关于构造法在数学解题中的应用及理论研究【毕业设计】【整理版】.doc

本科毕业设计（20 届）关于构造法在数学解题中的应用及理论研究摘要【摘要】构造法在数学实践中有着广泛的作用，许多人都对其进行的深入研究，而系统探究的人很少，本文就是对构造法的进行探究，本文一共分为五部分，第一部分是介绍构造法的起源，现在研究的状态，说明研究目的和研究方法，第二部分是探究构造思想，构造法解题的理论依据，以及构造法与数学美之间的关系等，第三部分是举例分析构造法在数学实践中的应该，第四部分是探究如何培养构造思想，第五部分是谈如何学习使用构造法。【关键词】构造思想；构造法；构造。Abstract【ABSTRACT】Method of construction in mathematical practice has extensive role, many people are on the research and system, this paper explores rarely construction method is to the inquiry, this paper are divided into five parts, the first part is introduced the origin of construction method, now that the state study research purposes and research methods, the 2nd part is exploring the idea of construction, construction method, and the theoretical basis for solving construction method and the relationship between the beauty in mathematics, for example, the third part is analyzed in the practice of the construction method in mathematics, the fourth part is should, exploring how to cultivate the idea of construction, the fifth part is about how to learn to use the method of construction.。【KEYWORDS】Structural thought；Method of construction；tectonic。目录摘要IIAbstractII目录III1 绪论11.1 研究背景11.2 数学构造法的产生和发展11.2.1 构造性数学的产生11.2.2 近代构造性数学的开端11.2.3 近代构造性数学的发展21.2.4 现代构造性数学的发展21.3 研究的目的和意义22 构造性的思维方法32.1 构造思想和构造法32.2 构造的理论依据32.3 构造的意义32.4 构造法的特征32.5 构造法与数学美之间的辩证关系42.5.1 构造法与数学美的历史渊源42.5.2 恰如其分的构造来衬托数学美43 构造法在数学实践中的应用53.1 代数构造法53.1.1 函数构造法53.1.2 方程构造法73.1.3 数列构造法73.2 几何构造法83.3 向量构造法94 构造思想的培养114.1 建立数学知识的框架114.2 数学感性的领悟115 总结和建议125.1 如何去学习使用构造法125.2 构造法的误区12参考文献（宋体，加粗，小二号字，居中）12致谢（宋体，加粗，小二号字，居中）错误!未定义书签。附录（宋体，加粗，小二号字，居左）错误!未定义书签。131 绪论1.1 研究背景在数学的实践中常常有些题目我们用常规的方法解决可以解但是过程非常繁琐，有时用常规方法甚至是解不出来的。