双曲线及其标准方程(带动画)很好.ppt

双曲线及其标准方程 巴西利亚大教堂 北京摩天大楼 法拉利主题公园 花瓶 1 回顾椭圆的定义 探索研究 平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点轨迹叫做椭圆 思考 如果把椭圆定义中的 距离之和 改为 距离之差 那么动点的轨迹会是怎样的曲线 即 平面内与两个定点F1 F2的距离的差等于常数的点的轨迹 是什么 画双曲线 演示实验 用拉链画双曲线 如图 A MF1 MF2 2a 如图 B 上面两条合起来叫做双曲线 由 可得 MF1 MF2 2a 差的绝对值 MF2 MF1 2a 根据实验及椭圆定义 你能给双曲线下定义吗 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 焦距 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 2 双曲线定义 MF1 MF2 常数 小于 F1F2 注意 MF1 MF2 2a 1 距离之差的绝对值 2 常数要小于 F1F2 大于0 0 2a 2c 符号表示 思考2 说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形 F1 F2是两定点 F1F2 2c 0 a c 当 MF1 MF2 2a时 点M的轨迹 当 MF2 MF1 2a时 点M的轨迹 因此 在应用定义时 首先要考查 双曲线的右支 双曲线的左支 以F1 F2为端点的两条射线 不存在 2a与2c的大小 线段F1F2的垂直平分线 若2a 0 动点M的是轨迹 若2a 2c 动点M的轨迹 若2a 2c 动点M的轨迹 MF1 MF2 F1F2 时 M点一定在上图中的射线F1P F2Q上 此时点的轨迹为两条射线F1P F2Q 常数大于 F1F2 时 常数等于 F1F2 时 P M Q M 是不可能的 因为三角形两边之差小于第三边 此时无轨迹 此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 则 MF1 MF2 常数等于0时 方程表示的曲线是双曲线 方程表示的曲线是双曲线的右支 方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线 练习巩固 x y o 设M x y 双曲线的焦距为2c c 0 F1 c 0 F2 c 0 F1 F2 M 以F1 F2所在的直线为X轴 线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 1 建系 2 设点 3 列式 MF1 MF2 2a 4 化简 3 双曲线的标准方程 令c2 a2 b2 y o F1 M 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 双曲线定义及标准方程 MF1 MF2 2a 2a F1F2 F c 0 F 0 c F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 双曲线与椭圆之间的区别与联系 MF1 MF2 2a MF1 MF2 2a F 0 c F 0 c 判断 与的焦点位置 思考 如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是Y轴上 结论 看前的系数 哪一个为正 则焦点在哪一个轴上 1 已知下列双曲线的方程 3 4 5 0 5 0 5 1 2 2 0 2 0 课本例2 4 写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1 a 4 b 3 焦点在x轴上 2 焦点为F1 0 6 F2 0 6 过点M 2 5 利用定义得2a MF1 MF2 3 a 4 过点 1 分类讨论 例3 证明椭圆与双曲线x2 15y2 15的焦点相同 变式 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P 求 PF1 练习 例 已知圆C1 x 3 2 y2 1和圆C2 x 3 2 y2 9 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切 求动圆圆心M的轨迹方程 解 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B 根据两圆外切的条件 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB 这表明动点M与两定点C2 C1的距离的差是常数2 根据双曲线的定义 动点M的轨迹为双曲线的左支 点M与C2的距离大 与C1的距离小 这里a 1 c 3 则b2 8 设点M的坐标为 x y 其轨迹方程为 轨迹问题 变式训练 已知B 5 0 C 5 0 是三角形ABC的两个顶点 且 求顶点A的轨迹方程 解 在 ABC中 BC 10 故顶点A的轨迹是以B C为焦点的双曲线的左支 又因c 5 a 3 则b 4 则顶点A的轨迹方程为 解 由双曲线的定义知点的轨迹是双曲线 因为双曲线的焦点在轴上 所以设它的标准方程为 所求双曲线的方程为 变2 已知 动点到 的距离之差的绝对值为6 求点的轨迹方程 小结 双曲线定义及标准方程 MF1 MF2 2a 2a F1F2 F c 0 F 0 c 解 1 已知方程表示椭圆 则的取值范围是 若此方程表示双曲线 的取值范围 解 当堂训练 2 ab 0 是方程ax2 by2 1表示双曲线的 条件 A 必要不充分B 充分不必要C 充要D 既不充分也不必要 C 名师点评 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据 在应用时 一是注意条件 PF1 PF2