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决策分析模型 一 概述 在决策问题中 每个可供选择的方案称之为行动 记为a 而所有4可能行动a的集合称为行动空间 记为A 行动是决策系统的自变量 它可以是连续的 也可以是离散的 例如 某地要创建出租车公司 制定了三种购车方案 100辆 150辆 200辆 这里的行动就是一个离散变量 又如 某食品销售公司考虑购进一批食用油 要制定一个利润大 库存积压少的购入量方案 这时的行动就是一个边疆的理 数学模型 方案确定以后 所产生的后果是否唯一确定 有时还领带于一些决策者无法控制的因素 在决策中 把行动确定以后 目标值所领带的参数称为状态 让为 的集合称作状态空间 记为 状态取值可以是连续的 也可以是离散的 例如 某企业经营是否盈利可以分为盈利 盈亏平衡 亏损三种离散状态 企业经营状况也可以使用量化指标表示成连续值 行动在状态下产生的后果 可以用收益或损失表示 在决策中 收益函数 损失函数均称为决策函数 记为F a 决策函数是决策的依据 它与行动空间 状态空间一直构成了决策系统 记为 A F 数学模型 在不确定而唯一确定 在风险决策中 状态是随机变量 它的概率分布已经为决策者所掌握 显然 不确定性决策问题状态的概率分布一旦确定 它便成为风险决策问题 当状态空间 中只有一个元素时 这介决策系统是确定型的 即一旦行动确定 行动的结果使被唯一确定了 如果状态空间 中至少有两个元素 该决策系统对应的决策便是不确定性决策或风险决策 决策问题的研究目标是在行动空间A中找到一个行动a 使决策函数F在一定状态下达到最大或最小 这一行动a称为最佳行动 数学模型 二 确定性决策方法 根据行动的性质 确定性决策问题可以划分为礅散型和连续型两种 由于同一问题往往有多种处理方法 因此 这里只能简单介绍几种常用方法 1 加权评分法在行动方案有限且离散的情况下 加权评分法是确定性问题的一种简便决策方法 该方法把方案涉及到的因素用指标表示 同时考虑不同指标在不同方案下的不同作用 指标值 及各指标重要性 指标权重 的差异 指标权重和指标值经算术合 综合成一个可比量值 来实现方案选优 这种方法能从主观和客观两方面反映问题 所产生的结果一般比较符合实际 数学模型 加权评分法 表1 某商店要购进一批茶叶 有同一品种五品牌A B C D E可供选择 它们的单价茶叶质量 它们是 外形 香气 滋味 汤色 叶底 各指标的权得系数及其在不同方案下的指标值见表1 问题 数学模型 如果设第I个指标的权重系数是 i 该指标在某方案下的分值是x那么 该方案的最后得分F可表示为 其中 k是指标总数 于是 根据上述公式及表中数据 可计算出方案A的总得分 FA 0 2 83 0 4 92 0 3 87 0 05 71 0 05 86 87 35 同理可得 FB 85 35FC 83 45FD 90 10FE 84 10 显然 最佳行动是购买品牌为D的茶叶 问题分析与求解 数学模型 2 微分法当行动是连续变量 或者行动虽是离散变量 但其取值个数很多 甚至是无穷多 行动的取什多一个或少一个数量间接对行动结局基本没有影响 可彩微分法求最佳行动 微分法的理论依据是极值理论 其决策准则是 使收益函数达到最大或使损失函数达到最小的行动就是最佳行动 因此 求最佳行动就是求函数的最大值 或最小值 显然 当行动是连续变量时 如果在行动窨上取出有限个行动的结局逐个比较 以择其优 数学模型 模型构成与求解 根据问题 构造损失函数 由于日产量多一台或少一台对工厂几乎没有什么影响 所以 a可以近似地看作是连续变量 于是 最佳行动可以通过求损失函数的最小值得到 对损失函数求微分可得 令解得a 500 该工厂的最佳行动是每天生产500台电视机 数学模型 3 数学规划法 上面介绍的加权评分法和微分法是确定性决策方法中的两种古典方法 其出发点在于求收益函数的最大值和损失函数的最小值 这两种方法通常适用于变量不多的决策问题 随着变量增加共适用性越来越差 近几十年来 随着运筹学等数学理论的发展 以数学规划理论为基础的一整套最优化方法在决策方面起着越来越重要的作用 例如 处理多变量决策问题的线性规划法 处理离散变量决策问题的整数规划法等 由于这些方法所覆盖的内容过于庞大 这里不再作进一步介绍 数学模型 三 不确定型决策方法 在不确定性决策中 每种运行因状态不同而结果各异 而每种状态的概率分布又事先未知 因此 决策者选择的最佳行动与其行动原则密切相关 1 常用决策方法 