（系统工程专业论文）离散系统变结构控制及其仿真研究.pdf

摘要 摘要 变结构控制从2 0 世纪5 0 年代产生至今，因它对系统参数摄动和外干 扰具有鲁棒性，而受到了世界范围的重视。己成功地应用到了许多方面， 如机器人手臂、发电机及电力电子系统。近年来，随着计算机技术的飞 速发展和工业自动化领域的实际需要，控制算法的实现经常利用数字计 算机，但当采用数字计算机实现变结构控制算法时，由于采样过程的限 制，理想的滑动模态不存在，状态轨迹以抖振的形式沿着滑动平面运动， 这是不利于工程的实际应用的。同时，在离散的情况下，滑动模态的性 质、存在条件及其到达条件都己经改变，因此研究离散系统变结构控制 方法对降低抖振具有重要的理论价值和实际意义。 本文全面系统地分析了离散时间变结构控制和离散时滞系统变结构 控制的研究现状，提出了离散系统变结构控制的基本定义、性质等，给 出了其控制策略。主要内容包括如下几个方面： 一、论述与本文有关的背景： 二、给出了离散时间系统变结构控制的有关概念，分析了离散时间 系统滑动模态的到达条件、存在条件和稳定性问题。 三、给蹦了离散时间系统变结构控制器的设计方法，给出了一种改 进方案，并与其它方法进行了比较。然后，给出了方案的数例仿真。 四、研究了离散时滞系统的变结构控制，在分析离散滞后变结构控 制系统中抖振产生的原因基础上，给出了两种改进的方案，并与其它方 法进行了比较。给出仿真数例，结果表孵此方法是合理的。 五、在论文的最后，对全文进行了总结，对后续工作进行了展望。 关键词：变结构控制：离散时间系统：离散时滞系统；抖振 a b s t r a c t v a 工i a b l es 1 l c n l r ec o 咖l ( v s c ) a w e h l o w nf b r 仕墟廿r d b l l s 缸1 e s s t o s y s t e h l p 删n e t c rv 鲥a d o n sa n de x 衄m l 锄c e s v s ch a v e 慨1w i d e l yu s e dmn 瑚y a p p h c a d o 璐，s u c h a sr o b o 慨，a i 】：c i 缸bp o w 盱g e n 蝴锄dd c 觚da cm o t o 岱a l l ds oo n i i l 吐l er e c e n ty e a 峨w i 血t h e 如e l 哪l 珈【e n to fr n i c r d c o m p u t e r 把：i l 玎同q 科a r l dl l l en e e d so f i n d u s n i a l 叫t o m 蚯0 n w eu 辩c o “1 p u 咄。t 0m a l i z el h ec o n d la l 酬m m b md l l r i n gm e 血n e 0 f r e a 】i z i i l gm ev s c b e c a u s eo fm e l i r 山o fs 跚l 蚰g ，血e i d e a ls l i 幽g m o d e d o e sn o t e ) 【i s t t h e 蛳i t e 舡司c c t o f y0 fs y 她n i sc h a 做i n 舀w m c hr 即缸i c ti t _ s 籼a l 叩p a 曲璐i i l 山ed r c u 珊s t a n c e s ，t i 硷a m v a lc o n 咖阻甜l dl h ee 妇s t e n c ec c 砌妇h a v eb e c nc 1 1 a i l 窖e d ri s s i g i 吐f i c a n t 吣s t u d yd i s d 皓血”v s c ( d v s c ) 幻i e d u c ec 蛔吮i i i l g o f s h d i n g m o d e 如t 1 1 i sd i s s 吼晡0 n ，t h ep l e s e n ts t a t i l s ，蛐曲d v s c 趾d v s c w i 血d m e 硪姆黜 锄a l y z e d a l lm l 】i l d 1 1 把b a s i cd 匝l l i d s 锄d 珥o p 硎嚣a r e 掣叩o s e d t h er m | i i ic o n 懈1 t si n l i sd i s s c 删o ni n c l u i i e ： 1 1 e b 蜒耳眦l d 一舢甜的也e 鲫b j e c t i s s u m m a r i z e d 2 n i ei _ e l 鲫e dd e 丘1 l i d o n so f d v s ca r e 聊s e d a f 时龃奶菌n g 圮谢v a ic o r 曲d o n ， 吐1 ee x i s t e n c ec o n d i d o n 锄ds t a b m z a l i o no fs d i n gm o d e i nd v s c 3 d c t a i l 。