相似三角形2.doc

相似三角形【重点难点提示】重点：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性质，以及综合运用这些知识证明线段相等、角相等、直线平行，比例式和等积式等难点：如何根据问题的结论，在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形考点：综合运用相似三角形的判定与性质证明比例式、等积式、线段相等、角相等【经典范例引路】例1 如图，已知等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD，AC于E、 F，求证：BE2EFEG证明：如图，连结EC，ABAC，ADBC，ABCACB，AD垂直平分BCBEEC，12，ABC-1ACB-2，即34，又CGAB，G3，4G又CEGCEF，CEFGEC，=EC2EG EF，故EB2=EFEG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC，把原来处在同一条直线上的三条线段BE，EF，EC转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。例2 已知：如图，AD是RtABC斜BC上的高，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于F，求证：=证法一：如图，在RtABC中，BACRt，ADBC，3C，又E是RtADC的斜边AC上的中点，ED=ACEC，2C，又12，13，DFBAFD，DFBAFD， （1）又AD是RtABC的斜边BC上的高，RtABDRtCAD，= （2）由（1）（2）两式得=，故=证法二：过点A作AGEF交CB延长线于点G，则= （1）E是AC的中点，EDAC，D是GC的中点，又ADGC，AD是线段GC的垂直平分线，AGAC （2）由（1）（2）两式得：=，证毕。【解题技巧点拨】本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证【综合能力训练】一、填空题1.已知：在ABC中，P是AB上一点，连结 CP，当满足条件ACP= 或APC=或 AC2= 时，ACPABC2.两个相似三角形周长之比为49，面积之和为291，则面积分别是 。3.如图，DEFG是RtABC的内接正方形，若CF8，DG4，则BE 。4如图，直角梯形 ABCD中，ADBC，ADCD，ACAB，已知AD4，BC9，则 AC。5ABC中，AB15，AC9，点D是AC上的点，且AD=3，E在AB上，ADE与ABC相似，则AE的长等于。6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，则BDC的度数为。7.ABC中，ABAC，A36，BC1，BD平分ABC交于D，则BD ，AD ，设ABx,则关于x的方程是 .8如图，已知D是等边ABC的BC边上一点，把ABC向下折叠，折痕为MN，使点A落在点D处，若BDDC23，则AMMN= 。二、选择题9.（2001年杭州市中考题）如图，在正ABC中，D、E分别在AC、AB上，且=，AE=BE，则有（）AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD10（2001年河北省中考题）如图，在ABC中，D为AC边上一点，DBCA，BC=，AC3，则CD的长为（ ）A.1B.C.2D.11（2001年陕西省中考题），如图，ABCD中，G是 BC延长线上一点，AG与 BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（ ）A3对 B4对 C5对 D6对12（2001年安徽省中考题）P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）A1条 B.2条 C3条 D4条13如图，在直角梯形 ABCD中，AB7，AD2，BC=3，若在 AB上取一点P，使以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个三、解答下列各题14.如图，长方形ABCD中，AB=5，BC10，点P从A点出发，沿AB作匀速运动，1分钟可以到达B点，点Q从B点出发，沿BC作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，经过多少时间，线段PQ恰与线段BD垂直？15（2001年青岛市中考题）已知：如图，正方形DEFG内接于RtABC，EF在斜边BC上，EHAB于H求证：（1）ADGHED；（2）EF2BEFC16（2001年长沙市中考题）如图，ABC中，ABAC，D在BC边上，若DFAB，垂足为F，DGAC，垂足为G，且 DFDG（1）求证：ADBC；（ 2）画出ABC的外接圆，设BE是外接圆直径，求证：AB2ADBE17（2001年甘肃省中考题）如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少？18如图，已知：四边形中，P为AB上一点，且ACPABC，ADP=ABD，求证：AC=AD19已知：如图，RtABC中，ACB是直角，CDAB，M是CD上的点，DHBM，DH交BM于点 H，交 AC的延长线于点 E，求证：（1）AEDCBM；（2）AECMACCD20（2001年厦门市中考题）如图，矩形ABCD，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE5cm，且tgEFC，（1）求证：AFBFEC；（2）求矩形ABCD的周长21如图，在梯形ABCD中，ABCD， AB125， CDDA 80，对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出BC、BD的长【创新思维训练】22如图，已知RtABC与RtDEF不相似，其中C、F为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使ABC所分成的两个三角形与DEF所分成的两个三角形分别对应相似？能的话，请设计出一种分割方案，并给以证明23（2001年重庆市中考题）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC，交AB于F，连结FC（ABAE）（1）AEF与EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设k，是否存在这样的k值，使得AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由参考答案【综合能力训练】一、B、ACB、APAB 2.48,243 3.4 4.6 5.5或 6.135 7.1,1,x2-x-1=0 8.78二、9.B 10.C 11.D 12.C 13.C三、14.分钟 15.(1)（略） （2）证GFCBED 16.(1)证BFDDGC和BADDAC；（2）证ABDABE。 17.50m 40m 18.证ABCACP和证ABDADP 19.（1）略 （2）由