《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计.doc

单元课题：函数与方程一、 课标要求与教材分析这一节，是用函数来研究方程，具体研究的是方程的实数解，先是判断方程实数解的存在性，然后是求方程的近似解。方程f(x)=0的实数解就是函数f(x)的零点，解方程的过程（求方程的近似解）就是细化函数连续区间的过程。这样容易看出函数对方程的统领作用，使学生感受函数的核心地位。学生将通过本节学习，结合实际问题，感受运用函数概念简历模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系，并为今后进一步学习函数与不等式等知识奠定了坚实的基础二、学情分析高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节内容必须承载的任务通过本节学习要让学生意识到“数学可以解决实际问题”并且也认识到“自己的数学知识还有待进一步提高”。三、 教学目标1 知识与技能目标：（1）正确认识函数与方程的关系，求方程f(x)=0的实数解就是函数f(x)的零点，体会函数知识的核心作用。（2）能够利用函数的性质判定方程解得存在性（3）能够用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义。2 过程与方法目标：在近似计算的学习中感受近似，逼近和算法等数学思想的含义和作用。3 情感、态度和价值观目标：通过本节的学习，进一步拓展学生的视野，使他们体会数学不同内容之间是存在一定联系的。课时课题：利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标：（1）知识与技能目标了解函数零点的概念；理解函数零点与方程的根之间的关系；掌握判断函数零点存在的方法；（2）过程与方法目标培养学生独立思考,自主观察和探究的能力；树立数形结合，函数与方程相结合的思想；（3）情感态度与价值观目标培养学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特殊到一般地研究方法，形成严谨的科学态度。二、教学重点：函数零点与方程根之间的联系及零点存在的判定定理三、教学难点：探究发现零点存在条件，准确理解零点存在性定理四、教学方法与手段：实例引入、探究新知、实践探索、总结提炼、总结、反思。五、使用教材的构想：倡导积极主动，勇于探索的学习方式，运用数形结合、教师引导学生探索相结合的教学方法，学生亲身经历、感受来获取知识，培养学生观察、发现、抽象与概括、运算求解等思维过程。六、教学流程（一）设置情景，导入新课1、实例引入解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x设计意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求知的热情2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系填空：方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3图象42-2-43-112Oxy42-2-43-112Oxy42-23-112Oxy图象与x轴的交点两个交点：(-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式000方程ax2+bx+c=0 (a0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1 = x2没有实数根函数y=ax2+bx+c (a0)的图象Oxyx1x2Oyxx1Oxy函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标设计意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数的图像及相应方程的根的关系作准备3、一般函数的图象与方程根的关系问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在课件上展示类似如下函数的图象：y2x4，y2x8，yln(x2)，y(x1)(x2)(x3)比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f(x)0有几个根，yf(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为得到零点概念做好铺垫（二）引导探究，获得新知1、函数零点概念：对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点即兴练习：函数f(x)=x(x216)的零点为（ ）A(0，0)，(4，0) B0，4C(4，0)，(0，0)，(4，0) D4，0，4设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值求函数零点就是求方程f(x)0的根2、归纳函数的零点与方程根的关系问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；存在性一致：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点（2）区别：零点是对于函数而言，根是对于方程而言以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础练习：求下列函数的零点：2-2-41O1-2234-3-1-1yx设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）3、零点存在性定理的探索问题5：在怎样的条件下，函数yf(x)在区间a，b上一定有零点？探究：（1）观察二次函数f(x)x22x3的图象：在区间-2，1上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0（“”或“”）abcxyOd在区间(2，4)上有零点_；f(2)f(4)_0（“”或“”）（2）观察函数的图象：在区间(a，b)上_(有/无)零点；f(a)f(b) _ 0（“”或“”）在区间(b，c)上_(有/无)零点；f(b)f(c) _ 0（“”或“”）在区间(c，d)上_(有/无)零点；f(c)f(d) _ 0（“”或“”）设计意图：通过归纳得出零点存在性定理4、零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f(x)=log2x，x，2；（2）f(x)=ex-1+4x-4，x0，1设计意图：通过简单的练习适应定理的使用（三）例题剖析，巩固新知例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f(x)在区间a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点（ ）（2）已知函数y=f(x)在区间a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点（ ）（3）已知函数y=f(x)在区间a，b满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点（ ）请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：abOxyabOxyabOxy归纳：定理不能确定零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点设计意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解例2：求函数f(x)lnx2x6的零点的个数，并确定零点所在的区间n，n+1(nZ)解法1（借助计算工具）：用计算器作出x、f(x)的对应值表x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.67.89.912.114.2由表可知，f (2)0,则f (2) f (3)0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点问题6：如何说明零点的唯一性？又由于函数f(x)在(0，+)内单调递增，所以它仅有一个零点解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下x1234f(x)结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点解法3：将方程lnx2x6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间 6Oxy2134g(x)h(x)由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点设计意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数解法3难度比较大，视学生基础而定（四）尝试练习，检验成果（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)23971151226那么函数在区间1，6上的零点至少有（ ）A5个B4个C3个D2个（2）方程 x 3 3x + 5=0的零点所在的大致区间为（ ）A( 2，0)B(0，1)C(0，1)D(1，2)（3）求方程2-x =x的解的个数，并确定解所在的区间n，n+1(nZ)设计意图：一方面促进对定理的活用，另一方面与引例相呼应，也是例题方法的巩固，为下一节课作铺垫（五）课堂小结（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：函数方程零点根数 值存在性个 数（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间（六）布置作业，独立探究1函数f(x)(x4)(x4)(x2)在区间-5，6上是否存在零点？若存在，有几个？2利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x2)3；（2）ex144x3结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)3(x2)(x3)(x4)x思考题：方程2-x =x在区间_内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备板书设计1.1 利用函数性质判断方程解的存在1、零点概念：例2：2、方程的根与函数零点的关系：3、函数零点存在性定理的条件