d a n a l y 西n gt h em a s o nf b r t l l ed i s c r e t e i e 垴瞎l a wt 0 c 绷s es y s 啪 c t l a 抽e 咖gi s 姗锄d m ed i s c t l ；t ei b 墒喀l a wi sd e v e l o p 。山 4 a f c e rm a l 灿gn 地c 孤s e so fc h a n e r i n g ，忉oi i n p v e ds 昀嘲如a r ed e v e l o p e d u s i n g m e p r o p o s e d t w o s 昀自e 粤e s ，t l l es i i m l 蚯0 n sa 他p e 出砌圃r e s p e c 曲e d 5 h lt l l ee n d ac o n c 【u s i o ni sm a d e a n d 山ef u t l i mr e s e 趣吐a i e p m s p e c 伦d k e y w o r d s v 缸a b l es 缸1 ：i c m r ec o n n d i ；d i s c 把t e - 妇l es y s 锄s ；d i s 锄北s y s o e m s 、i m t i m 咖e l a y ；c h a t t e r i n 辱 1 1 引言 第一章绪论 变结构控制( v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r 0 1 ) 理论是二十世纪五十年代发 展起来的一种控制系统综合方法。7 0 年代以后，欧美学者和我国学者先 后注意并开始研究这一理论。由于变结构控制中滑动模态的不变性，即 对外界干扰和系统的摄动具有很强的鲁捧性与稳定性，所以，变结构控 制为解决复杂系统特别是模型不确定系统提供了新的方案。正是由于这 一优点，变结构控制被广泛地应用于国防航天、机器人、电力网、电机 控制等领域中。 变结构控制理论大致可以分为两类：连续时间系统的变结构控制和 离散时间系统的变结构控制。前者从5 0 年代至今己建立了比较完善的理 论，并在实践中有许多成功的应用。近年来，随着计算机技术的不断发 展，微型计算微控制器越来越多地用到工业生产和各种控制系统中，而 数字计算机的运算是基于离散采样系统上的，因而在实际中进行仿真研 究和实时控制均要涉及到采样离散化问题，变结构控制的研究也由此从 连续系统转向了离散系统。离散系统的变结构控制不仅保持了原连续系 统中的优点，而且具有控制器输出量切换次数少、可以用于采样周期较 长的控制系统等优点，所以离散系统变结构控制已经成为变结构控制理 论与应用的重要组成部分和研究的热点。越来越多的国内外学者将目光 转向了离散系统变结构控制，以期将其应用到更广阔的领域。 1 2 离散系统变结构控制的实际应用背景 在引文中已经提到，变结构控制可以应用到许多领域中。文献 1 1 中提出了变结构控制的其中一个应用是可以用在水环境的处理上，考虑 到环保工程水流域的运动过程中存在着明显的参数变化、模型误差以及 广东工业大学工学硕上论文 外干扰，并且流域是多区段的，以及环保实际中更加复杂的控制对象、 不连续性等多种困难，促使我们研究连续、离散、不确定性、非线性系 统的稳定、镇定，并应用变结构控制方法，来研究更加复杂的系统的鲁 棒稳定性与鲁棒镇定。 本文受国家自然科学基金项目“流域水污染时滞大系统的建模与控 制”( 6 0 2 7 4 0 3 0 ) 和项目“区域水环境监控及决策支持系统开发”( c 3 1 8 0 1 ) 的支持。这两个项目的研究重点是形成离散时滞控制系统模型，用离散 变结构控制方法来实现水污染预测决策控制问题，初步建立水污染的控 制理论和方法体系，形成大时滞系统的创造性理论，针对其中涉及到的 离散变结构控制，提出了自己的方法，目前正在做实际应用方面的研究。 1 3 研究现状以及存在的问题 1 3 1 离散系统变结构控制 离散系统变结构控制理论是在连续系统变结构控制理论基础上发展 起来的。yd o t e ( 1 9 8 0 ) 首次提出了“准滑动模态”的概念，将连续时间 系统变结构控制的到达条件岛墨 o 推广到离散时间系统，其到达条件是 f s ( 七+ 1 ) 一j ( 七) 】s ( 七) o m ，但此条件不是充分的，也未给出严格的定义和数 学模型，例如当离散系统运动轨迹围绕s = o 作幅值发教的振动时该到达 条件也满足。