决策分析技术与方法_第三章.ppt

决策分析技术与方法 北京科技大学经济管理学院武森 北京科技大学经济管理学院 2 目录 第一章决策科学概述第二章确定型 风险型和不确定型决策第三章模糊决策第四章灰色系统预测与决策第五章可拓决策第六章其他决策分析方法 北京科技大学经济管理学院 3 3 3模糊集合的运算 3 2模糊集合与隶属函数 第三章模糊决策 3 1模糊数学与信息革命 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 3 5模糊聚类分析 3 6模糊综合评判决策 北京科技大学经济管理学院 4 3 1模糊数学与信息革命 一 模糊数学的产生与发展模糊数学是研究模糊领域中事物数学化的一门崭新的数学学科 它始于1965年美国著名控制论专家扎德 L A Zadeh 教授的开创性论文 模糊集合 fuzzysets 在现实世界中 有些事物之间的关系是确定的 但有些是不确定的 而在不确定中又有随机的和模糊的 事物的精确性 随机性和模糊性这三者是普遍存在的 北京科技大学经济管理学院 5 3 1模糊数学与信息革命 一 模糊数学的产生与发展大量的模糊现象使经典数学方法显得无能为力 而模糊数学的产生与发展则为研究这些模糊现象提供了有利的数学工具 经典数学的基础可归结为集合论 根据集合论的要求 一个元素x是否属于集合A是明确的 无法处理实践中大量的不明确的模糊现象与概念 北京科技大学经济管理学院 6 3 1模糊数学与信息革命 二 模糊数学对决策科学的贡献利用模糊数学构造数学模型 来编制计算机程序与信息决策模型 可以更广泛 更深入的模拟人的思维与全方位深入挖掘各种决策信息 从而可以大大提高电子计算机的 智力 与信息决策的科学性 准确性 模糊数学的主要贡献在于 它将模糊性与数学统一在一起 它的方法不是让数学放弃严格性去迁就模糊性 而是要将数学方法深入到具有模糊现象的禁区 从而为解决一些复杂大系统涉及模糊因素的科学决策问题开辟了一条新路 北京科技大学经济管理学院 7 3 3模糊集合的运算 3 2模糊集合与隶属函数 第三章模糊决策 3 1模糊数学与信息革命 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 3 5模糊聚类分析 3 6模糊综合评判决策 北京科技大学经济管理学院 8 一 模糊现象与模糊集合例1设X 1 2 3 4 把小数子集记为 它的元素仍为1 2 3 4 同时给出各元素在该小数子集中的隶属程度 即 3 2模糊集合与隶属函数 分母位置放的是论域中的元素 分子位置放的是相应元素的隶属度 当隶属度为零时 此项也可不写入 扎德又将其写成 北京科技大学经济管理学院 9 3 2模糊集合与隶属函数 一 模糊现象与模糊集合定义若对论域X中的每一个元素x 都规定从X到闭区间 0 1 的一个映射 则在X上定义了一个模糊集合 北京科技大学经济管理学院 10 二 隶属函数的确定及其分布在例1中 X 1 2 3 4 3 2模糊集合与隶属函数 可用分布列表示 或者写成 北京科技大学经济管理学院 11 二 隶属函数的确定及其分布如果有人给定 3 2模糊集合与隶属函数 进而用线性函数表示 这样选取隶属函数也是无可非议的 北京科技大学经济管理学院 12 二 隶属函数的确定及其分布 3 2模糊集合与隶属函数 正态型 对称型 戒上型 偏小型 戒下型 偏大型 常见的隶属函数 北京科技大学经济管理学院 13 函数是概率论中很重要的一种概率分布 正态分布 的概率密度函数 式中a b都是给定的常数 在概率论中a叫做数学期望 为标准差 e是自然对数的底 这是最常见的一种分布 二 隶属函数的确定及其分布 一 正态型 对称型 3 2模糊集合与隶属函数 隶属函数形如上式的模糊集合称为正态型模糊集 以上称为正态型隶属函数 北京科技大学经济管理学院 14 二 隶属函数的确定及其分布 二 戒上型 偏小型 3 2模糊集合与隶属函数 隶属函数形如上式的模糊集合 其中a 0 b 0 称为戒上型模糊集 以上称为戒上型隶属函数 c 戒上型隶属函数 北京科技大学经济管理学院 15 二 