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第三章复合命题及其推理复合命题即包含其他命题的命题 构成复合命题的命题称为该复合命题的肢命题 以复合命题为前提或结论的推理是复合推理 一 联言命题及其推理1 联言命题联言命题即断定对象几种情况同时为真的命题 例1 她既是教师又是演员 联言命题由肢命题和联结项两部分组成 组成联言命题的命题即为其肢命题 用字母p q表示 将肢命题结合为一联言命题的逻辑联结词就是它的联结项 符号为 读作 合取 逻辑公式 p并且q 或者 p q联言命题的真假取决于其肢命题的真假 一个联言命题只有在它的所有肢命题都为真时 它才真 只要有一个肢命题为假 它就不能成立 联言命题的真假值可用 真值表 表示 2 联言推理联言推理即前提或结论中包含有联言命题 且根据联言命题的逻辑特性进行的推理 有三种形式 分解式 逻辑公式为 p q p 或者q 组合式 逻辑公式为 p q p q 否定式 逻辑公式为 非p q 并非p q 上述推理形式的有效性 可以从联言命题的真值表得到验证 二 选言命题及其推理1 选言命题选言命题即断定对象的几种可能情况中至少有一种为真的命题 根据选言命题所断定的若干情况能否同时为真 选言命题分为相容和不相容两种形式 相容选言命题 即断定对象的若干情况中至少有一个为真也可能同时为真的命题 相容选言命题由肢命题和联结项两部分组成 其联结项用符号 读作 析取 表示 公式 p或者q 或 p q相容选言命题的真假亦取决于其肢命题的真假 一相容选言命题只有在它的所有肢命题均为假时 它才假 只要有一个肢命题为真 它即为真 相容选言命题的真值表 不相容选言命题 即断定对象的若干情况有一个并且只有一个为真的命题 不相容选言命题的联结项用符号 加点 读作 不相容析取 或 强析取 表示 逻辑公式 要么p 要么q 不相容选言命题的真假取决于其肢命题的真假 一个由两个肢命题组成的不相容选言命题 在其肢命题同真同假时是假的 一真一假时为真 不相容选言命题的真值表 2 选言推理选言推理即以选言命题为前提 并根据选言命题的逻辑特性进行的推理 选言推理也有两种形式 相容选言推理 就是以相容选言命题为前提进行的推理 例2 此刻灯不亮或是因为停电 或是因为电路故障 现已查明 此刻没有停电 所以 灯不亮是由电路故障引起的 相容选言推理的唯一正确形式为 否定肯定式 p q 非p 所以q 肯定否定式 对相容选言推理无效 由此得到相容选言推理的两条规则 不相容选言推理 就是以不相容选言命题为前提进行的推理 例3 下届工会主席要么是小李 要么是小张当选 选举结果小李落选了 所以 小张当选为下届工会主席 不相容选言推理有两种正确形式 否定肯定式 和 肯定否定式 均有效 由此得到不相容选言推理的两条规则 3 选言推理的评估和应用 选言推理的有效性评估第一步 在一论证中区分出推理的前提和结论 辨识推理的类型 是相容还是不相容的选言推理 第二步 概括或提炼该选言推理的标准形式 第三步 根据选言推理的正确式或推理规则验证其是否有效 选言推理的应用当所获取的信息中包含多种可能情况时 可以应用选言推理帮助得出结论 其方法是 将表达各种可能情况的命题用选言联结词组合起来 构成一选言命题 然后根据给定条件 运用 否定肯定式 逐步排除其中的若干可能情况 最后得出确定的结论 三 假言命题及其推理1 假言命题假言命题就是对思维对象情况作有条件断定的命题 故又称 条件命题 例4 如果一个人失血过多 那么他的生命就会有危险 假言命题由肢命题和联结项两部分构成 根据肢命题在整个命题中的作用不同 区分为前件和后件 用字母p q表示 由于肢命题之间的条件关系不同 假言命题分为三种形式 充分条件假言命题 必要条件假言命题和充分必要条件假言命题 充分条件假言命题假设有两个对象A和B 每当A出现 B一定随之出现 则A就构成B的充分条件 或者说A和B之间存在着充分条件关系 反映或断定对象之间这种条件关系的命题即为充分条件假言命题 充分条件假言命题的联结项用符号 读作 蕴涵 表示 逻辑公式 如果p 那么q 或者 p