k f u r u t a 一( 1 9 9 0 ) 将连续系统中的条件v o ，口r o ，r o f t l 翟长连( 2 0 0 0 ) 等在文献 6 分析指出受离散趋近律的参数和离散时 间系统采样周期的影响，系统会出现很大的颤振，不能保证系统的渐近 稳定性。也证明了( 在高氏趋近律的基础上) 利用离散趋近率设计的变 结构控制并没有趋向平衡点零点，而是在两点间作振荡，当、f 值足够 小时，系统状态能够接近平衡点零。在分析了离散趋近律系数造成系统 颤振的原因后，给出了改进的离散趋近律： s ( + 1 ) ；( 1 一嗽) 一掣7 1 s g i l 艰) 文献 7 在准滑模区内采用一种新的趋近率，以一i s ( 女) 1 2 s g n j ( 尼) 作为 s ( 七+ 1 ) 使得系统进入滑模带后的收敛速度大大加快，同时实现了该趋近 率与指数趋近率的结合。文献 8 提出如下趋近率； s ( 七+ 1 ) = p 占( 七) 一r i i 工( 七) l i 。s g n j ( 七) 将衰减控制与变速趋近率结合，而目结构相对简单。 1 3 2 时滞系统变结构控制的发展现状 在实际控制系统中，由于执行机构的固有的物理特性、变量的测量、 信号的传递理等因素的存在。系统总是受到时间滞后现象的影响。滞后 的存在往往使得系统稳定性和控制特性变差。丽且在工程实际中存在有 复杂控制对象、无穷维解空间、高度非线性和外部干扰因素等困难，用 一般的无滞后的变结构控制不能很好地解决。这样以来，对具有时间滞 后的变结构控制系统的研究就成为研究人员关注的问题。 前苏联学者e m e l y a n o v 最早研究了规范空间中控制回路含有滞后的 变结构控制及切换装置具有滞后的切换模态系统【圳：j a f a r o v ( 1 9 7 9 ，1 9 8 0 ，1 9 9 0 ) 研究了一阶、高阶滞后变结构控制系统的滑动模态稳 定性口2 0 4 1 。r o d i n o v ( 1 9 8 5 ) 研究了滑动模态具有分布滞后的变结构控制 系统的稳定性 1 ：l u o ( 1 9 9 3 ) 研究了一类不确定的内部参数滞后的滑 模控制系统并讨论了其鲁棒稳定性与渐近镇定性f 3 “d e n g ( 1 9 9 6 ) 研究 了具有滞后状态的时滞系统的滞后控制，通过引入动态滑模补偿器，得 出了一个简化的等效控制37 1 。b a s k e f ( 1 9 9 7 ) 基于干扰补偿的概念研究了 非线性时滞系统的稳定及抖振的减少3 引。刘永清、高存臣和张新政等对 含有滞后的连续系统的变结构控制进行了深入研究，并对有滞后的离散 时间系统的变结构控制作了初步的探索。h u ( 1 9 9 8 ) 在对输入有滞后系统 转化为无滞后系统的基础上给出了一类有不确定输入滞后的滑模控制 【39 1 y a n g ( 1 9 9 9 ，2 0 0 0 ) 对多时滞且系统状态不确定的控制系统进行了研 4 第一章绪论 究，设计了输出反馈的滑模控制方法1 4 0 ，4 1 1 r o h ( 1 9 9 9 ) 讨论了输入通道 有滞后的滑模控制系统，设计了一种新型的预估器用于补偿滞后m 】， j a f a r o v ( 2 0 0 0 ) 对多输入多滞后系统的滑模控制进行了研究4 3 1 ，在结合 l y a p u n o v k r a s o b s k i i 函数与线性矩阵不等式的基础上提出几个多滞后多 变量系统渐近稳定的滞后独立( d e l a y i n d e p e n d e n t ) 条件。s o n g ( 2 0 0 1 ) 把滑模控制与线性二次调节器l q r 结合起来提出了用虚拟状态量的方法 来对时滞系统进行滑模控制4 ”。 从以上研究现状分析来看，目前对于有时滞变结构控制的研究大都 集中在连续时间系统中，而对含有时滞的离散时间系统的研究尚不多见， 离散时滞变结构控制系统同样也存在着抖振，本文后文以其为研究对象， 对抖振的削弱提出了相关的方法。 1 4 本论文的研究内容 本论文研究的主要内容为离散系统的变结构控制，主要包括离散时 问系统的变结构控制和离散时滞系统的变结构控制。本文具体内容共分 五章。 第一章为绪论，分别介绍了离散时间变结构控制和离散时滞系统变 结构控制研究的现状、存在的问题，以及本次论文写作的实际应用背景 和所要研究的主要内容。 第二章首先介绍了一般的变结构控制系统，进而着重讨论了离散时 间系统的变结构控制，给出了离散变结构控制的基本定义与概念。 