投影基础知识的应用教案ppt课件.ppt

2 1投影法的基础知识 2 2物体的投影与视图 第二章投影基础 2 3物体上点 直线和平面投影 2 4直线与平面 平面与平面的相对位置 1 2 1投影法的基础知识 二 投影法分类 一 投影法 三 正投影的投影特性 点 直线和平面是构成物体的基本几何元素 掌握了这些基本 几何元素的正投影规律 是学好工程制图的基础 本章主要介绍投 影法的基础知识及点 线和面的投影 绘图原理和方法 2 一 投影法 物体在太阳光或灯光的照射下 就会在地面上或墙壁上产生物体的影子 人们对这类现象进行了长期的观察或研究 并加以科学抽象而产生 建立了投影法 投影法是投射线通过物体向预设的面投射 并在该面上得到图形的方法 而得到图形的方法 如图2 1 见下页 所示 射线可以是光线或假想线 如视线 射线称为投影线 预设面称为投影面 物体在投影面上所得到的图形称为投影 3 四面体 2 1投影法 投影面P 投影 投影线 4 投影中心 投影面 投影线 空间点 投影 2 1投影法 中心投影 S B A b a 5 二 投影法分类 1 中心投影法 1 斜投影法 2 正投影法 2 平行投影法 6 1 中心投影法 投影线均从一点出发的投影法称为中心投影法 如图2 2所示 通过投影中心S作出四边形ABCD在投影面P上的投影 从点S引投影线SA SB SC SD使其与平面P相交分别得a b c d 则四边形abcd称为四边形ABCD在P面上的投影 由图2 2可见 随着投影中心S 投影面P与四边形ABCD的相对位置的变化 所得投影abcd的形状 大小也会发生变化 因此中心投影法不能反映原物体的真实形状和大小 但是用中心投影法绘制的图立体感较强 所以适用于绘制建筑物的透视图 图2 2中心投影法 S 7 2 平行投影法 投影线相互平行的投影法称为平行投影法 如图2 3所示 在确定的投影方向下 空间的一个点在某投影面上的平行投影也是唯一确定的 在平行投影法中 因为投影线互相平行 改变原物体对投影面的距离 则所得的投影大小和形状不变 P a b c d A B C D 图2 3平行投影 根据投射方向与投影面的倾角不同平行投影法又分为斜投影法和正投影法 8 1 斜投影法 投影线倾斜于投影面的投影方法称为斜投影法 所得的投影为斜投影 如图2 4所示 图2 4斜投影法 A B C D 9 图2 5正投影法 A B C D 2 正投影法 投影线垂直于投影面的投影方法称为正投影法 所得的投影为正投影 如图2 5所示 在机械制图中主要是按正投影法绘制图形的 正投影法能满足工程技术界对图形与原物体形状保持一一对应的要求 同时图形清晰 准确和容易测量其几何元素之间的相对位置 所以在工程制图中广泛应用 本教案以下所说的 投影 都属于正投影 其投影特性有 10 三 正投影的投影特性 1 积聚性2 实形性3 类似性4 平行性5 定比性6 从属性 11 2 2物体的投影与视图 一 物体在两投影面系的投影 二 物体在三投影面系的投影 三 物体的三视图 12 V H X O 图2 7两投影面系的投影 一 物体在两投影面系的投影 两投影面系由两个互相垂直的投影面组成 如图2 7所示 正立放置的投影面称为正投影面 用字母 V 表示 得到的物体投影称为正投影 水平放置的投影面称为水平投影面 用字母 H 表示 得到的物体投影称为水平投影 两投影面的交线为投影轴OX 13 V H X O 一 物体在两投影面系的投影 图2 7两投影面系的投影 两投影面系由两个互相垂直的投影面组成 如图2 7所示 正立放置的投影面称为正投影面 用字母 V 表示 得到的物体投影称为正投影 水平放置的投影面称为水平投影面 用字母 H 表示 得到的物体投影称为水平投影 两投影面的交线为投影轴OX 14 为了画图和看图方便 需要将空间的两投影画在同一平面上 画在同一平面上的两投影称为两面投影图 如图2 8所示 展开的规则为 V面不动 将H面绕OX轴向下旋转90 图2 8两投影系的展开 V H X O 15 由于投影面的边界大小与投影无关 投影轴对投影图无影响 