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多属性决策分析 第二讲 多属性决策的准备工作 多属性决策方法 AHP方法 多属性多指标综合评价特点 指标间的不可公度性指标之间没有统一量纲 难以用同一标准进行评价指标之间可能存在一定的矛盾性某一方案提高了这个指标 去可能损害另一指标 第一节多属性决策的准备工作 多属性决策的准备工作包括 决策问题的描述 相关信息的采集 即形成决策矩阵 决策数据的预处理和方案的初选 或称为筛选 一 决策矩阵经过对决策问题的描述 包括设立多属性指标体系 各指标的数据采集 形成可以规范化分析的多属性决策矩阵 设有n个决策指标fi 1 j n m个备选方案ai1 i m m个方案n个指标构成的矩阵X xij m n称为决策矩阵 决策矩阵是规范性分析的基础 决策指标分两类 效益型 正向 指标 数值越大越优 成本型指标 逆向指标 数值越小越优 为了直观 也可以辅助于决策表 二 决策指标的标准化 指标体系中各指标均有不同的量纲 有定量和定性 指标之间无法进行比较 将不同量纲的指标 通过适当的变化 化为无量纲的标准化指标 称为决策指标的标准化 又叫数据预处理 有三个作用 1 变为正向指标2 非量纲化 消除量纲影响 仅用数值表示优劣3 归一化 把数值均转变为 0 1 区间上 消除指标值标度差别过大的影响 下面介绍几个常用的预处理方法 在决策中可以根据情况选择一种或几种对指标值进行处理 指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性 1 向量归一化 2 线性比例变化法 3 极差变换法 4 标准样本变换法 5 定性指标的量化处理 如一些可靠性 满意度等指标往往具有模糊性 可以将指标依问题性质划分为若干级别 赋以适当的分值 一般可以分为5级 7级 9级等 P41表2 1 三 决策指标权的确定 多属性决策问题的特点 也是求解的难点在于目标间的矛盾性和各目标的属性的不可公度 不可公度性通过决策矩阵的标准化处理得到部分解决 解决目标间的矛盾性靠的是引入权 weight 这一概念 权 又叫权重 是目标重要性的度量 权的概念包含并反映下列几重因素 决策人对目标的重视程度 各目标属性的差异程度 各目标属性的可靠程度确定权重是非常困难的 因为主观的因素 权重很难准确 确定权的方法有两大类 主观赋权法 根据主观经验和判断 用某种方法测定属性指标的权重 客观赋权法 根据决策矩阵提供的评价指标的客观信息 用某种方法测定属性指标的权重 两类方法各有利弊 实际应用时可以结合使用 下面介绍几种常用的确定权的方法 1 相对比较法 相对比较法是一种主观赋权法 将所有指标分别按行和列 构成一个正方形的表 根据三级比例标度 指标两两比较进行评分 并记入表中相应位置 再将评分按行求和 最后进行归一化处理 得到各指标的权重 例2 2P43 使用本方法时要注意 1 指标之间要有可比性 2 应满足比较的传递性 一致性 2 连环比较法 古林法 连环比较法也是一种主观赋权法 以任意顺序排列指标 按顺序从前到后 相邻两指标比较其相对重要性 依次赋以比率值 并赋以最后一个指标的得分值为1 从后往前 按比率依次求出各指标的修正评分值 最后进行归一化处理 得到各指标的权重 例2 3P44 本方法容易满足传递性 但也容易产生误差的传递 3 信息熵法 信息熵法是一个客观的赋权法 根据决策矩阵所具有的信息量来赋权 如果某一个属性 准则 的值对所有的方案都差不多 那么这个属性对于决策来讲作用就不大 即便是这个属性很重要 如何测定这种效应呢 在信息学中 熵是不确定性的一个指标 用概率分布来表示 它认为一个广泛的分布比具有明显峰值的分布表示更不确定 Shannon给出的表达方法如下 其中k是正的常数 当所有的Pi都相等时 即Pi 1 n 熵值最大 指标值的差异越小 对方案的评价作用越低 权重应该减小 分别计算每个属性的熵 差异系数和标准化权重 可见 X5的权重最大 X3的权重最小 四 专家咨询法 或Delphi法 见P45 4 最小加权法 又称最小二乘法 是Chu等人提出的 它涉及线性代数方程组解集 而且从概念上比Saaty的特征向量法更容易理解 注意 本方法同样要求判断矩阵的一致性 多属性决策的准备工作 多属性决策方法 AHP方法 第二节多属性决策方法 1 标准水平法 由于多属性决策时 属性间具有不可替代性 决策人对部分或全部属性可能设定标准水平要求 有两种方式 1 联合法决策者设立了必须接受的最小属性值 标准等级 任何不满足最小属性值的方案都被否定 这种方法叫联合法 关键点在于标准等级 也叫阈值 的设定 要适当 如 考研单科设限 招收新员工 评定职称 2 分离法分离法评价方案是建立在最大的一个属性值上 达到标准的方案就接受 如 高考特招生 选拔足球运动员 在防守 速度特长 特点 属性间不可补偿在实践中被大量应用可以保证任何在某方面特别差的个体或方案不被选入只需分出接受或不接受 