第三章在前人研究的基础之上，分析了离散指数趋近率抖振产生的 原因，并在此基础之上提出了改进的基于趋近率的控制方法，在本章之 后给出了仿真实例，证明此种方法使系统的动态特性和鲁棒性有了较大 的提高，抖振现象有了明显的削弱。 第四章在二、三章的基础上，研究了含有时间滞后的离散时间系统 的变结构控制，给出了离散时滞变结构控制的定义和基本性质，并给出 了控制策略。 第五章分析了变结构控制中抖振产生的主要原因，进而对离散时滞 系统的变结构控制中趋近律提出了两种可行的改进方案。对离散时滞变 结构控制的控制策略以及本文提出的改进方案进行了仿真，以证明其正 确性与有效性。最后对全文进行总结，并提出对未来工作的展望。 6 釜三：曼整坚塑至釜銮笙望2 型 第二章离散时间系统变结构控制 2 1 变结构控制系统 2 1 1 变结构控制 广义上的变结构控制是指；如果存在一个或多个切换函数，当系统 的状态达到切换函数值时，系统从一个结构自动的切换到另一个确定的 结构，则称这类系统为变结构系统。所谓结构是指由某一组数学方程所 描述的模型。 为了方便理解，我们可以给出以下分层定义3 1 ： 变结构系统：如果存在一个( 或几个) 切换函数，当系统的状态达 到切换函数值，系统从一个结构自动转换成另一个确定的结构，那末这 种系统称之为变结构系统。系统的一种模型，即由某一组数学方程所描 述的模型，称为系统的一种结构，系统有几种不同结构，就是说它有几 种不同数学表达式的模型。 变结构控制系统：选择并确定了控制规律后，得到的环路系统是一 个变结构控制系统。 2 1 2 变结构控制的基本特性 律【3 下面针对以上系统给出变结构控制的基本定义、达到条件以及控制 1 定义 定义2 1 设有一非线性控制系统 工= ，( 茗，“，f ) ，工r ”，“r “，r r ( 2 1 1 ) 我们需要确定切换函数向量 7 广东t 业大学工学硕上论文 j ( 上) = c x ，s 尺“( 2 ，i 2 ) 并寻求一种变结构控制 吣，= 凇荽撩： ，。， 这里的变结构体现在矿( 力球一 o ，j o 9 r 2 1 8 ) f 2 1 9 ) 广东工业大学工学硕士论文 ( 4 ) 一般趋近率 s = 一s s g n ( j ) ，t o ，o 口 1 f 2 1 1 0 1 s = s g n 0 ) 一，( s ) ( 2 1 1 1 ) 以上四种趋近率各有优缺点，适用于连续系统，在离散系统中也有 其相应的形式，我们将在后文离散系统趋近率中对它们作详细分析阐述。 3 滑动模态的存在条件 存在条件1 ( 局部条件) ：系统( 2 2 1 ) ，( 2 。1 。2 ) ，( 2 1 3 ) 的线性系 统若满足： l i m 占f x l 0 j ( x ) + 0 +$ ( z ) o - 则在切换面s 。( 曲= o 的附近邻域存在滑动运动。以二阶单输入系统为例， 见图2 2 此条件不能保证系统状态在有限时间内到达切换面，故只是一 个局部条件。 + 巳而 图2 一l 变结构控制过程中图2 2 单输入系统滑模存在条件 系统的运动过程图啪2 - 3 尉s 咖c o n d i 幽n 0 f f i g u r e 2 一lp r o c e d 城e c h a r t o f v s c s y s 锄ss l i d i i l g m 0 d eo f s i 旧e s y s t e i i i 存在条件2 ( 全局条件) ：考虑以下李亚普诺夫函数 ，= 丢 叫曲= 【吣) ，驰) ) r 假设满足矿( s ) 0 成立，则在切换平面s ( 石) = o 的附近区域产生滑动模 态。要是系统在在整个状态空间内都能达到切换平面，则需要满足更强 l o 鐾三耋量璧望皇耋鎏銮兰翌篓型 的条件 y = j 7 j 一万i j i o 4 滑动模态的稳定性 滑动模态指的是一种运动，也叫滑动运动。它是在状态系统( 2 1 1 ) 中发生在超平面j ( 工) = 0 上的运动。因此，只要在( 2 1 2 ) 中选择合适的参 数c ，就能保证滑动模态的渐进稳定性，而与系统的状态方程无关。 5 等价控制 当系统经由趋近运动到达滑模状态后，其控制输入为一非线性切换 输入，不易分析。现用一种连续型输入来替换这种非线性切换输入以简 化分析和控制器的设计，这种控制方法就称为等效控制或等价控制 ( e q u i v a l e n tc o n t r 0 1 ) 。 在滑动模态运动中我们知道有： j ( 鼻) = o ，j ( 工) = 0 一般地，取s ( x ) = q ，对于系统( 2 1 4 ) 可得： ci = c a x + c b u 由c 工= o 得等效控制， “。= 一( c 8 ) 。