异方差检验方法分析.doc

第10讲 异方差检验10.1 同方差假定模型的假定条件 给出Var(u) 是一个对角矩阵， Var(u) = s 2I = s 2 (10.1)且u的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定），当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。 Var(u) = s 2 W = s 2s 2 I (10.2) 当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u中的元素ut 取自不同的分布总体。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。比如 W 中的 si j与s 2的乘积 ,（i j）表示与第i组和第j组观测值相对应的ui与 uj的协方差。若 W 非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。本章讨论异方差。以两个变量为例，同方差假定如图10.1和10.2所示。对于每一个xt值，相应ut的分布方差都是相同的。 图10.1 同方差情形 图10.2 同方差情形10.2 异方差表现与来源异方差通常有三种表现形式，（1）递增型，（2）递减型，（3）条件自回归型。递增型异方差见图10.3和10.4。图10.5为递减型异方差。图10.6为条件自回归型异方差。 图10.3 递增型异方差情形 图10.4 递增型异方差 图10.5 递减型异方差 图10.6 复杂型异方差(1) 时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。(2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。无论是时间序列数据还是截面数据。递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值的增大，被解释变量取值的差异性增大。 10.3 异方差的后果回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。但是回归参数估计量不再具有有效性。10.4 异方差检验10.4.1 定性分析异方差 (1) 经济变量规模差别很大时容易出现异方差。如个人收入与支出关系，投入与产出关系。 (2) 利用散点图做初步判断。 (3) 利用残差图做初步判断。 10.4.2 异方差检验(1) White检验White检验由H. White 1980年提出。Goldfeld-Quandt 检验必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。Glejser检验通常要试拟合多个回归式。White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 c2 统计量进行异方差检验。White检验的具体步骤如下。以二元回归模型为例，yt = b0 +b1 xt1 +b2 xt2 + ut (10.3)首先对上式进行OLS回归，求残差。做如下辅助回归式，= a0 +a1 xt1 +a2 xt2 + a3 xt12 +a4 xt22 + a5 xt1 xt2 + vt (10.4)即用对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式(5.10)的可决系数R2。White检验的零假设和备择假设是 H0: (5.9)式中的ut不存在异方差， H1: (5.9)式中的ut存在异方差在不存在异方差假设条件下统计量 T R 2 c 2(5) (10.5)其中T表示样本容量，R2是辅助回归式(10.4)的OLS估计式的可决系数。自由度5表示辅助回归式(10.4)中解释变量项数（注意，不计算常数项）。T R 2属于LM统计量。判别规则是若 T R 2 c2a (5), 接受H0 （ut 具有同方差）若 T R 2 c2a (5), 拒绝H0 （ut 具有异方差）（2）Glejser检验 检验 | 是否与解释变量xt存在函数关系。若有，则说明存在异方差；若无，则说明不存在异方差。通常应检验的几种形式是 | = a0 + a1 xt | = a0 + a1 xt2 | = a0 + a1, .Glejser检验的特点是：既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。 一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。 计算量相对较大。当原模型含有多个解释变量值时，可以把 | 拟合成多变量回归形式。(3) 自回归条件异方差（ARCH）检验 异方差的另一种检验方法称作自回归条件异方差 (ARCH) 检验。这种检验方法不是把原回归模型的随机误差项st 2 看作是xt 的函数，而是把st 2 看作误差滞后项ut-12 , ut-22 , 的函数。ARCH是误差项二阶矩的自回归过程。恩格尔（Engle 1982）针对ARCH过程提出LM检验法。辅助回归式定义为= a0 + a1 + + a n (10.6)LM统计量定义为 ARCH = T R 2 c 2(n) 其中R 2是辅助回归式（10.6）的可决系数。在H0：a1 = = an = 0 成立条件下，ARCH渐近服从 c 2(n) 分布。ARCH检验的最常用形式是一阶自回归模型（n = 1）， = a0 + a1 在这种情形下，ARCH渐近服从 c 2(1) 分布。 10.5 克服异方差的方法 （1）对模型 yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut (10.7)假定异方差形式是Var(ut) = (s xt1)2。