这些题目用构造法解决变的相对轻松易懂，而构造法充满了各种技巧，这种技巧是高度的思维策略性，数学的直觉性的结合，也是一种创造力的体现。易中军和周文君在构造法在数学问题中的运用和优势中写到：“我们应该把数学作为一个整体来学习，比如不等式我们可以用函数的方法来解决，还可以构造一个图形来解，几何问题我们可以用纯代数来解。”所以在整个构造过程中也是对原有数学原有知识的熟练应用和深刻理解分析，对于构造法的训练也是对数学知识的再次巩固和学习。我所探究的是将用不同的数学构造方法来解不等式这个方面的问题进行总结，面对不同的题目有不同的构造方法，分析各种构造的方法使构造更加方便简洁，并且分析题目的来提高学生的创造能力。1.2 数学构造法的产生和发展数学构造法是构造性数学引申出的一种解题方法，对于构造性数学的研究，中国的古代数学一直处于世界的领先地位，其中以九章算术最为著名，它开创了构造性的算法模式，但是没有过推理和总结，没有像几何原本一样形成公理式的数学体系，再由中国古代的社会的限制，使它没有被发扬光大，而现在所讲的构造性数学主要源于西方的数学研究开始的。1.2.1 构造性数学的产生构造性数学应起源于构造性的哲学思想，而构造性思想可以追溯到康德那里，他说：“数学必须根据纯粹直观，在纯粹直观里才能具体，然而却是先天的把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。构造性数学强调数学的构造性，一切的数学对象都是可以经过有限的步骤来进行构造出来的，而这些数学知识及概念都是构造出来的理性的知识，是经过有限步的推理总结出的，能形成固定的公理体系。而最早先的人并没有把构造性数学来进行系统的研究，如彭加勒，勒贝格等大数学家仅仅是倡导构造性数学的研究，以致于构造性数学并没有很早的发展起来。1.2.2 近代构造性数学的开端现代意义上的构造性数学应最先以布劳威尔的直觉主义数学为开端，直觉主义数学是指有人类的构造性思维活动进行数学研究的方法，在直觉主义数学体系中，任何数学对象的存在性都等价于它的可构造性，而构造性数学就是将一切的数学理论来进行建构，从而建立自己的体系，直觉主义数学延伸出来的构造性数学，布劳威尔从哲学和数学的两方面发展“存在必须被构造”的观点，他们研究的起点是自然数论而不是集合论，但在研究过程中排斥集合论，导致这种构造性数学遭到很多的批评，但布劳威尔所开创的直觉主义数学开创了构造性数学的研究开端。1.2.3 近代构造性数学的发展希尔伯特的元数学也是一种构造性数学，他是在布劳威尔的直觉主义数学所发展出的构造性数学进一步的发展，他建立元数学来使构造性数学与古典数学相联系起来，排除悖论，重建数学基础，这也是构造性数学的一个发展。而后是马尔科夫的“算法数学”，他所创立的构造性数学研究主要是从算法上进行研究，他们将算法进行构造，他以递归函数理论为基础，使用构造逻辑来重新建立数学基础，并且探究构造分析，对于许多数学分支的算法化以及制定构造逻辑的语义学都作了很可观的工作。由于计算机的新兴和算法数学的复杂性导致他们的算法数学后来的研究变得少了。1.2.4 现代构造性数学的发展现代构造性数学最著名的就是以毕晓普、迈希尔为代表的新的构造性数学，他们的构造性数学研究是在数学领域中，用普遍的逻辑于可编码的对象和递归函数。他们所关心的不是解决数学的奠基问题，而是要用构造性的方法来研究数学。他们将构造性数学看成古典数学的一个分支，这点与布劳威尔的直觉主义数学是不同的，他们所讨论的对象都是要可计算的，也是可构造的，他们讲数学对象分解成可构造的有限几个部分来分析，并且考虑哪些定理在构造意义下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此发展出来很大一部分有价值的数学，并且建立的现在的构造性数学的基础。早期的构造性数学是解决数学的基础性的问题，使数学有可信性，而发展到现在就构造性数学主要是以一种构造性的方法来解决数学问题，研究数学，这也是慢慢引申出了我们所要探究的构造性方法的产生，但是构造性数学在现在依然也是确定数学的可信性的一个方面。