因此去掉边界 投影轴得到图2 9所示的图形 但要注意 正面投影和水平投影的上下位置关系不能改变 图2 9去除投影面边界和投影轴 16 1 单面正投影图 是用平行投影法中的正投影法设置一个投影面 从物体的一个方向 垂直投影面 进行投射画出的图 二 物体在三投影面系的投影 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小 图2 10单面投影 17 2 两面投影 有些形体用两面 相互垂直 投影也不能准确表达其形状特点 如图2 11所示 图2 11两面投影系 18 3 三面投影 因此在两面投影系的基础上增加了第三个投影面 与前两投影面均垂直 即三投影面系 图2 12三投影面系 19 4 三投影面体系 在原两面投影系的右侧新设一个与正投影面 V面 和水平投影面 H面 都垂直的侧投影面 用字母 W 表示 就组成了一个三投影面系 三面的交线分别为X Y Z轴 原点为O 图2 13三投影面系 V H W V面 正立投影面H面 水平投影面W面 侧立投影面 三个平面相互垂直 为了便于画图和看图 须将三投影面画在同一平面上 也即展开三投影面系 见下页 X Z Y X轴 Y轴 Z轴叫投影轴 O 20 在两面投影系展开的基础上 仍保持V面不动 将W面绕OZ轴向右旋转90 此时Y轴被一分为二 随H面向下的Y轴用YH表示 随W面向右旋转的Y轴用YW表示 同样 由于投影面边界大小与投影无关 投影轴对投影图无影响 因此可去掉边界和投影轴 去掉边界和投影轴 如图2 14所示 后 得到三面投影图 即正面投影 水平投影和侧面投影 由于投影面展开形式的规定 正面投影 水平投影和侧面投影的位置是不能改变的 5 三投影面系的展开 点击观看动画 21 X YH YW Z O V 正投影面 W 侧投影面 H 水平投影面 图2 14三投影面展开 VWH三面合一并除去边界 22 X YH YW Z O 图2 14三投影面展开 VWH三面合一并除去边界 23 三 物体的三视图 1 根据国家标准 机械制图 的规定 物体的图形按正投影绘制并采用第一分角投影法 即将物体置于第一分角中位于观察者和相应的投影面之间 然后进行投影 如右图 图2 15 a 物体的三面投影图 V H W 24 V H W 图2 15 b 展开的三面投影体系 物体在正投影面上的投影称为主视图 水平投影面上的投影称为俯视图 侧投影面上投影称为左视图 如图2 15 b 所示 注意 视图的名称不应写出 2 三视图的展开 25 图2 15 c 物体的三视图 主视图 左视图 俯视图 去除边界和坐标轴 26 根据三视图的形成规律可知 俯视图在主视图的正下方 左视图在主视图的正右方 同时 主视图反映了物体的长度和高度 俯视图反映了物体的长度和宽度 左视图反映了物体的高度和宽度 由此可归纳出三视图的投影规律为 主 俯视图长相等 主 左视图高相等 俯 左视图宽相等 下 左 右 前 后 上 上 下 后 前 左 右 3 三视图的投影规律 三等关系 长对正高平齐宽相等 图2 16 a 三视图的投影规律 27 下 左 右 前 后 上 上 下 后 前 左 右 4 三视图的方位对应关系 长对正 高平齐 宽相等 是主 俯 左三视图之间的投影规律 它对物体的局部或整体都是适用的 相对于人来说 人所看到的主 俯视图的左 右边就反映了物体的左 右方 看到的主 左视图的上 下边就反映了物体的上 下方 在俯 左视图中 远离主视图的一边是物体的前面 反之 是物体的后面 因此 上 下 左 右 前 后这六个方位是画图 看图时应该经常注意到的 主视图反映 上 下 左 右 俯视图反映 前 后 左 右 左视图反映 上 下 前 后 图2 16 b 三视图的方位关系 28 图2 17 物体三视图的画法 5 三视图的画法 29 2 3物体的点 直线和平面的投影 一 点的投影 二 直线的投影 三 平面的投影 30 一 点的投影 1 点的投影 已知点的一个投影是不能确定其空间位置的 如图2 18所示 因此要确定点的空间位置 必须增加其他投影面 图2 18 