c 姒 ( 2 1 1 4 ) 将式( 2 1 1 4 ) 代入原系统( 2 1 4 ) 可得出一个降阶的动态系统，即滑 模运动的数学模型： 上= a 耳一b ( c 8 ) - 1 c a 工 8 滑动模态的不变性原理 考虑如下有外界干扰的线性系统 聋= a x + 曰“+ d ( x ，f ) s ( 曲= c k 其中，d ( 石，f ) 为包括外界干扰、系统参数摄动等在内的函数a 若存在匹配条件( m a t c h i n gc o n d i t i o n ) ： 广东工业大学工学硕士论文 d ( 工，f ) = 曰v ( x ，f ) 则可得含外扰系统的等效控制： j = c ( a 工+ b “+ d ( 五f ) ) = o 心口= 一( c b ) 一1 c ( a 工+ d ( x ，f ) ) 将此等效控制代入式( 2 1 1 1 ) 得： z = a z 一曰( c 8 ) _ 1 c a ( 工，f ) + d ( x ，f ) = ( ，一日( i = 8 ) 一1 c ) a 工十( ，一b ( c 8 ) 一1 c ) d ( 茸，f ) 再将上述匹配条件代入可得： z = ( ，一b ( c 昂) _ 1 c ) m 对比式( 2 1 1 5 ) 和( 2 1 1 8 ) 可以看出，滑动运动完全不受外部干扰 的影响。正是这一不变性才使得滑模变结构控制系统受到广泛的重视。 需要指出的是，不变性或者称强鲁棒性不是在整个过程中都有的，它只 是在滑模运动中具有，而在趋近运动中就没有。找出一种方法使得系统 运动的整个过程都具有不变性也是变结构控制研究中值得探讨的一个方 面。 2 2 离散时间系统变结构控制 随着数字计算机技术的不断发展，基于微型机和微控制器的系统越 来越多地应用在工业领域中。这类控制系统无疑都要经过离散化和采样， 然后再通过微机进行实时控制。特别是对于滑模控制系统，其控制量本 身即是非连续地形式，所以有必要从离散系统地角度出发，来研究离散 滑模控制系统地特性及相应地设计方法。 离散时间系统地变结构控制是在连续系统地基础上发展起来的，因 此，基本原理和连续系统完全一样，也分为两个基本内容： ( 1 ) 选择合适的切换函数，保证滑模动态全局渐进稳定。 ( 2 ) 求取变结构控制矿( x ) ，使得所有运动于有限时间内到达切换面 j f 工) = 0 。 1 2 第一章离散时间系统变结构控制 但是，离散时间系统与连续时间系统又有着很大的差异，它表现在 状态工的取值严格地限制在一个时间序列上： x o ) ：f = 0 ，2 ，3 ，七， 其中表示时间间隔即采样周期，并且假定为常数，在相平空间 中，表示状态的相点是从初始状态x ( o ) 出发的一个序列。而不是一条连 续的曲线。为简化记录，常常将血省略，而记为：x ( f ) ：f = 0 l ，2 ，3 ，l j ， 因此出现了一系列异于连续系统的新问题。例如，像连续系统中的 精确地到达切换面s ( x ) = o 常常是不可能的，因为可能不存在i ，使得 s ( 顶七) ) = o ；七= l ，2 ，n ， 正像我们前文所说的，离散系统的变结构控制是在连续系统上发展 而来的，故本章前面所论述的部分定义、性质也同样适用于离散系统。 但将连续系统( 2 1 4 ) 的变结构控制推广到离散时间系统，有限时间到 达、到达条件，、模动态的存在条件、稳定性等变结构控制等基本问题需 要考虑离散化后带来的新特点，需要我们重新来研究。 2 2 1 基本定义与概念 2 2 1 1 到达条件 前文中已经给出连续系统到达条件的定义， 系统。其中，连续系统的到达条件的不等式型 j 占 o 衄r l ，7 为采样时间。 1 3 厂东工业大学工学硕上论文 此趋近率具有以下优点： ( 1 ) 保证趋近模态具有良好的品质，这是由将趋近改为按由趋近率表 示的规律走向切换面所保证的，而且趋近率中的与口是可调的。 ( 2 ) 切换带的大小可以计算。 ( 3 ) 求解变结构变的相对简单一些，对于多输入系统的变结构控制来 讲，目前是唯一的求解方法。 4 ) 等式型的到达条件给出等式型的变结构控制。 2 。2 ，1 2 准滑动模态 作为离散时间系统的变结构控制，文献 9 首先提出了准滑动模态的 概念，其中文献 2 9 ，3 0 又进行了重新描述。 先考虑下列单输入离散时间线性系统： z + d 2 够) + 施( 电( 2 2 4 ) 占( 七) = c 7 工( 七) 其中，工彤为状态量，“月“为输入控制量。 从任意初始状态矗出发的运动，经过有限步后到达切换面 s = 卅c o = o j ，或者穿越切换面s ，到达切换面另一侧后再反向穿越s ， 形成一个步步穿越切换面的运动。最终在原点处形成一个振荡。