1.3 研究的目的和意义从网站和期刊上的资料来看，对于构造法的理解不是很全面和系统的，仅仅是从某个方法或某种例题上引申出来，从单一的一个方面来探究构造法的解题方式。我们所针对构造法进行深入的分析，尽肯能全面的探究构造法，理清各种构造方法的思路给学生以提示，作为师范系的学生，我们在学习数学的过程中了解构造法是一种灵活的十分具有技巧的方法，这个不是靠题海战术就能掌握的，我们所给出的各种思路来帮助学生进行构造性思维的训练和理解，同时让学生从本质上来理解构造法的意义，并且在训练过程中提高学生的创新能力等。2 构造性的思维方法2.1 构造思想和构造法数学思想是指现实世界中的空间形式、数量关系及其模式结构反映在人的意识中，经过思维活动产生的思想，而数学方法是指在处理这些空间形式、数量关系及模式结构等问题的方法和途径。数学思想和数学方法是紧密相连的，数学思想是数学方法的核心内容，它决定了方法的运用方式和策略，这两个是互相联系的密不可分的，所以我们通常称为数学思想方法，构造思想是数学思想的一中思考方式，而构造法是数学方法中的一种，它们之间的关系就通上面的一样，构造性的思想决定了如何构造，怎么构造，构造后怎么解决等问题，而构造法是实施上述思想的方法，所以构造思想是构造法的核心，而构造法只是单纯的去执行这种思想，而我们经常吧这种方法称为构造思想方法，2.2 构造的理论依据构造的理论依据是建立在构造性数学上的，构造性数学指出“存在必须被构造”所以构造法是可行的，并且波利亚的解题思想在策略上就是构造思想的体现，波利亚说过“构想一个辅助问题是一项重要的思维活动”这里所讲的“辅助问题”就是一种构造的思想，即要解决问题A，我们能不能联想一个问题B与A相关联的辅助问题，在解决B的同时也能帮助我们解决问题A，如果问题B解决起来更容易更直观方便，这种方法就成功了，这里的构造就是将问题A构造转化成为问题B，而问题B是我们已经解决或很容易解决的，这样就是解决问题A变得更容易。2.3 构造的意义 构造法的本质是一种创新的方法，它的主要策略就是将问题的分解和转化，在构造的过程中培养的是人各种能力，构造前主要是对人的洞察力，分析力进行培养，结合已有的知识进行对问题特征的各种分析，而在构造过程中是对人创新能力的培养，它需要联想、想象、化归、类比等思维方式对问题本身进行策略性的转化，从而对问题进行分布解决，将未知问题转化为已知或是能够简单解决的问题。而在构造后能对原有知识进行从新的分析，构造的过程也是一种类比的过程，也是从另一个方面对问题的分析，从多方面分析理解原有的知识更能加深对新旧问题的理解，所以构造法运用的本质意义是解决未知问题的同时能加深对原有知识的理解力，在过程中也是对人的数学思维的锻炼和创新能力的培养。2.4 构造法的特征灵活性：构造法解决问题非常简洁、巧妙，并且解决的方式常常突破常规模式，它的思考方式也常常是跳跃性的，所以具有很强的灵活性。思维的多样性：构造法解题要用到观察、分析、联想、综合、等多种思维形式。发散性：这个也是构造法的一个主要的特征，它在解决问题的过程中从各个方向，各个角度进行分析、联想，整个思维都处于发散性状态下，能对知识有很透彻的理解2.5 构造法与数学美之间的辩证关系数学中有美，美中也有数学，同样在构造法中也包含的美学的元素，数学是一门严谨的学科，这也意味着这门学科相对而言会很枯燥，而数学中的美则是激发人们去研究数学的动力，研究构造法中的美学能让运用构造法的人对构造法产生兴趣，同时也能提高他们对数学中的美的感受，进而提高人的数学思维和解决问题的能力。2.5.1 构造法与数学美的历史渊源虽然构造法的提出时在构造性数学的产生之后，但在之前的很多大数学家都曾用过构造法来解题，所以构造法解题也是一种古老的解题方法，历史上欧几里得、高斯、欧拉、拉格朗日等人都曾用过构造法来解决过数学中的难题，为数学做出了巨大的贡献并向人们展示了数学中的美学，如欧几里得在几何原本中对命题“素数的个数有无限个”的证明，这个是反证法的范例也是用构造法证明的范例，而在现代我们在大一的高等数学上讲授的“拉格朗日中值定理”中通过辅助函数构造来证明定理的正确性也是一个构造法的范例，构造法构造的辅助函数的对称，及思路的清晰感都能让大一刚刚接触到高等数学的同学感受到数学的美。