点是构成立体最基本的几何元素 因此 学习点的投影是学习直线 平面以立体投影的基础 点的投影特性 点的投影仍然是点 而且一个投影面上的投影是唯一的 如右图 点A在P面上的投影为唯一点a 31 A a a a X a a a O ax ay az Z ay YH YW H W a b 图2 19点的三面投影的形成 播放动画 2 点在三投影面系中的投影 如下图所示 空间点A处于由V面 H面和W面所组成的三投影面体系中 点A在V面上投影为a 在H面上的投影为a 在W面上的投影为a YHa Ywa 32 3 点的三面投影规律及点的直角坐标 1 点的投影连线垂直于投影轴 即Aa OX a Aa OZ 2 点的投影到投影轴的距离 等于点的坐标 也就是该点与对应的相邻投影面的距离 即 图2 20点的三面投影规律 Aa a az aay x坐标 Aa a az aax y坐标 Aa a ax a ay z坐标 33 4 点的投影图画法 例2 1 已知空间点A 11 8 15 求作它的三面投影图 作图 图2 21已知点的坐标求其投影图 作图演示 34 例2 2 已知点A的两面投影a a 求第三投影a a a ax az az 解法一 通过作45 线使a az aax 解法二 用分规直接量取a az aax 图2 22已知点的两投影求第三投影 35 5 两点的相对位置 空间两点上下 左右 前后的相对位置可根据它们在投影图中的各组同面投影来判断 也可以通过比较两点的坐标来判断它们的相对位置 即x坐标大的点在左方 y坐标大的点在前方 z坐标大的点在上方 如图2 23所示的空间点A B 由V面投影可判断出A在B的左方 上方 由H面投影可判断出A在B的左方 前方 由W面投影可判断出A在B的前方 上方 因此 由三面投影或两投影就可以判断点A在点B的左 前 上方 图2 23两点的相对位置 36 O 图2 24利用相对坐标作图 例2 3已知点A的投影 且知点B在A的左方10 下方15及前方12 试作出点B的投影 37 6 重影点及其可见性 如果空间两点有两个坐标相等 一个坐标不相等 则两点在一个投影面上的投影就重合为一点 此两点称为对该投影面的重影点 如右图 点B在点A的正下方 则两点A B是对H面的重影点 重影点要判别可见性 其方法是 比较两点不相同的那个坐标 其中坐标大的可见 例如两点A B的x和Y坐标相同 Z坐标不等 因ZA ZB 因此 a可见 b不可见 加括号即表示不可见 c d c d c d 图2 25重影点及可见性 38 二 直线的投影 1 直线投影的概念 2 直线的投影特性 3 直线的分类及其投影特性 4 直线上的点 5 两直线的相对位置 39 O 图2 26直线投影的确定 1 直线投影的概念两点确定一条直线 连接直线上两端点的各组同面投影 就得到直线的投影 如图3 10所示 分别连接直线AB上两端点的同面投影ab a b a b 即得直线AB的投影 直线的投影一般仍是直线 b a b a a b 40 2 直线的投影特性 1 直线对一个投影面的投影特性 直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性 直线平行于投影面投影反映线段实长ab AB 直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab ABcos 41 42 图2 27直线投影实例 3 直线投影实例 43 3 直线的分类及其投影特性 一般位置直线直线投影面的平行线投影面的垂直线正平线正垂线投影面的平行线水平线投影面的垂直线铅垂线侧平线侧垂线 特殊位置直线 1 直线的分类 根据直线与三个投影面相对位置的不同 可以将直线划分为三类 44 O 2 一般位置直线 与三个投影面都倾斜 如图所示 直线AB为一般位置直线 它与三个投影面的倾角分别为 其投影特性可归纳为三点 1 一般位置直线的正面 水平面和侧面的投影对三个投影轴既不平行也不垂直 2 一般位置直线的任何一个投影均小于该直线的实长 3 任何一个投影与投影轴的夹角 