下面我 们给出一下定义： 定义2 6 【2 9 3 0 1 定义个包围切换线切换面的切换带 品= ( x l 一 s ( 石) = c r 互 + ，工r ” ( 2 2 5 ) 从任意初态出发的离散系统( 2 2 i ) 的运动，如果在有限步内到达切 换面s 然后在其上运动，则称其为理想准滑动模态( 如图2 3 所示) ；如 果不是在s 运动，而是步步穿越s ，在切换带s 。内运动，则称其为非理 想准滑动模态。 发生在切换带配内的两种准滑动模态称为系统( 2 2 1 ) 在变结构控 制下的准滑动模态( 如图2 4 所示) 。2 为整个切换带的宽度。 在离散变结构控制系统中，从初始状态出发的运动同样可以分成三 1 4 第二章离散时间系统变结构控制 个阶段： ( 1 ) 趋近模态，即从初始状态趋向切换带； ( 2 ) 准滑动模态，包括两种：理想准滑动模态和非理想准滑动模态； ( 3 ) 稳定状态，理想准滑动模态吓的稳定状态即是原点，而非理想准 滑动模态下则是一种围绕原点的振荡状态。大多数情况为后者一振 荡状态。 2 2 1 3 理想准滑动模态 准滑动模态包含两种不同类型的运动，即理想的与非理想的准滑动 模态。此两者是由不同的微分方程所描述的，故我们对其分开来分析研 究。 因为理想准滑动模态是发生在切换面 s ( 柚= c 7 工= o 上的运动，所以对于理想情况下的滑动模态应满足： s ( 十九) = = j ( + 1 ) = j ( t ) = o ，七= 1 ，2 ， ( 2 2 6 ) 再由式( 2 2 4 ) 得： s ( 七) = s ( 七+ 1 ) = c 7 z ( 七+ 1 ) = c 7 a z ( 七) + c 7 扫“( 豇) ( 2 2 7 ) 不失一般性，设c 7 b o ，此条件即是变结构控制的可控条件。由式 ( 2 2 6 ) 和式( 2 2 7 ) 可解得理想准滑动模态的等效控制： “舶( 七) = 一( c 7 6 ) 一1 6 c 7 a 工( 七) ( 2 2 8 ) 再将此等效控制“。代入式( 2 2 4 ) ，得理想准滑动模态的运动方程 为： z ( 膏+ 1 ) = 触( k ) 一( ，坊一1 6 ，觚( k ) ( 2 2 9 ) j ( 七) = c z ( 1 i ) = o 为了方便研究，现对上式用状态分解法来将其化为简约型。由于单 输入系统是多输入系统的一个特例，而状态分解法不论对于单输入系统 还是多输入系统都是适用的。在此，直接以多输入系统为例来推倒出其 简约型。 设曰为多输入系统的输入阵，且满足础( 口) = m ，不失一般性，设 b ：r 为非奇异方阵，即： 嚣= 阱螂。 取州m 娥讯胁，其协陪一擎卜礁 代入( 2 2 9 ) 得： x ( 七+ 1 ) = r _ 1 a 强 ) + r 一1 b “( 惫) 5 ( 七) = c 7 丁x ( 七) 上式中：r 。1 a r = 乏：乏 ，r 1 丑= 三 ，c 7 r 一= 字= 。i 邑是甩一m 维列向量，皇是m 维列向量。 最后我们给出系统( 2 2 4 ) 得简约型表达式： 置( k + 1 ) = 。西( 七) + a 2 屯( 尼) 而( 七+ 1 ) = 如i ( 尼) + a 2 屯( 七) + 丑2 “( k ) s ( 女) = i ( 七+ 1 ) = 7 i ( 七) + 互7 五( 七) 为了简化记，以后将系统( 2 2 9 ) 具有简约形式记为 ( + 1 ) = a l 西( 七) + a 2 屯( 七) 屯( t + 1 ) = i ( 七) + 如2 屯( 七) + 龟“( 足) j ( 七) = 五( 七+ 1 ) = c r l r 五( 七) + c 2 7t ( 七) 以后遇到的系统如果不具有式( 2 2 1 0 ) 形的简约型，就可以通过状 态分解法转化为简约型，如果已经化为简约型则无需转化。 式( 2 2 1 0 ) 中的切换函数j ( 七) 中的c l ，c 2 为待求量，一般地取 q = l 。在此基础上，作下列变换： 三 - ： ，即：( 三三之，一c 。 1 6 第二章离散时间系统变结构控制 l 而( 七十1 ) = i 西( 七) + a 2j ( 七) 【j ( 七+ 1 ) = 如j ( 七) + a 2 2j ( 七) + c ；垦“( 七) 其中，五。= a 。一g 1 a ：g ，五。= c l a 。+ g 如一g 1 辞 ：口一如口 气：= c r ：，：= c ，g 4 ：+ a ： 新的系统( 2 2 1 0 ) 将原有系统( 2 2 4 ) 分解为两部分，分别用式 ( 2 2 1 0 ) 的两个方程给出： ( 1 ) 滑动模态运动。在滑模运动中有：s ( k ) = o ，s ( k d ) = o ，代入( 2 2 8 ) 中第一式得 ( 七+ 1 ) = 五。