隶属函数的确定及其分布 三 戒下型 偏大型 3 2模糊集合与隶属函数 隶属函数形如上式的模糊集合 其中a 0 b 0 称为戒下型模糊集 以上称为戒下型隶属函数 北京科技大学经济管理学院 16 其中论域X 0 200 常数5表示以5岁为一级 是为计算方便而定的 这里 X是一个连续的实数区间 现计算几个年龄的隶属度如下 二 隶属函数的确定及其分布 3 2模糊集合与隶属函数 0 04 0 1 0 5 0 74 1 1 50 40 30 28 25 0 x 例2描述 年轻 这一模糊集合 一般认为25岁以下是标准的年轻 年过25岁 则年轻的程度将递减 故应属戒上型 扎德曾给出 年轻 这个模糊集合的隶属函数为 北京科技大学经济管理学院 17 二 隶属函数的确定及其分布 3 2模糊集合与隶属函数 0 97 0 94 0 8 0 5 0 0 例2 续 扎德给出了模糊集合为 年老 的隶属函数为 其隶属度可计算如下表 北京科技大学经济管理学院 18 二 隶属函数的确定及其分布 3 2模糊集合与隶属函数 同样可以给出红光 蓝光的隶属函数分别为 例3设波长的论域U 4000 8000 单位 则 红光 绿光 蓝光 等都是论域U上的模糊集合 绿光波长 单位 是标准的绿光 其分布图是以为对称的正态分布 实际描出其分布图的幅度b 300 可以给出其隶属函数为 根据上式可以标出 或5100 时淡绿光的隶属度为 北京科技大学经济管理学院 19 3 3模糊集合的运算 3 2模糊集合与隶属函数 第三章模糊决策 3 1模糊数学与信息革命 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 3 5模糊聚类分析 3 6模糊综合评判决策 北京科技大学经济管理学院 20 3 3模糊集合的运算 显然模糊集中的空集就是一个普通集 一 模糊集合运算的概念模糊集合 简称模糊集 的运算是普通集合 简称普通集 运算的拓广 一 空集设有模糊集 当且仅当对于所有元素x它的隶属函数恒为零 则称为空模糊集 记做 即 二 全集模糊集中的全集 也是普通集 它的隶属函数是1 即 北京科技大学经济管理学院 21 一 模糊集合运算的概念 三 等集两个模糊集和 当且仅当对于所有元素x它的隶属函数都相等时 称它们为相等 记为 则 3 3模糊集合的运算 四 子集设有模糊集和 对于所有元素x 当且仅当时 称包含于 此时称为的子集 记为 即 当且仅当时 称真包含于 此时称为的真子集 记为 北京科技大学经济管理学院 22 3 3模糊集合的运算 一 模糊集合运算的概念 五 补集模糊集的绝对补集记为 定义如下 具有隶属函数 若和均为模糊集 则关于的相对补集记为 由下式 定义 其中规定 的模糊集称为的绝对补集 即的补集 北京科技大学经济管理学院 23 一 模糊集合运算的概念 六 并集设论域X上两模糊集和的隶属函数分别是和 它们的并是一个模糊集 用来表示 记为 即 3 3模糊集合的运算 其隶属函数与和的隶属函数之间有关系 x 北京科技大学经济管理学院 24 一 模糊集合运算的概念 六 并集例如设为 胖子 的模糊集 为 高个子 的模糊集 今有两人组成的集合 这时 的并集表示 或胖或高的人 的模糊集 其隶属度为 3 3模糊集合的运算 他们分别属于 胖子 集合和 高个子 集合的隶属度为 其中 称为取大运算 北京科技大学经济管理学院 25 3 3模糊集合的运算 上式也可表示为 其中 称为取小运算 一 模糊集合运算的概念 七 交集 的交集也是一个模糊集 记为 其隶属函数规定为 即 北京科技大学经济管理学院 26 对于上述的两人集合 且 一 模糊集合运算的概念 七 交集 3 3模糊集合的运算 可有 这里 交集表示 又胖又高的人 所组成的模糊集 北京科技大学经济管理学院 27 一 模糊集合运算的概念定理1模糊集的运算通过它的隶属函数实现 3 3模糊集合的运算 北京科技大学经济管理学院 28 一 模糊集合运算的概念例1设X 1 2 3 4 则 3 3模糊集合的运算 小数集 大数集 较小数集 不较小数集 小或较小数集 既小又大数集 本例提供了将模糊语言数学化的范例 北京科技大学经济管理学院 