在用构造法构造数学模型的同时也对数学抽象的具体化更加的贴近人们本身的生活，数学知识很多都是理论上的，抽象性的，而通过模型来将数学的抽象的逻辑，知识变得更加易懂和现实，构造法在其中表现出简洁、巧妙、让人易懂等特点，同时将数学的美变得更加的形象。2.5.2 恰如其分的构造来衬托数学美构造法是一种发现数学美的方式，构造法的目的就是使解题变得更加的简单、巧妙，而简单美则是数学美中的最基本的特征，数学的魅力就是在追求简单，从古道今数学无论是什么时候都是将证明解题过程变得更加的简洁、清晰、易懂，对于证明过程的化简在数学上是一种大的进步，而构造法就是将数学化简的一中方式，在运用过程中也能发现其中的美。在构造过程中叶常常能遇到对称、恒等式、符号的和谐之美，在构造法的刻画之下，在解决问题的过程中也是对美的体验和创造。构造中的构造模型也是将数学的抽象思想变得具体化，模型的构造很多时候是与现实进行接轨，让数学抽象的知识在模型建立的情况下发挥作用，同时能让人在构造模型解决实际问题时深刻的理解到数学本身的美。用构造法能探究到数学中的很多美，而恰如其分的构造就是对美的最大的最求，数学中的很多题都是依靠巧妙的构造来进行解决的，这个巧妙的方法本身就是一种数学的美，而很多问题就在追求这种美的过程中将构造进一步深化和挖掘从而达到进步，所以数学美和构造法是相互依存的来发展和前进的。3 构造法在数学实践中的应用 构造法是在解决某些数学问题是常规的方法或按照定势思维难以解决时来使用的，此时我们应根据问题的条件和结构特征等从新的角度出发，用新的角度去观察分析，抓住问题的条件或结构之间的特征结合原有的数学知识进行类比分析，构造一个我们更容易解决的辅助问题，在解决这个辅助问题后原有问题也迎刃而解，构造法在解题过程中注重的不是计算而是从策略上的思考，也就是先分析联想后在行动，所以运用构造法有以下的特点： （1）构造法是通过构造辅助问题或是等价的问题来使原问题进行策略上的转化从而得到原问题的解决方法。 （2）构造法是根据原问题的条件和结构来进行分析观察的，然后通过想象、联想将原有的知识进行迁移变换，因为每个人的知识层次的不同，解题经验不同，思考的方向不同，这也决定了构造的形式也是不同的，所以构造法的灵活性很大，一个问题可能有多种不同的构造方式。 构造法在解决数学问题时构造的方向主要有三个大的方向：代数构造法、几何构造法和向量构造法，这三个方面分别从数学，形和数学结合的三个大的方向进行构造。3.1 代数构造法代数构造法主要是有函数构造法、方程构造法、数列构造法三个方面。3.1.1 函数构造法函数思想是数学上的重要思想方式，函数构造法主要运用的是函数思想，在问题中找出可以作为自变量的因素，或者是表示成某一个变量的函数从而构造出一个函数，在构造函数的过程中主要是根据已给的条件进行分析联想构造出不同的函数如一次函数、二次函数、反比例函数、高次函数等，利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和函数图像等方面进行分析来讨论问题。例题1：求证：。构造函数的优势：这个问题用做差比较明显比较困难，其中a.b都是未知的且带有绝对值符号，化简也比较繁琐，通过先观察，我们可以明显看出不等式两边的形式是一样的，那么就能联想到是否能构造一个相同的函数模型，而且根据绝对值的性质必定存在，通过函数的性质中的单调性来进行不等式的证明。解：构造函数， 对于任意的有 将带入做差得： 所以函数在定义域内是单调递增的，又因为 所以 即存在，命题得证。