玉( 七) ( 2 ) 趋近运动。式( 2 2 1 0 ) 的第二式即为趋近运动 s ( 七十1 ) = 五。西( 1 j ) + j ( 七) + 皇岛( 女) 先只考虑理想准滑模运动( 2 2 1 0 ) ，设( a ，a ，b ) 可控，则经过非奇 异变换得到的( 。，4 ：a ，如。：口) 可控。故可知，存在向量卵，使得： a = a 。+ a l l 一( a 2 + 如。：) 叩的极点集 可任意配置。设玎已知且取为 7 7 = c ，“g 。这里讲的极点集为矩阵的特征值的集合。对于连续系统，特 征值 o ；对于离散系统而言，特征值a 的选取要满足汛l ( 1 。一旦选 定了系统的特征值后就可以求出相应的切换函数s ( 石) = c x 中的参数向量 c 来。关于切换面的设计更直观讲是向量c 的求取方法有多种途径，如： 极点配置法，最优化法，特征向量配置法，系统零点设计方法等”1 。 2 2 1 4 非理想准滑动模态 下面我们利用离散时间系统的趋近率来导出变结构控制“( ) 来。 我们取离散时间趋近率为以下形式： j ( + 1 ) 一s ( 七) = r s g n j ( 膏) 一鼋n ( 七) ( 2 2 1 4 ) 1 7 首先做s ( ) 的差分： j ( 足+ 1 ) 一j ( 七) = c 7 x ( 七+ 1 ) 一c 7 工( 七) = c 7 a ( 尼) + c 7 6 “( 七) c 7 工( 七) 令上述差分等于离散趋近率式( 2 。2 1 1 ) ，则有： 5 ( 七+ 1 ) 一s ( 七) = c 7 a z ( 七) + c 7 扫“( 七) 一c 7 x ( 七) = s r s g n 5 ( 七) 一q 乃( ) 由以上两式可解得变结构控制为： “( 量) = 一( c 7 6 ) 一1 c 7 ( a 一，+ g z 7 ) 算( 七) + 7 s g n ( c 7 工( 七) ) 】( 2 2 1 5 ) 整个变结构控制系统中，除理想滑动模态外所有的运动，包括趋近 运动和非理想滑模运动都是在控制量( 2 2 1 2 ) 作用下产生的。现将其代 入系统( 2 2 4 ) ，得出状态量的运动方程： 缸驴譬筹乏筹淼鬟2 0 础，2 舶，一( c 7 6 ) 一1 扫孽7 f 工( 七) 一( c 7 6 ) 一1 占i j e 丁s g n ( c 7 x ( 七) ) 、 2 2 2 准滑动模带 在前文已经定义了离散系统滑动模态的切换带的概念，相对于高维 系统，在高维空间中就相应的存在多个切换带。系统的状态运动不论从 初始状态进入到哪个切换带s 。中，就变成准滑动模态，且在下一步运动 中都不会偏离出。下面来对此切换带进行定义和证明，并求出切换带的 宽度。 定义2 5 在系统( 2 2 4 ) 的状态空间内的某一区域中，若在控制 ( 2 2 1 5 ) 的作用下，从任一点出发的运动均为准滑动模态，则称此区域 为准滑动模态带。 理想准滑动模态虽然存在，但状态运动到达理想准滑模后的下一步 仍会离开理想准滑模，这一点下述即会得到证明。所以，在离散系统 ( 2 2 4 ) 的状态空间彤内本不存在诸如连续系统中的滑动模态醵线。但 为了研究讨论方便，下面给出一个定义： 定义2 6 在离散系统( 2 2 4 ) 的状态空间彤内，由处在理想准滑动 模态上的点组成的曲线称为准滑动模态线。 第二章离散时间系统变结构控制 定理2 1系统( 2 2 4 ) 在控制( 2 2 1 5 ) 作用下的准滑动模态带就是 切换带& ，其中： = 占r 证明： 要证明进入准滑动模态的运动不会逃离切换带，而是一直处于 切换带中，只需证出其满足以下四点： 1 从s ( ) = o + 出发的运动，下一步到达s ( 疋+ 1 ) = q r + o + ： 2 从s ( 七) = o - 出发的运动，下一步到达j ( 七+ 1 ) = 一盯+ o 一： 3 从s ( ) = + o 一出发的运动，下一步到达开区间( _ 。o ) 4 从j ( ) = _ + o + 出发的运动，下一步到达开区间( o + ) 。 前两点是要求从理想准滑动模态上出发的运动不会跑出切换带：后 两点是要求从切换带边沿出发的运动也不会跑出切换带，而是在理想滑 动模态线的另一侧。现在来证明以上四点。根据式( 2 2 1 2 ) 的变结构控 制可以得出下列一般关系式： 5 ( 七+ 1 ) = c 7 。4 工( 七) + c 7 6 “( 七) = c 7 a x ( 七) 一( c 7 幻( ，b ) _ 1 ( c 7 a z ( 惫) 一，x ( 盘) + x 了0 7 x ( 七) + s ts g nc 。