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文档简介

和差倍分及位置关系一、和差倍分问题线段或角的和差倍分问题,一般是通过平移、轴对称或旋转等变换构造全等代换线段,最终转化为证明相等的问题。1在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,BD=DC. 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3()如图1,当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是_; 此时_; ()如图2,点M、N在边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明; ()如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=,则Q=_(用、L表示)解:()如图1, BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN此时 ()猜想:结论仍然成立证明:如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE,且又是等边三角形,在与中:(SAS)DM=DE, 在与中:(SAS)MN=NE=NC+BM的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB而等边的周长L=3AB. ()如图3,当M、N分别在AB、CA的延长线上时,若AN=,则Q=2+(用、L表示)2在四边形中,对角线平分(1)如图1,当,时,求证:;(2)如图2,当,与互补时,线段、有怎样的数量关系?写出你 的猜想,并给予证明;(3)如图3,当,与互补时,线段、有怎样的数量关系?写出你 的猜想,并给予证明解:(1)在四边形中, , 又, 即(2) 证明如下:如图,过点分别作和延长线的垂线段,垂足分别为、 , , , 由(1)知 (3) 证明如下:如图, 过点分别作和延长线的垂线段,垂足分别为、 , , , . , . 延长至,使,联结. , . . . . . 3如图,在四边形ABCD中,ADBC,点E是AB上一个动点,若B=60,AB=BC,且DEC=60,确定AD+AE与BC的关系解: 有BC=AD+AE.连结AC,过E作EFBC交AC于F点. 则可证 AEF为等边三角形.即 AE=EF及AEF=AFE=60.所以 CFE=120. 又 ADBC,B=60, 故 BAD=120. 又 DEC=60, 所以 AED=FEC. 在ADE与FCE中, EAD=CFE,AE=EF,AED=FEC,所以 ADEFCE. 所以 AD=FC. 则 BC=AD+AE.4如图,四边形ABCD中,AC、BD是对角线,AB=AC,ABD=60,过D作EDAD,交AC于点E,恰有DE平分BDC试判断线段CD、BD 与AC之间有怎样的数量关系?并证明你的结论 结论:AC=BDCD证法一:延长BD至,使得D=DCDE平分BDC,1=2EDAD,ADC=901,3=902AD=1803=902ADC=AD 在ADC和AD中,ADCAD(SAS) AC=A AB=AC, AB=A ABD=60,AB是等边三角形 A=B, AC=BDCD 证法二:延长CD至,使D=DBEDAD,23=90,14=90DE平分BDC,1=23=4在ADB和AD中, ADBAD(SAS) AB=A,ABD=60 AC=A AC是等边三角形 AC=C AC=BDCD二、位置关系的证明位置关系的证明以线段的平行、垂直为主,对于这类问题的解决方法,大家也要注意总结归纳。比如证明垂直的方法除了利用角度推导外,还可以考虑勾股定理的逆定理、等腰三角形三线合一、若三角形中一边中线等于这边一半,则这边所对的角为直角等方法;平行证明除了利用同位角、内错角、同旁内角的关系外,还可利用中位线定理、比例出平行等方法。5抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.(1)求此抛物线的解析式;(2)试判断ABD的形状,并证明你的结论;解:(1)如图,直线与坐标轴的两个交点为A、B, 点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,3). 又 抛物线经过点A、B, 解得 抛物线的解析式为. (2)ABD为直角三角形. 抛物线的顶点D的坐标为(1,4), 过点D作DEx轴于E,DFy轴于F. 可求BD=,AB=,. . ABD为直角三角形.6已知:如图,矩形ABCD中,延长BC至E点,使BE=BD,连结DE,若F是DE的中点试确定线段AF与CF的位置关系解:AFCF一连BF 易证ADFBCF(SAS)DFA=CFBBFA+CFB=BFA+DFA=90二连AC交BD于O,连OFOF为DBE的中位线OF=BE=BD=AC7在ABC中,BM、CN分别是、的平分线,而于E,于F求证:EF/BC证明:延长AF交BC于D,延长AE交BC于G易证:CAFCFDAF=FD同理可证AE=EGEF为ADG的中位线 EF/BC8请阅读下列材料:问题:如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结若,探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是:延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值;(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2)你在(1)中得到的两个结论是否发生变 化?写出你的猜想并加以证明解:(1)线段

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