为讨论方便 设决策行动是有限的离散变量 其收益矩阵为 除了客观因素的作用 主观因素 例如决策者的偏好 也将对行动原则产生很大的影响 对同一问题不同的决策者往往会作出不同的决策 所以 不能离开行动原则去研究不确定性决策问题 数学模型 表2 下面 以表2中的收益矩阵为例说明不同的行动原则及其具体计算方法 1 小中取大原则及算法 小中取大原则反映了决策者的悲观情绪 是一种保守的决策方法 例如 企业承受风险的能力较差 或最坏的状态很可能发生时 常采用这种决策原则 数学模型 最佳行动是a2 在该行动原则下 满足 2 大中取大原则及算法 与小中取大原则相反 大中取大原则是一种冒险的决策模式 它反映了决策者的乐观情绪和风险意识 这种模式适用于最好状态发生的可能性很大 或研究对象承受风险能力强的情况 在大中取大原则下 满足 的行动a 是最佳行动 由表2及大中取大算法可得 最佳行动是a1 数学模型 3 等概率原则及算法 在缺乏准确信息的情况下 各行动状态是未知的 因此 有理由认为每一状态出现的概率是相同的 均为1 m 在等概率原则下 等价于 所以 满足 的行动a 是最佳行动 由表2及等概率原则可得 最佳行动是a4 数学模型 4 最小后悔值原则及算法 该原则与小中取大原则相似 也带有保守性质 反映了决策者的悲观情绪 但最小后悔值原则与小中取大原则又有所不同 其一是它从损失的角度考虑问题 其二它又不是过分保守 在该原则下 满足 表3 数学模型 由表3及最小后悔值原则可得 最佳运行是a3 5 乐观系数法 小中取大原则显得过于悲观保守 而大中取大原则又显得太冒险 这种情况下可采用乐观系数法 这种方法要求决策者首先提出一个系数 用表示 0 1 来表示其乐观程度 决策者越乐观 值越接近于1 越悲观 值越接近于0 因此 这种方法叫乐观系数法 这种方法尽管避免了两种极端情况 但也没有利用全部可用信息 而且 乐观系数的恰当确定也是一个难点 使用该方法决策 满足 数学模型 其中 由表2及乐观系数法可得 数学模型 表4 2 结果分析 上面介绍了五种常用的决策原则及算法 并以表2的收益矩阵为例得出了最佳行动 所有结果如表4所示 数学模型 很显然 由于信息的不充分与不确定性 不确定性决策的结局很大程度上是由决策者所左右的 这样 对同一问题 不同的决策者可能会作出完全不同甚至是相反的决策 这些不同的决策不可能都符合实际 这种现象只能归究于不确定性决策问题本身 因为没有充分 可靠 准确的信息 期望作出准确可靠的决策是不科学的 数学模型 目前 已经有一些通过对客观信息的充分利用以改进不确定性决策的方法 例如 引进PERT技术中的状态估计方法 对未来状态作出三种估计 即最乐观估计 最悲观估计 最可能估计 综合这三种估计得到期望值 并扰此进行比选 又如二维决策问题的转折概率法 又知客观状态发生先后次序时的等级概率法以及重复型不确定性决策问题的对策解法等等 近来 对不确定决策又有了新的认识 认为不确定性决策与风险决策之间不应存在绝对清晰的边界 因为 实际上很少有百分之百准确的概率数字的风险决策 也很少有对客观状态百分之百无知的所谓不确定性 关键问题是通过什么方法来充分利用已知无知的所谓不确定性 关键问题是通过什么方法来充分利用已知的客观信息 并通过决策者的经验来提高不确定性决策的可靠性 数学模型 四 风险决策方法 在风险决策问题中 尽管已知各种行动发生的概率 其不确定性比完全不确定性决策问题要少些 但由于信息不充分等原因 仍存在一定的风险 所以 风险决策是介于确定性与不确定性之间的一种决策方式 下面 就介绍几种风险条件下常用的决策方法 风险决策通常也受主客观两方面因素的影响 这就要求决策者把概率统计理论与其智慧和经验融合贯通 既尊重客观规律 又发挥人的主观能动性 例如 对于重复性风险型决策问题 各种行动的概率容易通过统计得到 因而 用概率统计方法处理比较合理 但对于一次性或者重复性较少的决策问题 则需要比较多地依靠决策者的经验和智慧 这时 可以用效用理论进行处理 数学模型 1 期望值法 期望值决策方法既克服了各种不确定性决策方法的缺点 同时又保留了这些方法的优点 它用准确的数学语言描述状态的信息 利用参数的概率分布求出每个行动的收益 或损失 期望值 具有最大收益期望值或最小损失期望值的行动是最佳行动 在现实生活中 也不难理解期望值决策方法的合理性 例如 根据大数定理 当某个公司的经营次数趋向充分大时 平均损益的极限就是损益期望值 这就是为什么一个公司的成功 不能急功近利 必须坚持从长期经营中获利的原因 数学模型 