29 二 模糊集合的运算性质普通集中的各种运算性质除互补律外对于模糊集也都成立 但其证明不能用文氏图或真值表 而必须利用表示模糊集特征的隶属函数来证明 定理2模糊集具有以下的运算性质 3 3模糊集合的运算 1 幂等律 2 交换律 3 结合律 4 吸收律 北京科技大学经济管理学院 30 二 模糊集合的运算性质 3 3模糊集合的运算 5 分配律 6 复原律 7 对偶律 8 定常律设是论域X上的模糊集合 则 北京科技大学经济管理学院 31 二 模糊集合的运算性质例2证明吸收律 3 3模糊集合的运算 证 所以 北京科技大学经济管理学院 32 二 模糊集合的运算性质例3证明对偶律 德 摩根律 3 3模糊集合的运算 证 从而 当 时 当 时 所以 北京科技大学经济管理学院 33 二 模糊集合的运算性质例4验证普通集中互补律在模糊集中不成立 举例 3 3模糊集合的运算 即 解例如 则 而 北京科技大学经济管理学院 34 3 3模糊集合的运算 3 2模糊集合与隶属函数 第三章模糊决策 3 1模糊数学与信息革命 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 3 5模糊聚类分析 3 6模糊综合评判决策 北京科技大学经济管理学院 35 一 水平截集定义1设给定模糊集 对于任意实数 称普通集为的水平截集 简称截集 cutsets 所谓取一个模糊集的截集 也就是将隶属函数按下式转化成特征函数 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 其直观意义是 当x对的隶属度达到或超过时 就算是的元素 称为置信水平 belivablelevel 又可通俗的解释为 门槛 或 阈值 北京科技大学经济管理学院 36 性质2若且 则 一 水平截集截集具有以下性质 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 性质1 当时 最小 若时 则称它是的 核 定义2如果一个模糊集的核是非空的 则称为正规模糊集 否则称为非正规模糊集 北京科技大学经济管理学院 37 supp有时也记做 表示的支集是论域U中为正的点的集合 并称supp 为的边界 一 水平截集定义3模糊集的支集supp为 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 北京科技大学经济管理学院 38 二 分解定理和扩张原理分解定理 decompositiontheorem 把模糊集合论的问题化为普通集合论的问题来解 扩张原理 expansionprinciple 把普通集合论的方法扩展到模糊集合中去 分解定理设为论域U的一个模糊集 是的截集 为的特征函数 则 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 北京科技大学经济管理学院 39 所以 解取5个截集 二 分解定理和扩张原理 例1设 求 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 则 北京科技大学经济管理学院 40 而在 0 1 内遍取 可以将分为两类 二 分解定理和扩张原理 分解定理的证明因为是的特征函数 即 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 于是 北京科技大学经济管理学院 41 二 分解定理和扩张原理 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 但 所以 分解定理的证明 续 北京科技大学经济管理学院 42 则由映射f产生的的像为 这就是说 经过映射f后 映射成时 其隶属函数可以无保留的传递下去 亦即经过映射后 模糊集和在论域中的相应元素的隶属度保持不变 如果不是单值映射时 则规定像的隶属度取最大值 二 分解定理和扩张原理 扩张原理设f是从X到Y的一个映射 是X上的一个模糊集 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 