均不反映空间直线与任何投影面间的倾角 图2 28一般位置直线 45 3 投影面平行线是指直线平行于某一个投影面 而与另外两个投影面倾斜 正平线投影面的平行线水平线侧平线 如下图 正平线是一条平行于正投影面的直线 它与水平投影面和侧投影面倾斜 依此类推可知水平线和侧平线 动画演示 图2 29正平线 46 小结 1 直线在所平行的投影面上的投影表达实长 2 其他投影平行于相应的投影轴 3 表达实长的投影与投影轴所夹的角度等于空间直线对投影面的倾角 4 投影面平行线的投影特性 47 5 投影面垂直线是指直线垂直于某一个投影面 而与另外两个投影面平行 正垂线投影面的垂直线铅垂线侧垂线 如下图 铅垂线是一条垂直于水平投影面的直线 依此可推铅垂线和侧垂线 动画演示 图2 30铅垂线 48 小结 1 直线在所垂直的投影面上的投影成一点 有积聚性 2 其他投影表达实长 且垂直于相应的投影轴 6 投影面垂直线的投影特性 49 4 直线上的点 直线上的点的投影特性 1 点在直线上 则点的各个投影必须在该直线的同面投影上 2 直线段上的点分割直线成比例 投影后 仍保持比例不变 即符合定比分段特性 如图2 31 直线上的点具有从属性和定比性是点在直线上的充分必要条件 点与直线的相对位置有两种情况 点在直线上或点不在直线上 50 图2 32求直线上的定比分点 作图过程 例2 4已知直线AB的投影图 试将AB直线分成2 3两段 求分点C的投影 51 例2 4判断点K是否在直线AB上 a b 因k 不在a b 上 故点K不在AB上 a b k a b k 图2 33判断点是否在直线上 52 5 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置关系有以下三种情况情况平行 相交 交叉 异面 前两种为同面直线 后一种为异面直线 1 两直线平行平行两直线的同面投影均相互平行 2 两直线相交相交两直线的同面投影均相交 且其投影的交点必满足点的投影规律 3 两直线交叉交叉两直线既不满足平行两直线的投影规律 也不满足相交两直线的规律 如图 53 平行 相交 交叉 54 1 两直线平行 投影特性 空间两直线平行 则其各同面名投影必相互平行 反之亦然 O 图2 34两平行直线 55 b d c a c b a d d b a c 对于特殊位置直线 只有两个同面投影互相平行 空间直线不一定平行 求出侧面投影后可知 AB与CD不平行 例2 5 判断图中两条直线是否平行 求出侧面投影 图2 35不平行直线 56 O 2 两直线相交 若空间两直线相交 则其同面投影必相交 且交点的投影必符合空间一点的投影规律 交点是两直线的共有点 图2 36两相交直线 57 2 两直线交叉 O 1 2 同名投影可能相交 但 交点 不符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上的一对重影点的投影 用其可帮助判断两直线的空间位置 图2 37两交叉直线 1 1 1 2 2 2 A B C D c a d b a c d a b b c d a b c d Z X YH YW 58 例题2 6判断两直线重影点的可见性 点 是H面的重影点 点 是V面的重影点 图2 38 59 三 平面的投影 1 平面的表示法 2 各种位置平面的投影 3 平面上的直线和点 60 1 平面表示法 在立体几何中 确定平面的方式有五种 不在一直线上的三点 直线及线外一点 相交两直线 平行两直线 任意的平面图形 在投影理论中 只需将上述诸方式简单地转换成投影方式 即可实现平面的投影表示 如下页图示 61 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 1 用几何元素表示平面 图2 39用几何元素表示平面 62 2 用平面的迹线表示平面 PV PW PH PX PYH PYW PZ O X Z Y PH 平面与投影面相交时的交线 叫平面的迹线 如下图所示 平面P与V H W投影面的交线 分别叫正面迹线PV 水平迹线PH 