 一 力矩的功 力矩的功 转动动能 定轴转动的动能定理 19 三 定轴转动的功能原理 质点系功能原理对刚体仍成立 刚体重力势能 若A外 A内非 0 则Ek Ep 常量 可以质心势能代替刚体势能 20 例1 如图一根质量为m 长为l的均匀细棒 可绕通过其一端的轴0在铅直平面内转动 轴承处的摩擦不计 如果让棒自水平位置开始自由释放 求棒转到铅直位置时棒端A的速度 解 首先分析棒所受之力及相应力矩的大小 方向 在棒下落的过程中 只有重力矩做功 棒 地球系统机械能守恒 以棒铅直位置时质心c点所在平面为重力势能零点 则 水平位置 铅直位置 EK 0 EP mg l 2 EK 1 2 Jw2 EP 0 E1 mg l 2 E2 1 2 Jw2 mg l 2 1 2 Jw2 J 1 3 ml2 21 一 定轴转动的角动量定理 当M 0时 定轴转动 力矩对时间的积累效果 二 定轴转动的角动量守恒定理 刚体定轴转动的角动量L 22 刚体定轴转动的角动量守恒 M 0的原因 可能 1 F 0 不受外力 2 外力作用于转轴上 3 外力作用线通过转轴 4 外力作用线与转轴平行 23 例1 一飞轮以角速度w0绕轴旋转 飞轮对轴的转动惯量为J1 另一静止飞轮突然被啮合到同一个轴上 该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍 啮合后整个系统的角速度w 1 3 w0 利用J1wo J1 2J1 w 24 5 光滑的水平桌面上 有一长为2L 质量为m的匀质细杆 可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动 其转动惯量为mL2 3 起初杆静止 桌面上有两个质量均为m的小球 各自在垂直于杆的方向上 正对着杆的一端 以相同速率v相向运动 当两个小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后 与杆粘在一起转动 则这一系统碰撞后的转动角速度应为 25 D C A B C 以顺时针为转动正方向 两小球与细杆组成的系统对竖直固定轴角动量守恒 由Lmv Lmv 2mL2w Jw J mL2 3 及 可知正确答案为 26 例3一根长为l 质量为m的均匀直棒静止在一光滑水平面上 它的中心有一竖直固定轴 一个质量为m 的小球以水平速度v0垂直冲击其一端发生弹性碰撞 求碰撞后球的速度v和棒的角速度 27 由平行轴定理 28 例5 质量为m1 长为l的均匀细杆 静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上 它可绕过其端点o且与桌面垂直的固定光滑轴转动 另有一水平运动的质量m2为的小滑块 从侧面垂直与杆的另一端A相碰撞 设碰撞时间极短 已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2 方向如图所示 求碰撞后从细杆开始转动到停止转动过程所需时间 已知杆绕点o的转动惯量J ml2 3 角动量守恒 摩擦力矩 角动量定理 29 质量为m1 长为l的均匀细杆 静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上 它可绕过其端点o且与桌面垂直的固定光滑轴转动 另有

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