北京科技大学经济管理学院 43 因f是平方运算 即 则有 二 分解定理和扩张原理 例2设X 0 1 2 3 9 并令f是平方运算 令 小的 是X上的一个模糊集 其定义为 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 北京科技大学经济管理学院 44 3 3模糊集合的运算 3 2模糊集合与隶属函数 第三章模糊决策 3 1模糊数学与信息革命 3 4模糊集合与普通集合的相互转化 3 5模糊聚类分析 3 6模糊综合评判决策 北京科技大学经济管理学院 45 定义2集合A B的直积的一个子集R称为从A到B的一个二元关系 简称关系 记做 一 直积 关系 模糊关系 定义1集合A和B的直积 descartesproduct 规定为序对 a b 的集合 3 5模糊聚类分析 又称笛卡尔乘积 当A B时 R称为A上的关系 北京科技大学经济管理学院 46 A 张三 李四 王五 B 优 良 中 差 就是张三 李四 王五这三人在考试中可能出现的情况 它共有种搭配方式 设在某次考试中 张三得 优 李四 王五得 中 则构成一个从A到B的关系 即 一 直积 关系 模糊关系 例1 3 5模糊聚类分析 R 张三 优 李四 中 王五 中 显然 R是的一个子集 北京科技大学经济管理学院 47 1 用列表表示关系R若用 1 表示 用 0 表示 则有 一 直积 关系 模糊关系 3 5模糊聚类分析 例1 续 北京科技大学经济管理学院 48 2 用矩阵表示关系R若用 1 表示 用 0 表示 则有 一 直积 关系 模糊关系 3 5模糊聚类分析 例1 续 北京科技大学经济管理学院 49 3 用关系图表示关系R若 则从a到b连一条直线 即 一 直积 关系 模糊关系 3 5模糊聚类分析 例1 续 北京科技大学经济管理学院 50 所刻画 叫做据有关系的程度 一 直积 关系 模糊关系 定义3称直积空间上的一个模糊集为从X到Y的一个模糊关系 fuzzyrelation 记做 3 5模糊聚类分析 模糊关系由其隶属函数 北京科技大学经济管理学院 51 3 5模糊聚类分析 表中第二行身高140cm的学生中40kg的人最多 其权数定为1 其余依比例定为0 8 0 2 0 1和0 其他各行同理可得 则身高 体重的模糊关系如下 一 直积 关系 模糊关系 例2某中学对1238名学生就身高论域X 140 150 160 170 180 单位 cm 体重论域Y 40 50 60 70 80 单位 kg 的统计如下表 北京科技大学经济管理学院 52 模糊向量可以看成一元模糊集的另一种表达形式 模糊向量与普通向量的区别在于前者的诸分量 如果分量仅取0 1二值 即 则称为布尔向量 boolevector 称为n维模糊向量 fuzzyvector 记为 二 模糊矩阵 一 模糊矩阵和关系图设X x1 x2 xn X上的模糊集 3 5模糊聚类分析 它的n个分量 北京科技大学经济管理学院 53 例3设有一组同学为X X 张三 李四 王五 他们可以选学英语 法语 德语 日语四种外语中的任意几门 令Y表示这四门外语课所组成的集合 Y 英语 法语 德语 日语 设他们的结业成绩如下 二 模糊矩阵 一 模糊矩阵和关系图可以用模糊矩阵和关系图表示模糊关系 3 5模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院 54 若用考分来描述掌握的程度 则把他们的成绩都除以100而折合成隶属度 由上表可以构造出一个模糊矩阵 用它来表示 掌握 的模糊关系 例3 续 二 模糊矩阵 一 模糊矩阵和关系图 3 5模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院 55 还可以用相应的图来表示 此图称为关系图 例3 续 二 模糊矩阵 一 模糊矩阵和关系图 3 5模糊聚类分析 X Y 张三 李四 王五 英 法 德 日 0 86 0 84 0 78 0 96 0 66 北京科技大学经济管理学院 56 3 并 设 则称为的并 记为 1 相等 