侧面迹线PW 由于迹线是属于投影面的直线 因此迹线在该投影面上的投影与迹线本身重合 该迹线的另两个投影落在相应的投影轴上 图2 40用几何元素表示平面 平面P与三投影轴OX OY OZ的交点 用PX PY PZ表示 63 投影面的垂直面平面投影面的平行面一般位置平面正垂面正平面投影面的垂直面铅垂面投影面的平行面水平面侧垂面侧垂面 特殊位置平面 2 各种位置平面的投影 根据平面相对投影面的位置不同 可以分为三类 投影面垂直面 投影面平行面 一般位置平面 前两类又称为特殊位置平面 后一类称为倾斜平面 平面与水平投影面的倾角 与正投影面的倾角和侧投影面的倾角分别用表示 64 1 投影面垂直面 投影面垂直面可分为三种 垂直于V面的平面叫正垂面 垂直于H面的平面叫铅垂面 垂直于W面的平面叫侧垂面 图3 25是铅垂面 ABC的投影 由于 ABC垂直于H面 倾斜于V W面 因此其水平投影积聚成一条直线 面投影和 面投影都是类似的三角形 面投影与OX轴 OY轴的夹角分别反映 ABC与V面 W面的倾角 垂直于一个投影面 与另两个投影面倾斜的平面 图2 41铅垂面的投影特性 65 投影面垂直面的投影特性 投 影 图 及 及 及 具有积聚性 且为一斜线 具有积聚性 且为一斜线 具有积聚性 且为一斜线 为缩小 的类似形 为缩小 的类似形 的类似形 为缩小 名称 实 例 铅 垂 正 垂 侧 垂 面 面 面 特 性 投影面垂直面的投影特性 一 平面在与其所垂直的投影面上的投影面积聚成倾斜与投影轴的直线 并反映该平面对其他两个投影面的倾角二 平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形 66 2 投影面平行面 平行于一个投影面 与另两个投影面垂直的平面 投影面平行面可分为三种 平行于V面的平面叫正平面 平行于H面的平面叫水平面 平行于W面的平面叫侧平面 图2 42为正平面的投影 平面P平行于V面 垂直于H面和W面 因此其V面投影反映实形 H面投影和W面投影积聚成直线 且H面投影平行于OX轴 W面投影平行于OZ轴 图2 42正平面的投影特性 67 投影面平行面的投影特性 投 名称 P 特 性 OY 影 图 实 OX 例 水 平 正 平 侧 平 面 面 面 具有积聚性 且 具有积聚性 且 OY 具有积聚性 且 OZ 具有积聚性 且 OZ 具有积聚性 且 具有积聚性 且 OX 具有保真性 具有保真性 具有保真性 投影面平行面的投影特性 一 平面在与其平行的投影面上的投影反映平面图形的实形 二 平面在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投影轴的直线 68 3 一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面 一般位置平面的投影如图2 43所示 由于 ABC对H V W面都倾斜 因此它的三个投影都是三角形 为原平面图形的类似形 面积均比实形小 图2 43一般位置平面的投影特性 投影图演示 69 3 平面上的直线和点 1 平面上的直线 直线在平面上的条件是 直线必通过平面上的两个点 如图2 44 a 通过平面上的一点 且平行于平面上的任一直线 如图2 44 b 图2 44平面上取直线 a b 70 2 平面上的点 一直线在平面上 则此直线上的任何点都在该平面上 由此可知 点在平面上的条件是 点在平面内的一条直线上 过平面上的一点可以作无数条直线 可根据需要选择其中的一条 例2 7如右图 两相交直线AB BC组成平面 K点属于该平面 已知k 求k 分析 因为K属于AB BC组成的平面 所以k与A B C三点中任意一点的连线都属于该平面 图2 45平面上取点 b 结果图 X O a b a b c c d d k k 71 应该注意 特殊位置平面上的点和直线 因为平面在所垂直的投影面上的投影为一直线 有积聚性 所以平面上的点和直线 在该投影面上的投影也位于有积聚性的同面投影上 见下图 a b c a b c m m X