例题2：证明：拉格朗日中值定理：如果函数满足 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导， 那么内至少有一点，使等式成立这个是我们在大学的高等数学中所学到的拉格朗日中值定理，这个定理是由罗尔定理来一出的，而根据拉格朗日中值定理和罗尔定理的关系，我们肯定是用到罗尔定理来进行对中值定理的证明，为了让函数具备有这个条件，我们构造一个与有密切相关的函数（称为辅助函数），使满足条件，然后对应用罗尔定理，再将的结论转化到上，证得所要结果。定理证明：引进辅助函数 容易验证函数适合罗尔定理的条件：=0；在闭区间上连续，在开区间内可导，且根据罗尔定理，可知在内至少有一点，使，即由此得到即。 定理证毕。 函数构造法的应用需求的是对函数的各种性质深刻的理解，同时有敏锐的观察力，能将问题进行联想转化，构造函数或是辅助函数都是对原问题有深刻的分析，同时在拉格朗日中值定理证明的过程中辅助函数的构造对于我们理解定理本身也有一定的帮助，构造函数是一个需要巧妙思想方式的方法，有时构造出的函数也会使题目的解决方式变得更加困难，这就需要我们在构造时用不同的角度进行构造分析，选取最简单的来进行解决。3.1.2 方程构造法方程是一个代数上的重要数学工具，因此构造方程可以提供较好的解决方法。许多问题可以在已知和未知之间搭上桥梁，构造一个或者几个方程，再运用反常知识，使原问题顺利了解决。例题3 证明：若a.b.c都是实数，且a+b+c=0，abc=1，则a，b，c中必有一个是大于1.5的 分析：由a，b，c以及abc=1可知，a，b，c中有一个是正数，另外两个是负数，不妨我们先设a为正数。 解：由题意可知b+c=-a，构造一个以b，c为根的一元二次方程，即 因为b，c为实数所以根据一元二次方成的判别式又因为a是正 数，所以即，故a大于等于1.5这也就证明了a,b,c中至少有一个是大 于1.5的例题4 在三角形ABC中 ,的对应边分别为a,b,c， b+c=10，求证三角形ABC是等腰三角形分析：我们已知了b+c=10，这两个条件，而目标问题是要证明a，b，c中中式有两个相等的，而已给的两个，条件很容易解出bc的值这就引导我们用韦达定理来进行构造一元二次方程来进行探究。证明：由b+c=10，得bc=，构造一元二次方程，这个方程的两个对应的根为b和c。由100-4（）=即让，同时满足，所以0，所以b和c相等，三角形abc是等腰三角形方程构造法对于中学的学生主要是考虑应用韦达定理的性质来构造一元二次方程，而构造一元二次方程所需要的技巧性和分析性很强，在构造时要根据题目所给出的条件和结论以及结论的特征进行联想，主要是寻找韦达定理中a+b和ab所对应的条件来构造，虽然对于应用构造方程的方法比较考验学生的思维分析联想能力，但构造出合理的方程就能使解题的思路变的清晰易懂简洁。3.1.3 数列构造法数列是代数上的一个分支，我们所要解决的题目主要是探求特殊数列的通项公式，这也是解证非特殊数列的问题的难点之一。在解决这类问题时，我们都会同过分析已给条件和所要证明或要求的的通项公式来构造等差或等比数列，通过灵活运用这两个特殊数列的通项公式和性质来解决问题。例题5 证明：时，分析：这个题目本身是让证明等式成立，而前面的我们可以看做是一个数列的前n项的求和，后面的一部分可以当做前n-1项的求和，可以分开解出来他们的值，最后证得相等，而应用构造法就简单了，我们将等式变形为只要证明这个数列是常数0的数列就能证明等式是成立的证明：设则所以根据数列前后项做差：所以数列是常数数列，根据条件我们可以知道即则原等式是成立的。3.2 几何构造法一些数学问题用代数的解法相当的繁琐，而且有时会出现解决不了的情况，这时我们就用构造几何图形的方法，用几何知识来解决实际的问题。在构造过程中先根据已给的条件和结论进行分析和联想，从数的特点上来联想到图的特点，然后构造图形，借助图形的直观性来解决问题。几何构造法是构造的是将较抽象的数学问题变的具体和形象，通过直观的观察来解决问题，这需要人的形象思维和逻辑思维的转化紧密，在两种思维相互高度协调时来完成的。几何构造法不单单是指将代数问题形象化，它也包括添加辅助线等，这也是一中构造。