函数的单调性·典型例题精析.doc

231 函数的单调性例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y|x22x3|解 (1)令f(x)x22x3(x1)24先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y|x22x3|的图像，如图231所示由图像易得：递增区间是3，1，1，)递减区间是(，3，1，1(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间解 当x10且x11时，得x1且x2，则函数yx当x10且x11时，得x1且x0时，则函数yx2增区间是(，0)和(0，1)减区间是1，2)和(2，)(3)解：由x22x30，得3x1令ug(x)x22x3(x1)24在x3，1上是在x1，1上是函数y的增区间是3，1，减区间是1，1【例2】函数f(x)ax2(3a1)xa2在1，上是增函数，求实数a的取值范围解 当a0时，f(x)x在区间1，)上是增函数若a0时，无解a的取值范围是0a1【例3】已知二次函数yf(x)(xR)的图像是一条开口向下且对称轴为x3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)解 (1)yf(x)的图像开口向下，且对称轴是x3，x3时，f(x)为减函数，又643，f(6)f(4)时为减函数解 任取两个值x1、x2(1，1)，且x1x2当a0时，f(x)在(1，1)上是减函数当a0时，f(x)在(1，1)上是增函数【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)x31在(，)上是减函数证 取任意两个值x1，x2(，)且x1x2又x1x20，f(x2)f(x1)故f(x)在(，)上是减函数得f(x)在(，)上是减函数解 定义域为(，0)(0，)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1x2当0x1x21或1x1x20时，有x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)f(x)在(0，1，1，0)上为减函数当1x1x2或x1x21时，有x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，1，1，)上为增函数根据上面讨论的单调区间的结果，又x0时，f(x)minf(1)2，当x0时，f(x)maxf(1)2由上述的单调区间及最值可大致说明 1要掌握利用单调性比较两个数的大小2注意对参数的讨论(如例4)3在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等(如例5)4例6是分层讨论，要逐步培养例题：已知函数f(x)对任意x,yR均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x0时，f(x)0，求：当-3x3时，求f(x)的最大值与最小值。解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0，取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数，在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1x2，即x1-x20则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)x1 f(x1)-f(x2)=x1-2/x1-x2+2/x2 =(x1-x2)-2/x1+2/x2 =(x1-x2)-2x2+2x1/x1x2 =(x1x2+2)(x1-x2)/x1x2 x2x1 x1x2+20 x1-x20 x1x20 f(x1)f(x2) f(x)在(0,正无穷)上为增函数奇偶性分为奇函数和偶函数奇函数只需证明f(-x)=-f(x)偶函数只需证明f(-x)=f(x