（因为Var(ut) = E(ut)2，相当于认为 | = s xt）用xt1同除上式两侧得 yt / xt1 = / xt1 + b2 xt2 / xt1 + ut / xt1 , (10.8)因为Var(ut / xt1) = (1/ xt12 ) Var(ut) = (1/ xt12 ) s 2 xt12 = s 2， (10.8) 式中的随机项 (ut / xt) 是同方差的。对 (10.8) 式做OLS估计后，把回归参数的估计值代入原模型 (10.7)。对 (10.8) 式应用OLS法估计参数，求 S (ut / xt1) 2 最小。其实际意义是在求 S (ut / xt1)2 最小的过程中给相应误差项分布方差小的观测值以更大的权数。所以此法亦称为加权最小二乘法，是GLS估计法的一个特例。（2）通过对数据取对数消除异方差。图10.7 菲律宾GDP和对数的GDP 图10.8中国进出口贸易额差（1953-1998, file: pap1）和对数的中国进出口贸易额之差问题：（1）1.2E+12表示什么含义？（2）LNEXT-LNIMP为什么不能改为LN(EXT-IMP)？10.6 案例分析【案例1】（file:hete01，hete02）取1986年中国29个省市自治区农作物种植业产值yt（亿元）和农作物播种面积xt（万亩）数据研究二者之间的关系。得估计的线性模型如下， yt = -5.6610 + 0.0123 xt (10.10) (12.4) R2 = 0.85, F = 155.0, T = 29无论是从yt和xt观测值的散点图（见图10.9）还是模型的残差图（见图10.10）都可以发现数据中存在异方差。 图10.9 农作物产值yt和播种面积xt (file:hete01) 图10.10 残差图(file:hete02)（1）用White方法检验是否存在异方差。在上式回归的基础上，做White检验。得，注意：输出结果中的概率是指c2 (2)统计量取值大于8.02的概率为0.018。示意如下图。 因为TR2 = 8.02 c2a (2) = 6，所以存在异方差。（2）用Glejser方法检验是否存在异方差。下面克服异方差。对yt和xt同取对数。得两个新变量Lnyt 和Lnxt（见图10.11）。用Lnyt 对Lnxt 回归，得 Lnyt = - 4.1801 + 0.9625 Lnxt . (10.13) (16.9) R2 = 0.91, F = 285.6, (t = 1, , 29) 图10.11 Ln yt和 Ln xt 图10.12 残差图经White检验不存在异方差。因为TR2 = 2.58 c20.05 (2) = 6.0，所以不存在异方差。 (文件：Statis) 用Glejser法检验异方差用 (10.10) 式, yt = -5.6610 + 0.0123 xt, 的残差的绝对值对xt回归 | = 0.0024 xt (8.0) R2 = 0.22可见误差项的异方差形式是Var(ut) = E(ut)2 = 5.7610-6 xt2。克服异方差的方法是用xt分别除(10.10) 式两侧，得变换变量yt* = yt / xt，xt* = 1 / xt。用yt* 对xt* 回归（见图10.13），得 yt* = 0.0113 + 0.8239 xt* (10.14) (13.8) (0.8) R2 = 0.63, F = 46.1 图10.13 yt* 和 xt* 图10.14 残差图注意，回归系数0.8239没有显著性，截距项0.0113却有很强的显著性，而0.0113正是还原后模型的回归系数，所以模型通过检验。把yt* = yt / xt，xt* = 1 / xt代入上式并整理得广义最小二乘估计结果如下： yt = 0.8239 + 0.0113 xt (10.15) (0.8) (13.8) R2 = 0.63, F = 46.1由式 (10.14) 得到的残差见图10.14。经检验已不存在异方差。(10.14) 式，即 (10.15) 式中的回归参数具有最佳线性无偏特性。(10.16) 式是最小二乘估计结果。比较(10.16)和 (10.15) 式， yt = -5.6610 + 0.0123 xt (10.16)虽然0.0113和0.0123相差不多，但从估计原理分析，0.0113有比0.0123更大的可能性接近回归参数真值。经济含义是平均每一万亩耕地的农业产出值是113万元人民币。通过这个例子说明，在实际中直接用解释变量除原变量的变换方法克服异方差是可行的。附录：用EViews给序列中的数据排序。在Workfile窗口点击Proc键并选择Sort Current Page功能，将出现一个要求填写以哪一个序列为标准（基准序列）排序的对话框。填写基准序列名，并在下侧的另一个选择框中说明是按从小到大排列（Ascending），还是从大到小排列（Descending）。缺省的选择是从小到大排列。注意，这种操作是把工作文件中所有的变量都以选定的变量为标准排序。所以若希望保留原序列数据时，应先备份一个工作文件。 obs 原始数据 排序以后XYXY1907.516.31316.53.532873.217.14761.76.33313159.2125.24873.217.1445928.142.24907.516.3156834.440.281018.516.8365495.584.471235.210.0776055.270.73601.549.72812694.6101.674275.144.7891018.516.834701.344.371012770.9211.515252.537.29116542.71015495.584.471212244.3155.875928.142.24133601.549.726036.151.79148158.169.76055.270.71516564.5255.926542.71011617729.2183.656821.761.241711061.5146.796834.440.281811304.7129.637016.559.45199166.2154.288158.169.720