若 则称 二 模糊矩阵 二 模糊矩阵的运算设模糊矩阵 3 5模糊聚类分析 2 包含 若 则称 例如 4 交 设 则称为的交 记为 5 补 余 称为的补矩阵 北京科技大学经济管理学院 57 例4设模糊矩阵 则 二 模糊矩阵 二 模糊矩阵的运算 3 5模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院 58 二 模糊矩阵 其中x y z分别表示论域X Y Z中的元素 叫做矩阵与的合成 也称为与的模糊乘积 定义4设矩阵表示X到Y的模糊关系 矩阵表示Y到Z的模糊关系 则与的合成 3 5模糊聚类分析 定义为X到Z的模糊关系 二 模糊矩阵的运算 6 合成 composition 北京科技大学经济管理学院 59 例5设模糊矩阵 二 模糊矩阵 二 模糊矩阵的运算 3 5模糊聚类分析 其中 如此等等 北京科技大学经济管理学院 60 若则 7 转置 transpose 二 模糊矩阵 设模糊矩阵 称为的转置矩阵 记为 3 5模糊聚类分析 模糊矩阵的转置 具有以下性质 二 模糊矩阵的运算 北京科技大学经济管理学院 61 显然指数法则成立 即m n为整数时有 8 模糊矩阵的幂 二 模糊矩阵 3 5模糊聚类分析 二 模糊矩阵的运算 北京科技大学经济管理学院 62 若 则 则称为的截矩阵 其对应关系叫做的截关系 并称为置信水平 显然是布尔矩阵 三 截矩阵 定义5设给定模糊矩阵 对于任意 记 3 5模糊聚类分析 其中 截矩阵的性质 北京科技大学经济管理学院 63 3 传递性 即 2 对称性 即为对称方阵 以上传递关系是指 包含它与它自身的合成 则称是X上的一个模糊等价矩阵 fuzzyequivalentmatrix 四 模糊等价矩阵与相似矩阵 定义6设X上的一个模糊矩阵 满足 3 5模糊聚类分析 1 自反性 即主对角线上元素都是1 满足自反性和对称性而不满足传递性的模糊矩阵称为模糊相似矩阵 fuzzysimilarmatrix 北京科技大学经济管理学院 64 五 模糊聚类分析 一 截矩阵法 定理1模糊矩阵是模糊等价矩阵的充要条件是对于任意的 截矩阵均为等价布尔矩阵 3 5模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院 65 故都是等价布尔矩阵 由于故为模糊等价矩阵 五 模糊聚类分析 一 截矩阵法 例6设 3 5模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院 66 它们只能各成一类 即 x1 x2 x3 五 模糊聚类分析 一 截矩阵法 例6 续 可以看成反映X x1 x2 x3 的如下关系 3 5模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院 67 易见 x2 x3归并为一类 x2 x3 x1仍独自成为一类 x1 五 模糊聚类分析 一 截矩阵法 例6 续 可以看成另一种关系 3 5模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院 68 五 模糊聚类分析 二 模糊相似矩阵的聚类分析 例7设有X上的模糊关系 3 5模糊聚类分析 试将X x1 x2 x3 x4 x5 进行聚类 定理2如果给定一个模糊相似矩阵 可以用合成运算寻求模糊等价矩阵 然后再对进行聚类分析 北京科技大学经济管理学院 69 显然满足自反性与对称性 又 故不满足传递性 是模糊相似矩阵 五 模糊聚类分析 二 模糊相似矩阵的聚类分析 例7 续 3 5模糊聚类分析 解将模糊关系表写成矩阵形式 北京科技大学经济管理学院 70 现求 故可选定为模糊等价矩阵 对X进行聚类 五 模糊聚类分析 二 模糊相似矩阵的聚类分析 例7 续 3 5模糊聚类分析 北京科技大学经济管理学院 71 取 五 模糊聚类分析 二 模糊相似矩阵的聚类分析 取 X可分为四类 例7 续 3 5模糊聚类分析 X可分为三类 北京科技大学经济管理学院 72 取 X只有一类 五 模糊聚类分析 二 模糊相似矩阵的聚类分析 取 X可分