有期望值进行决策分析的基本步骤是 1 明确决策问题 2 写出损益矩阵或绘出决策树 3 计算各行动的损益期望值Ej 收益期望值 数学模型 4 选择最佳行动a 现在 就通过一个实例说明期望值决策的具体操作过程 某厂在生产过程中 一关键设备突破发生故障 为了保证履行加工合同 必须在7天内恢复正常生产 否则 将被罚以100万元的违约金 工厂面临两种选择 一是修复设备 7天内修复的概率是0 5 费用为20万元 二是购置新设备 7天内完成的概率是0 8 费用为60万元 那么 工厂选择哪一种行动最佳 问题 表5 数学模型 由期望值计算公式可得 万元 万元 根据决策准则 具有最小损失期望值的修复行动a1是最佳行动 问题求解 在本例中 问题被归纳成一张损益表 实际上 决策树也可以完成同样的的功能 而且可以表达得更加形象 决策树 数学模型 决策树由结点和树枝组成 结点有行动结点 用 表示 状态结点 用 表示 从行动结点长出的树枝是行动分枝 有多少个不同行动就有多少个运行分枝 每个行动分枝上都要标明所代表的行动 从状态结点长出的树枝是状态分枝 状态结点下的分枝数量等于对应行动的状态个数 各状态分枝上要注明对应行动的相应状态概率 而每个行动在各种状态下的损益值 则标注在各对应树梢旁边 上例中的决策问题可用决策树表示成上图1 从行动结点上又长出两动分枝a1 a2 它们的终点是状态结点 每个状态结点上又长出两个状态分枝 于是 树梢总数就是行动个数与状态的乘积 按照损益期望值计算公式同样可以计算出各行动的期望值 计算过程和结果与通过损益表得到的结论完全一致 数学模型 2 贝叶斯法 在风险决策中 可以通过对状态参数的基本认识 得到其概率分布 但这种认识有时过于粗糙 需挖掘新信息对其作出必要的修正 这样 就可以获得更准确的状态参数的概率分析 提高决策的可靠性 这就是贝叶斯决策方法的基本思想 贝叶斯法是利用补充信息进行决策的一种方法 补充信息的作用在于对状态概率原来的估计值 亦即先验概率 进行修正 获得所谓后验概率 并据此进行决策分析 以选取最佳行动 在收集到新信息以前的原有信息称为先验信息 据此估计出的状态概率称作先验概率 数学模型 依据历史资料 某天晴天的概率是0 6 阴天的概率是0 4 这里的概率值指的就是先验概率 记为 在前面介绍期望值决策方法时 被简记为pi 例如 根据天气预报 这一天可能是睛天 也可能是阴天 不妨将这些状态参数记为Xb 那么 又可以有这样一些概率 实际上是晴天预报也是晴天的概率 实际上是晴天预报为阴天的概率 实际上是阴天预报也是阴天的概率 实际上是阴天预报为晴天的概率 这些概率分布称作似然函数 记为 即实际发生的状态是预报成状态Xb的概率 由先验概率和似然函数 通过贝叶斯全概率公式 可以计算出后验概率 m s分别是实际的状态个数和预报的状态个数 用后验概率代表先验概率 可以计算出在预报状态Xb下 各行动的损益期望值 或 那么 在状态Xb下 具有最大收益期望值或最小损失期望值的行动 就是最佳行动 可以看出 对应每个预报状态Xb 均有一个最佳行动 有s个预报状态 便有s个最佳行动相对应 数学模型 某公司的销售收入受市场销售情况的影响 存在三种状态 畅销 一般 滞销 发生的概率分别是0 5 0 3 0 2 公司制定三种销售方案相应的收益情况如表6所示 问题 该公司经过深入的市场调查 对市场销售前景进行了预报 记预报为畅销 一般 滞销的状态分别为X1 X2 X3 似然函数如表7所示 表7 数学模型 那么 针对这三种预报状态应分别采用哪种销售方案呢 由先验概率 似然函数 通过全概率公式可以得后验概率如表8所示 表8 问题求解 根据贝叶斯决策的期望值计算公式可得 当预报畅销时 0 77 200 0 07 50 0 16 100 141 5 数学模型 0 77 150 0 07 100 0 16 50 114 5 0 77 180 0 07 50 0 16 10 140 5 最佳行动方案是a1 当预报畅销时 当预报销售情况一般时 同理可得 最佳行动方案是a2 当预报滞销时 同理可得 最佳行动方案是a3 数学模型 3 效用决策法 效用最决策者对各行动损益值态度的一种度量 它反映了决策者的个人偏好 决策者越喜爱的行动 其效用值越大 决策者越厌恶的行动 其效用值越小 可见 效用是在比较的意义上存在 是一种相对的概念 效用通常用u表示 简单地 u可以取 0 u 1 效用取值于效用函数 效用函数是以损益值为自变量 以效用值为因变量的单调上升函数 它反映的决策者的风险态度 数学模型 效用