线段、角、等腰三角形与等腰梯形的对称性.doc

线段、角、等腰三角形与等腰梯形的对称性线段、角、等腰三角形与等腰梯形是生活中常见的基本图形，本节主要研究以上图形的一些基本性质和对称性。一、重点、难点和关键：重点：等腰三角形与等腰梯形的性质及对称性。难点：应用等腰三角形的性质解决有关计算和进行推理。关键：善于观察和归纳图形的特点，不断积累数学教学活动的经验。二、知识要点：1线段线段是轴对称图形，它有两条对称轴，是它的垂直平分线和它本身所在的直线。线段垂直平分线性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等。因果关系：MN垂直平分AB点P在MN上PA=PB 线段垂直平分线定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因果关系：PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上。 例1 如图，在ABC中，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线MN交AC于点P，求BCP的周长。 解：MN垂直且平分AB，PA=PBBC+PC+PB=BC+PC+PA=BC+AC=3+4=7即BCP的周长为7。例2 如图，A、B、C三个村庄合资兴建一所学校，经协议这所学校的校址应设置在离三个村庄的距离都相等处，请你帮助设计一下。 设计方案：1作线段AB的垂直平分线DE；2作线段BC的垂直平分线FG交DE于点P。即：点P就是所求的校址。其理由是：连PA，PB，PC点P在AB的垂直平分线上，PA=PB同理：PB=PCPA=PB=PC。用尺规作线段的垂直平分线。作已知线段的垂直平分线是一个最基本的作图之一，要求能够运用几何语言描述其作图步骤。例3 如图公路l的同侧有两家工厂A、B，现要在公路l上设一个汽车站，使车站与两工厂A、B的距离相等，请你帮助设计一下。 设计方案：1连结AB；2作线段AB的垂直平分线交l于点P。即：点P就是所设的汽车站。其理由是：点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB（线段垂直平分线上的点，到线段的两端点距离相等）于是点P符合设计要求。 2角角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。注：对称轴不能说成是角平分线，因为角平分线是一条射线。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。因果关系：AOP=BOP，PCOA，PDOD。PC=PD。 角平分线定理的逆定理：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。因果关系：PCOA，PDOB，PC=PDAOP=BOP或OP平分AOB。 例4 如图l1，l2，l3是三条公路，现要建设一座加油站，要求加油站离三条公路的距离都相等，请你帮助设计一下，共有几种设计方案。 设计方案：设三条公路的交点为A，B，C1作BAC的角平分线AE；2作ABC的角平分线BF交AE于点P。即：点P就是所设计的加油站，同样点P1，P2，P3也符合条件（P2，P3与P1作法相同） 3等腰三角形等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。注：1）对称轴的另几种描述：底边上的中线所在的直线是它的对称轴；底边上的高所在的直线是它的对称轴；底边的垂直平分线。2）等边三角形也是等腰三角形，而等边三角形有三条对称轴，因此等腰三角形有1条或3条对称轴。等腰三角形的性质：1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高，底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）因果关系（如图） AB=AC，1=2ADBC，BD=CD或AB=AC，ADBC1=2，BD=CD或AB=AC，BD=CD1=2，ADBC等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）例5 如图，在ABC中，AB=AC=10，B，C的平分线交于点D，过点D平行于BC的直线分别交AB，AC于点E，F。（1）图中有多少个等腰三角形（2）求AEF的周长 解：（1）图中有五个等腰三角形，分别是ABC，AEF，BED，CFD，BCD。（2）由（1）可知BE=DE，CF=DF。AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF =AE+EB+CF+AF =AB+AC =10+10 =20即：AEF的周长为20。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。例6 如图，在ABC中，BD，CE分别为高，P为BC的中点。试判断PED的形状，为什么？ 解：PED为等腰三角形，理由是：BEC=90，BP=CPPE= BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）同理：PD= BCPE=PDPED是等腰三角形等边三角形每个角都等于60注：1）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形；2）有两个角是60的三角形是等边三角形。4等腰梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴或一底的垂直平分线是它的对称轴。等腰梯形的性质：1）等腰梯形同一底上的两个角相等。2）等腰梯形两对角线相等。等腰梯形的判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。例7 如图，梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，ACB=40，ACD=30，BC=10cm，求： （1）ABC，ADC，BAC的度数；（2）AC，BD的长。 解：（1）AD/BC，AB=DCABC=DCB=ACB+ACD=40+30=70AD/BCADC+DCB=180ADC=180-70=110ACB=40，ABC=70BAC=180-ABC-ACB=180-70-40=70（2）由（1）得ABC=70，BAC=70ABC=BACAC=BCBC=10cm AC=10cmAD/BC，AB=DCBD=AC（等腰梯形两对角线相等）BD=10cm三、练习1等腰三角形所有的高、中线、角平分线共有_条；对称轴有_条。2如图，梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，D=110，DAC=40，AC=6。求：（1）BAC的度数。（2）BC的长 3如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且BD=DA，AC=CD，求B的度数。 4ABC中，BAC=110，DM垂直平分AB，EN垂直平分AC，求DAE的度数。 5如图，已知ABC的角平分线BD，CD相交于点D，DE/AB交BC于E，DF/AC交BC于F，AB=5，BC=6，AC=4，求DEF的周长。 参考答案：13或7；1或32（1）BAC=70；（2）BC=63解：AB=AC，DB=DAB=C，B=BADCA=CDCDA=CADCDA=B+BADCAD=C