特点 在实践中被大量应用可以保证所有个体或方案在某方面有特长 2 字典法 本方法类似查字典 对于一些决策情形下 单个的属性在决策中的作用很显著 甚至在最重要的属性上就可以进行决策 在最重要属性上 如果某个方案对于其他方案有较高的属性值 该方案就被选择 决策结束 如果在最重要的属性上不能区分优劣 就以第二重要的属性来进行比较 这个过程可以进行进行 直到一个方案被选中或所有的属性都被考虑过 如 高校招生 按高考成绩排序 同样成绩者 优秀三好生优先 特点 本方法需要对属性的重要性排序有可能漏掉更好的方案 如对高考的批评 可能的改进是不会因为属性值略高一点就被认为更好 3 简单线性加权法P46 是一种最常用的多属性决策方法 方法是先确定各决策指标的权重 再对决策矩阵进行标准化处理 求出各方案的线性加权均值 以次作为各方案排序的判据 注意 标准化时 要把所有指标属性正向化 步骤 1 用适当的方法确定各属性的权重 设权重向量为 3 求出各方案线性加权指标值 4 选择线性加权指标值最大者为最满意方案 例2 4P46 注意 1 简单线性加权法潜在的假设是各属性在偏好上独立 即单个属性值对于整体评价的影响与其他属性值相互独立 如篮球运动员身高和体重不是相互独立的 2 权重设定的不可靠 如一个权重是0 1 另一个是0 4 多达4倍的关系 是否真正合理 3 假设多个属性的效用可以分解成单个属性的效用 如篮球运动员身高和体重需要相匹配 4 但是理论推导 仿真计算和经验判断都表明 简单加权法与复杂的非线性形式产生的结果很相似 而前者有简单多的理解和使用特点 因此得到普遍的应用 4 理想解法 TOPSIS法 由Yoon和Hwang开发 又称逼近理想解排序法 TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution 这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解 以方案靠近理想解和远离负理想解两个基准作为方案排序的准则 来选择最满意方案 理想解 就是设想各指标属性都达到最满意值的解 负理想解 就是设想各指标属性都达到最不满意值的解 理想解和负理想解一般都是虚拟的方案 可以将m各方案n个属性的多属性决策问题视作在n维空间中的m个点构成的几何系统中进行处理 此时所有的方案都看成该系统的解 为了直观起见 用两个属性的决策空间 图中A 为理想解 A 为负理想解 各方案接近理想解和远离负理想解的测度 贴近度 贴近度涉及到理想解的距离和到负理想解的距离 TOPSIS决策的步骤 例2 5P49 改进的理想解法 P51 改进的理想解法增加了客观赋权的步骤 原理是先确定权重 使所有方案点到理想解点的距离之和最小 然后再按普通理想解法进行方案排序 思考 这种方式确定的权重会有什么特点 和信息熵客观赋权法有什么区别 其经济 物理 意义 越靠近理想点的方案权重应该会越大 TOPSIS法用的是欧几里德距离 还有一种距离叫做街区距离 如图 设系统具有n项评价指标f1 x f2 x fn x 其中k1项越大越好 k2项越小越好 其余 n k1 k2 项要求适中 现在分别为这些指标赋以一定的功效系数di 0 di 1 其中di 0表示最不满意 di 1表示最满意 一般地 di i x 对于不同的要求 函数 i x 有着不同的形式 当fi越大越好时选用 a 越小越好时选用 b 适中时选用 c 把fi x 转化为di后 用一个总的功效系数 4功效系数法 案例分析 设某系统有3个因素 土地占用量R1 大于600亩为不可接受 介于500亩为最好 耗电R2 大于1500千瓦为不可接受 介于1000千瓦为最好 用水量R3 大于100吨 小时为不可接受 介于60吨 小时为最好 现有两个方案 已知 方案1 R1 540亩 R2 1300千瓦 R3 90吨 小时 方案2 R1 570亩 R2 1200千瓦 R3 80吨 小时 试评价哪个方案最优 今求解于上图 故得 可见方案2综合评估为较好 多属性决策的准备工作 多属性决策方法 AHP方法 3 特征向量法 应用前两种方法时 如果目标属性比较多 一旦主观赋值一致性不好时也无法进行评估 为了能够对一致性可以进行评价 Saaty引入了一种使用正数的成对比较矩阵的特征向量原理测量权的方法 叫做特征向量法 这种方法在层次分析法 AHP 采用 也可以用在其他多属性决策 下面我们讲解一下原理 3 1权重的求解思路 假设各属性真实的权重是 因此权重向量的求解方法 用幂法原理求矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量 算术平均法 对于一个一致的判断矩阵 它每一列归一化后 就是相应的权重向量 当判断矩阵不太一致时 每一列归一化后就是近似的权重向量 可以按行相加后再归一化 相当算术平均值 1 将判断矩阵按列归一化 即使列和为1 2 按行求和得一向量 3 再向量归一化 所得即为A的特征向量的近似值