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高等数学备课笔记安徽省商贸职业技术学院基础部叶迎春第一章 函数、极限与连续内容提要函数是微积分学研究的主要对象。本章在复习与补充函数相关知识的基础上，介绍了函数的三种分类方法。教学目的理解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数等概念，掌握函数的基本性质，理解连续函数和可微函数的概念。重点函数和复合函数的概念，连续函数和可微函数的概念。难点连续函数和可微函数的概念。总课时4课时 解析法表示法 表格法 图像法一、函数的概念与性质1.函数的概念对应法则值域： 一对一几对一一对一几对一分式，分母必须不等于零；偶次根式，被开方式必须大于等于零；对数，真数必须大于零；正切符号下的式子必须不等于（），余切符号下的式子必须不等于（）；反正弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1，反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1；表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集；分段函数的定义域为各段落有意义区域的并集。 定义域例1求下列函数的定义域.函数函数有定义的条件定义域或例2求函数值函数值函数2.函数的性质 有界性 一般地，在区间内是有界的函数有：，等。函数性质 奇偶性 例如，函数是偶函数，即非奇函数，也非偶函数，是奇函数。 单调性 例如，函数在区间上是单调增加的，在区间上是单调减少的。 周期性 例如，函数都是以为周期的周期函数，都是以为周期的周期函数。中间变量3复合函数自变量若的值域或其部分包含在的定义域中例如，已知，由于的定义域，的值域，所以将代入得它们组成的复合函数例3指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。函数复合过程4初等函数首先，介绍基本初等函数。函数（1）；（2）（为任意实数）（3）（4）（5），（6），统称为基本初等函数，它们是微积分中所研究对象的基础，应很好地掌握它的定义域、值域、图象和性质。名称表达式定 义 域图 例性 质常数函数1偶函数；2有界。幂函数 （为任意实数）随值的不同，的定义域也不同1图象都过和点；2在内单调增加。1图象都过点；2在内单调减少。指数函数1全部图象在轴上方；2图象都过点；3函数单调增加。1全部图象在轴上方；2图象都过点；3函数单调减少。对数函数1全部图象在轴右侧；2图象都过点；3函数单调增加。1全部图象在轴右侧；2图象都过点；3函数单调减少。正弦函数1奇函数；2周期；3有界；4在上单调增加；在上单调减少。余弦函数1偶函数；2周期；3有界；4在上单调增加；在上单调减少。正切函数1奇函数；2周期；3在上单调增加。余切函数1奇函数；2周期；3在上单调减少。反正弦函数1奇函数；2有界；3单调增加。反余弦函数1有界；2单调减少。反正切函数1奇函数；2有界；3单调增加。反余切函数1有界；2单调减少。由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数。初等函数里一些概念之间的关系可用图表说明如下：表达式定义域图形性质反三角函数三角函数对数函数数指数函数不清幂函数常量 有限次四则运算基本初等函数有限次复合步骤初等函数（用一个式子表示）二、函数的分类本部分内容主要介绍函数的三种分类方法。第一种方法是根据它们是否是连续函数进行分类；第二种方法是依据它们是否保留实数运算的代数结构进行分类；第三种方法是根据它们是否是可微函数进行分类。1连续函数如果一个函数将“邻近”的点仍变换成“邻近”的点，我们就称该函数为连续函数。设变量从它的一个初值变到一个终值，记的改变量的改变量我们有：函数在点的某个邻域内有定义连续函数在点处例4题目解答用定义证明函数在点处连续因为函数在点的任一邻域内有定义，且显然，所以函数在点处连续。 一般地，函数在处有定义函数在点处 右连续连续存在左连续称为函数的连续点例5题目解答讨论函数在点处的连续性。因为函数在点的任一邻域内有定义，且所以，函数在点处连续。例6已知求（1）（2）函数的定义域（3）当为何值时，极限存在，此时，在处是否连续？解（1）（2）函数的定义域为，（3）由于当时，存在。由于当时，故在处连续。2线性函数设函数，如果对任意的，满足（1）（2）我们称为线性函数。例如，函数是线性函数，与不是线性函数。线性函数的图象是通过原点的直线，其斜率为，且所有线性函数都是连续函数，因此，简单易处理的线性函数在经济研究中非常受欢迎。然而，有很多函数不是线性函数，这就需要解决非线性函数的线性近似的问题。这里有两个问题需要回答：（1） 在什么条件下，一个从到的函数可以线性近似？（2） 如果可以线性近似，如何找到这一线性函数？微积分研究的正是非线性函数的线性近似问题。3可微函数观察余弦函数，当纵轴向右平移，得到新的图形中的虚线就代表了线性函数， 它似乎很好地近似了余弦函数。对余弦函数的观察使我们认识到，不可能任意的函数都存在相应的线性函数，但在定义域的局部近似一个函数是可能的，微分学正是用来局部分析非线性函数的线性近似问题。下面介绍导数与微分的概念。定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量。如果当时，存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记作，或，或，或并称函数在点处可导；如果不存在，则称函数在点处不可导.定义设函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作，即并称函数在点处可微。如果函数在处可导，则称为函数在处的微分，简称函数的的微分。记作或因此，是一个线性函数，且在点处与函数有相同的斜率，它近似于函数，从而解决了非线性函数的线性近似问题。对微分，显然，即，这就是说，自变量的微分就是它的改变量，因此，微分记号中可用代替，即或于是这就表明了函数的微分与导数的关系，即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，所以导数又称微商，而函数的微分则等于函数的导数与自变量的微分之积。应当注意，微分与导数是两个不同的概念。导数是函数在点处的变化率，而微分是函数在点处由自变量的增量所引起的函数的增量的主要部分；导数值只与自变量有关，而微分值不仅与有关，也与有关。导数与微分又是密切相关的，可导函数一定可微，可微函数也一定可导。从上面可以看出，非线性函数的线性近似的关健要掌握导数的计算，但用导数的定义求函数的导数，通常比较麻烦或不太可行。为了方便起见，我们