例题6：化简解析：如果直接利用三角公式进行化简求值有一点困难，化简很繁琐，将化简为，构造三角形且三个内角为，应用正弦定理和余弦定理课以得到所以0.75例题7:：求和，分析:这个可以看做数列的前n项的求和，这个求和我们无法用等差等比等特殊数列的特殊数列来推导出来，在一般方法行不通我采用构造的方法，原式可以看成用图示法表示构造图形：前三幅图分别按逆时针和顺时针转得到的，3幅图对应位置相加得到第四幅图的，而第四幅图每个点都能提出2n+1这样就是我们所学过的等差数列的前n项的求和，可得我们在解决等差数列求和是应用过的是前后顺序颠倒的倒序相加法，这个其实用图例法说就是将图形旋转180度后相加的出来的，等差数列的图我们也可以当成是1维的图像，而这道题是2维的，就相对而就变的难了，而构造法的使用将题目转化，从求数的平方到数本身，难度下降很多，并且在别人阅读时也会变的思路相当的清晰。3.3 向量构造法向量构造法是代数和几何的的综合形式，代数构造法主要是体现在对“数”的构造和理解，几何构造法主要是体现在对“形”的构造和理解，而向量本身可以看成两个方面：一方面是有方向的“数”，具有一个形的数；另一方面是一个有大小的“形”。因此向量是具有“数”和“形”双重性，在构造的过程中能同时使用到代数和几何的各种性质以便于将问题化简和形象来解决。例题8：已知x,y,z0，并且，求证证明：由已知易得，构造向量，由所以有带入向量a，b可得所以例题9：已知满足求证：分析：由不等式的左边结构和向量的模比较接近，所以可以考虑用平面向量证明不等式的成立。证明：设向量，则即，因为且，所以4 构造思想的培养4.1 建立合理数学知识的框架构造法是将所遇到的问题联系自己所学过的知识进行联想、类比，一个良好的数学知识框架对构造思想的培养相当有帮助，知识结构越紧密、越清晰进行构造时的思路就越容易，知识结构相当于构造思想的地基，知识的容量、有序性、都能使构造法形成的更快我们主要是灵活的应用构造法来解决问题，如果有良好的知识框架，我们本身才能从另一种知识联想到另一种知识，了解和分析其中的相关性和内在联系，这样才能更好的进行构造，所以要培养良好的构造思想先要将所学的知识系统化、有序化，经常整理知识，分析所学到知识内在联系，建立良好的知识框架才能培养出好的构造思想。4.2 数学感性的领悟构造法是一种灵活多变的方法，所以有时要构造出来合理解方法来解决问题是很难的，那么如何去构造，在构造时要有什么样的思路进行开始思考这都是一个难题，这就有时需要对数学的领悟，直觉。人的直觉思维和逻辑思维是不同的，逻辑思维是一步一步进行过来的，有完整的证明分析，而直觉思维是没有进行严格证明的，是对问题突然的领悟、合理的猜测等。很多人认为直觉这种思维类似于超能力，是一种只有少数人才会有的能力，实际上这是一种误解，直觉和领悟是建立在原有的知识框架上、经过实践和学习后所掌握的知识和经验上，所以也就有知识和经验越丰富的人他的直觉就更准确，要有良好的对数学的悟性和直觉就要在数学这门功课上下功夫，当掌握的知识和经验越多，对于构造思想、构造法的应用就越容易。5 总结和建议5.1 如何去学习使用构造法构造法是灵活多变的方法，如何学习掌握着种方法就是一个难题，首先要养成对所学知识的分类整理，对于知识进行系统化的分析和理解，要对所学知识有深刻见解，构造法的本质是将问题策略上进行迁移，也就是对知识机型类比分析，所以对原有知识的系统化理解就是掌握构造法的开始。然后进行对题目练习，这个首先要先进行简单的模仿，模仿如何去构造，模仿思路，产生最开始的构造方式，然后进行变式练习，中国有句古话叫做“熟能生巧”，构造法虽然很看重对思路上的分析和理解，但是多进行构造性的变式练习也是对数学的领悟，在无形的增加知识和经验，而良好的构造思想是建立在这些知识和经验上的，这个就是要我们本身有过硬的“双基”基本功。在最后就是在解题过程中的自发的领悟，不是所有的知识都是靠语言文字来进行传授的，构造法也一样，这最后就是要依靠自己对构造法本身的领悟，这也是一中顿悟和直觉