第四讲函数.doc

中学代数研究第四讲 函数一、函数的发展运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地位。微积分研究对象是函数，几何图形则成为函数的图像。世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的1617世纪才逐渐产生。伽利略研究抛物线的运动及自由落体运动，产生了函数。法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在几何学中不仅引入了坐标，而且实际上也引入了变量，他在指出是变量的同时，还注意到依赖于而变化，这正是函数思想的萌芽。牛顿深刻地认识到：“曲线是由于点的连续运动”，即曲线是动点的轨迹。动点的位置是时间的函数。牛顿创立微积分的时候，用“流数”（Fluent）一词表示变量间的关系。莱布尼茨在1673年的手稿中则用“Function”一词。李善兰在代微积拾级一书中将Function一词翻译为“函数”，并一直沿用至今。函数作为微积分的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位。1755年，欧拉提出了一个明确的函数定义：“如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。1851年，黎曼定义：“我们假定是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量的一个值与之对应，则称是的函数”。1939年，布尔巴基学派的著作认为，若是两个集合，二者的笛卡儿积是指。中的任何子集称为之间的一种关系。如果关系满足：对于每一个，都存在唯一的一个，使得，则称关系是一个函数。这三种函数的定义，分别是变量说、对应说（映射说）、关系说。这是函数概念的三个里程碑。总之，函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。在20世纪以前，中学数学的中心是方程。1908年，数学家F克莱因担任国际数学教育委员会主席。他首次提出，中学数学应当以函数为中心；或者说“以函数为纲”。实际上直到第二次世界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。中国也是这样。1949年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。到了20世纪50年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位。普通高中数学课程标准（实验）必修课程：数学1函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）；数学4基本初等函数（三角函数）。二、函数概念的三种定义函数概念的定义定义1 有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量。另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（19世纪法国数学家柯西）定义2 在某变化过程中，有两个变量和。如果对于在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，都有唯一确定的值和它对应，那么就把称为的函数；称为自变量。（19世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出）定义3 和是两个集合，如果按照某种对应关系，使的任何一个元素在中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合到集合的函数。（19世纪70年代德国数学家康托）定义4 从集合到集合的映射称为从集合到集合的函数，简称为函数。（高等代数课程）定义5 从集合到集合的函数是满足以下条件的从到的一个关系：；如果，并且，那么。函数记作。函数概念的三种定义函数的变量说定义一般地，设在一个变化过程中有两个变量和，如果变量随着的变化而变化，那么就说是自变量，是因变量，也称是的函数。这种陈述性的定义，是函数的传统定义。它建立在变量的基础上，强调了变化。而描述变化，正是函数最重要的特征。函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。函数的对应说定义设为非空实数集，如果存在一个对应规律，对中每个元按照对应规律，存在中唯一的一个实数与之对应，则称对应规律是定义在上的函数，表为这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的现代定义。在高中阶段基本上就用这种定义。目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情形。由于映射是用对应来定义的，所以“对应说”与“映射说”其实是一回事。函数的关系说定义设是集合与集合的关系，即。如果还满足，则，那么称是集合到集合的函数。函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方面的优越性。这种定义是函数的形式化定义。然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有解析式的表达，所以初学者不易掌握。上述三种函数定义，各有各的不同特点。“变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的，对于初学者更容易接受。“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势。“关系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、人工智能设计中具有一定的作用。函数在中学数学中的重要作用函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。例如，代数式，可以看成是函数在时的值；方程的根，可以看成是函数的图像与轴交点的横坐标；不等式的解，可以看成是函数的图像上位于轴上方部分的点的横坐标集合；等比数列，可以看成是函数的另一种表示；等等。函数性质在等式或不等式的求解、证明中往往是非常有力的工具，例如证明：，只要令函数中的即可。又如：已知，那么，成立的充要条件是（ ）。(A) (B) (C) (D)引进函数，此函数在区间上都是减函数。易知，当条件A、B或D之一成立时，均有，当且仅当C成立时，有。所以选C。函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。第四讲函数 家庭作业1自学课本第五节函数概念的教学，并就函数的三种定义（变量说、对应说、关系说）选择一种分析其优缺点。三、初等函数初等函数的定义中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等，称为基本初等函数。定义（初等函数） 由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做初等函数。基本初等函数一个重要的特点是它能通过一个统一的代数式在定义域上表达出来。例如等都不是初等函数。定义（代数函数） 如果一个函数是用基本初等函数和（初等代数式）经过有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所得到的初等函数，则叫做代数函数。不是代数函数的初等函数叫做超越函数。初等函数的分类例 证明指数函数是超越函数见课本例1初等函数的定义域和值域函数的定义域函数的定义域是使函数有意义（包括函数表达式的数学意义和问题的实际背景所限定的意义）的自变量的取值范围。确定初等函数定义域的原则：若是整式，则定义域为全体实数；若是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；若是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数；函数的定义域是。例 用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为，求此框架围成的面积与的函数关系，并求其定义域。见课本例2函数的值域函数的值域就是函数值组成的集合。四、函数的图像与函数的特征关于函数的图像心理学认为：人们大脑里的长期记忆是以比较稳定的图式结构存在的。由于每个有序实数对就与平面上的一个点一一对应。所以作函数图像基本的方法就是描点法。但是，不可能把函数的每个点都描述清楚，这就需要借助函数的特征，先了解图形的大致轮廓，然后在做出函数的图形来。以绘制函数图像为例，讲述绘制函数图像的主要步骤：确定函数的定义域；研究函数的有界性；研究函数的奇偶性；研究函数的单调性；研究函数的周期性；找出函数的特殊点；如果函数有渐近线，则先把渐近线求出来，再讨论函数的变化趋势；用平滑曲线将各部分连接起来，曲线上个别不属于图像的点用“。”表示空缺。例 做出函数的图像。解：函数的定义域：函数的有界性：函数的奇偶性：奇函数。图像关于原点对称，所以只需在内进行讨论。函数的单调性：设，则当时，有。所以函数在上递减，而，在轴正向函数值由递减到2。当，有。所以函数在上递增，而，在轴正向函数值由2递增到。函数的周期性：无函数的特殊点：函数的渐近线：由于，所以轴是曲线的垂直渐近线。又因为函数和直线的纵坐标之差为，而，所以直线是曲线的渐近线。用平滑曲线将各部分连接起来。课堂练习：做出函数的图像。用初等变换做出函数的图像平移变换对称变换奇函数关于原点对称，偶函数关于轴对称；关于纵轴对称，关于横轴对称，关于原点对称。放缩变换例 利用初等变换做出函数的图像。解：作图步骤大致如下作的图像；作函数的图像（振幅变换）；作函数的图像（周期变换）；作函数的图像（位相变换）；作函数的图像。课堂练习：利用初等变换做出函数的图像。函数的一些主要性质（自学：10分钟）有界性如果存在正数，对于函数在定义域（或其子集）内的一切的值，都有，则称为在定义域（或其子集）上的有界函数。如果上述不存在，则称这个函数是无界的。例如，是有界的。奇偶性对于函数在定义域内的任意一个值，如果都有成立，则叫做奇函数；如果有成立，则称为偶函数。例如，是奇函数；是偶函数。单调性对于函数在给定区间上的自变量的任意两个值，如果当时，都有（或）成立，那么函数叫