O 图2 46铅垂面上取点 72 例2 8在平面ABC内作一条水平线 使其到H面的距离为10mm n m n m 唯一解 图2 47平面上取直线 73 3 平面上的投影面平行线 在一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线 平面上投影面的平行线既符合平面上直线的投影关系 又符合投影面平行线的投影特性 例2 9如图2 48所示 在 ABC平面上任取一点K 使点K在A点之下15mm 在A点之前20mm处 X O n m k k n m e e f f 图2 48平面上取点 a c b a c b 74 2 4直线与平面 平面与平面的相对位置 直线与平面 平面与平面的相对位置可分为平行 相交及垂直三种情况 在此仅研究直线与平面 平面与平面的平行及相交问题 一 平行问题 二 相交问题 75 一 平行问题 1 直线与平面平行 由几何学可知 直线与平面平行的几何条件是 直线平行于平面内的任一直线 由图2 49可以得出直线与投影面垂直面平行时 直线的投影平行于平面有积聚性的同面投影 或者直线和平面的同面投影都有积聚性 图2 49直线与平面平行 动画演示 76 例2 10过点M作一水平线平行于平面 AB CD 如图2 50所示 X O a b a b c c d d m m n n e e 图2 50过点作水平线与平面平行 77 例2 10已知直线AB的投影 过E点作一铅垂面与直线AB平行 如图2 51所示 图2 51过点作水平线与平面平行 a b a b e e X O f f PH 解 过点E作直线EF AB e f a b ef ab 则过直线EF的任一平面都平行于直线AB 本题要求作一铅垂面 根据铅垂面的投影特性 其水平投影有积聚性 故所作铅垂面P的水平迹线PH应与ef重合 PV 78 2 平面与平面平行 平面与平面平行的几何条件是 一平面上两条相交直线对应平行于另一平面上两条相交直线 图2 52两平面平行的条件及投影图 d g e f 如右图 若AB FG AC DE 则平面P平行于平面Q O a 条件 b 投影图 79 例2 11判断两三角形所代表的平面是否平行 如图2 53所示 a b c d e f a b c d e f X O k m m k l l n n 图2 53判断两平面平行 80 由下图可知 两个投影面垂直面相互平行时 它们积聚性的同面投影平行 动画演示 图2 54判断两平面平行 81 二 相交问题 1 直线与平面相交 直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点 所以 直线与平面相交的问题即为求共有点的问题 且是直线可见与不可见的分界点 1 一般位置直线与特殊位置平面相交 如图2 54a所示 一般位置直线DE与铅垂面 ABC相交 交点K的H面投影k在 ABC的H面投影abc上 又必在直线DE的H面投影de上 因此 交点K的H面投影k就是abc与de的交点 由k作d e 上的k 如图2 54b所示 交点K也是直线DE在 ABC范围内可见与不可见的分界点 由图2 54c可以看出 直线DE在交点右上方的一段KE位于 ABC平面之前 因此e k 为可见 k d 被平面遮住的一段为不可见 也可利用两交叉直线的重影点来判断 e d 与a c 有一重影点1 和2 根据H面投影可知 DE上的点 在前 A 上的 点在后 因此1 k 可见 另一部分被平面遮挡 不可见 应画虚线 82 图2 54一般位置直线与投影面垂直面相交 83 2 投影面垂直线与一般位置平面相交 由于投影面垂直线在所垂直的那个投影面上的投影积聚为一点 投影面垂直线与一般位置平面相交 交点的一个投影重合在直线有积聚性的投影上 而另一个投影是平面上过交点所作任意辅助线与直线两者的同面投影的交点 例2 12求铅垂线DE与平面 ABC的交点K 如图2 55 a b 所示 A B C D E b a c d e K X O a b c a b c d e 此即为K点的水平投影k k f f