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太学教育 数学专用资料 锲而不舍，方能水滴石穿！二次根式培优专题之一难点指导及典型例题 【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有a0；当a0时，必有0；2、当a0时，表示a的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示a2的算术平方根，因此有，a可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的a只能是一个非负数，否则无意义5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若m0，则将负号留在根号外即： (m0)（2） 因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论即： 6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小【典型例题】1、概念与性质2、二次根式的化简与计算例1. 化简的结果是（ ）A B C- D-分析：本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B形式最简单,所以选B;还有的同学觉得应有一个负号和原式对应,所以选A或D;这些都是错误的.本题对概念的要求是较高的,题中隐含着这个条件,因此原式的结果应该是负值,并且被开方数必须为非负值.解：C. 理由如下:二次根式有意义的条件是,即，原式=.故选C.例2. 把（ab）化成最简二次根式解：例3、先化简，再求值： ，其中a=，b=3、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。（1）；（2）4、比较数值（1）、根式变形法当时，如果，则；如果，则。例1、比较与的大小。（2）、平方法当时，如果，则；如果，则。例2、比较与的大小。（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。例3、比较与的大小。（4）、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。例4、比较与的大小。（5）、倒数法例5、比较与的大小。（6）、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。例6、比较与的大小。 6，6，（7）、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；例7、比较与的大小。（8）、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：； 例8、比较与的大小。 5、规律性问题例1. 观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.例2. 已知，则a_发展：已知，则a_。 例3、化简
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