x ( 七) ) = 一( 一c 7 工( 七) + 鼋z t c 7 x ( 七) 一叮s g nc 7 z ( 七) ) = ( 1 一鼋丁) j ( 七) 一rs g n 工( 七) ( 2 2 1 7 ) ( 1 ) 当系统状态从正方向趋近准滑动模态线时，即当：s ( 七) _ o + 时， 有： 5 ( 七+ 1 ) = 一r + 0 + = 一+ 0 + ( 2 ) 当系统状态从负方向趋近准滑动模态线时，即当j ( 忌) - o _ 时， 有： 5 ( 豇+ 1 ) = + 了t + o = + 0 一 ( 3 ) 当系统状态处于切换带内的正侧边沿时，即当s ( 七) 一+ 0 一时， 有： s ( 七+ 1 ) = ( 1 一鼋r ) ( 丁+ 旷) 一 = q 丁+ o 一 再由o 口r 1 ，可知：一 j ( 七+ 1 ) o 1 9 广东工业大学工学硕十论文 ( 4 ) 当系统状态处于切换带内的负侧边沿时，即当s ( k ) - 一+ o + 时， 有： s ( 七十1 ) = ( i q r ) ( 一f f + 0 + ) + = 窜丁+ o + 同样由o g r 1 ，可知：o s ( 置+ 1 ) 。 ( 1 ) 、( 2 ) 说明了从准滑动模态线边沿两侧出发的运动的虽然下一步 到达了切换带的边沿，但仍然处于切换带内：由( 3 ) 、( 4 ) 知 i j ( 七+ 1 ) l = 盯 0 。又当 ( ) 一o 。时，必有j ( 七) _ 。， 故而y ( 七) o 。下面耍证明其差分值为负。 现在作矿( 七) 沿式( 2 2 2 1 ) 运动的差分，荠简记式( 2 2 1 6 ) 中的a i t ， a ：分别为a ，如 则： 矿( 膏+ 1 ) 一y ( 更) = 玉7 ( 七+ 1 ) 尸两( 七+ 1 ) + s 2 ( 惫+ 1 ) 一五7 ( 七) j ( 毒) 一5 2 ( 七) = ( 葺( 七) + 如j ( 七) ) 7 p ( a ( 七) + 如s ( 七) ) 一0 ( 七) p x ( 女) + ( j ( 七) 一q z j ( 七) 一e rs g n 占( 七) ) 2 一j 2 ( 七) ： 7 ( 七) 7 m ( 七) 十s ( 七) 如7 j 坞j ( 七) + 2 7 ( 七) 7 心j ( 七) + s 2 ( ) + q n ( 七) 1 2 + ( 盯s g r i s ( ) 1 2 2 鼋乃2 ( 七) 一2 8 n ( ) s g n 5 ( 七) + 2 g r 2 j ( 七) s g n s ( 是) 一焉7 ( 七) p 墨( 七) 一s 2 七) = 五7 ( 七) ( 7 p a p ) ( 七) + ( a 7 j 坞+ 鼋2 r 2 2 目r ) j 2 ( 七) + ( 2 五7 ( 膏) a 7 j 硅一2 口丁2s g n 5 ( k ”s ( 七) + 9 2 丁2 ( 2 2 2 5 ) 由l y a p u n o v 代数方程 魁一p = 一q 可知，任意给定一个正定阵q ， ( 取q 为单位阵，) ，则可以唯一地确定正定解阵p ，则上式又可以改写为 矿= y ( 足+ 1 ) 一y ( 七) = 一_ r ( 七) q _ ( 七) + ( a 7 p 如+ 9 2 t 2 2 口r ) s 2 ( 七) ( 2 2 2 6 ) + ( 2 工1 7 ( 七) a r p a 2 一拈q r 2s g i is ( 七) 一2 矿s 印s ( 七) ) s ( 七) + 置2 丁2 下面要证明y 岱 在式( 2 2 2 3 ) 中，第一项满足彳( 七) q 而( 七) 一m ，第二项含j ( ) 的二 次方，第三项含j ( 七) 因子，最后一项为含7 2 的常值项。所以当j ( 七) 及7 1 升i 大时，或者是，l 足够大，总是有： y = y ( 七+ 1 ) 一y ( 七) 0 。 考虑到准滑动模态带和准滑动模态的定义可知，所有的运动轨线只 能进入准切换带。通过对非理想准滑动模态稳定性的分析证明，我们可 以得出结论，对于己经确定的切换函数，其不但能保证理想滑动模态渐 近地趋近原点，而且能保证非理想滑动模态趋向并进入r ”1 中的原点 五= o 的邻域d 0 ，和彤中原点x = o 的邻域d l ： d l = 瓦n d 广东工业大学工学硕士论文 1 l 太而。 太： 参口 矿= 图2 3 切换带图 f i g u r e 2 4s w i t c h i n gf u n c t i o n 2 3 本章小结 l 斌 v=c 一 弋 切换带 模态 图2 4 离散时间系统的滑动模态 f i g u r e2 7s l i d i n gm o d e o f d i s c r e t e