q充分条件假言命题的逻辑含义 当前件p所断定的情况为真 则后件q所断定的情况一定为真 但是 当前件p断定的情况为假 后件q断定的情况是否为假 对此充分条件假言命题未作任何断定 充分条件假言命题的真假取决于其前后件之间是否存在充分条件关系 例5 如果明天不下雨 那么我们就去公园玩 对充分条件假言命题而言 只有在其前件真而后件假的情况下 它才是假的 其他情况均为真 充分条件假言命题的真值表 必要条件假言命题假设有两个对象A和B 只要A不出现 B就一定不出现 则A构成B的必要条件 或者说在A和B之间存在着必要条件关系 反映或断定对象之间这种条件关系的命题是必要条件假言命题 必要条件假言命题的联结项用符号 读作 逆蕴涵 或 反蕴涵 表示 逻辑公式 只有p 才q 或者 p q必要条件假言命题的逻辑含义 当前件p所断定的情况为假 则后件q所断定的情况一定为假 但是 当前件p断定的情况为真 后件q所断定的情况是否为真 对此必要条件假言命题亦未作任何断定 必要条件假言命题的真假同样取决于其前后件之间是否存在必要条件关系 例6 一个人只有年满18岁 他才有选举权 对必要条件假言命题而言 只有在其前件假而后件真时 它才是假的 其他情况均为真 必要条件假言命题的真值表 必要条件假言命题和充分条件假言命题之间存在着密切的内在联系 这种联系的特点是 如果前件p是后件q的充分条件 那么 后件q就构成前件p的必要条件 相应地 如果前件p是后件q的必要条件 那么 后件q就构成前件p的充分条件 据此 可以把任何一个充分条件假言命题转换成与它完全相等值的必要条件假言命题 反之亦然 充分必要条件假言命题假设有两个对象A和B 每当A出现 B就随之出现 而当A不出现时 B也不出现 则A构成B的充分必要条件 或者说在A和B之间存在着充分必要条件关系 反映或断定对象之间这种条件关系的命题就是充分必要条件假言命题 例7 人不犯我 我不犯人 人若犯我 我必犯人 充分必要条件假言命题的联结项用符号 读作 等值 表示 逻辑公式 当且仅当p 则q 或者 p q 充分必要条件假言命题的逻辑含义 当前件p真时 则后件q真 当前件p假时 则后件q假 充分必要假言命题的真假也取决于其前后件之间是否存在充分必要条件关系 对充分必要条件假言命题而言 只有在其前后件同真同假时 它才是真的 否则便为假 充分必要条件假言命题的真值表 2 假言推理假言推理就是以假言命题为前提 并根据假言命题的逻辑特性进行的推理 例8 如果他是作案人 那么他定有作案时间 现已查明 他没有作案时间 所以 他不是作案人 假言推理有三种形式 充分条件假言推理 就是以充分条件假言命题为前提而进行的推理 根据充分条件假言命题前后件之间逻辑关系的特点 充分条件假言推理有两种正确形式 即 肯定前件式 和 否定后件式 逻辑公式为 p q p q p 非q q 非p 充分条件假言推理不能通过否定前件去否定后件 也不能通过肯定后件去肯定前件 由此得到充分条件假言推理的相应规则 必要条件假言推理 就是以必要条件假言命题为前提进行的推理 例9 一个人只有年满18岁 才有选举权 他不满18岁 所以 他没有选举权 根据必要条件假言命题前后件之间逻辑关系的特点 必要条件假言推理有两种正确形式 即 否定前件式 和 肯定后件式 逻辑公式为 p q p q 非p q 非q p 由于必要条件假言命题前后件的关系与充分条件假言命题正相反 因此对充分条件假言推理是正确的形式 即 肯定前件式 和 否定后件式 用于必要条件假言推理是无效的 由此得到必要条件假言推理的两条规则 充分必要条件假言推理 就是以充分必要条件假言命题为前提而进行的推理 根据充分必要条件假言命题前后件之间逻辑关系的特点 它的正确推理形式有四种 肯定前件式 和 否定前件式 肯定后件式 和 否定后件式 由此得到充分必要条件假言推理的规则 2 假言推理有效性的评估第一步 在一论证中区分出推理的前提和结论 识别该推理属哪一种假言推理 根据 假言命题中的逻辑联接词 第二步 概括或提炼出推理的标准形式 第三步 根据正确推理模式或推理规则 验证其是否有效 四 负命题及等值推理1 负命题及其特点负命题就是否定其他命题而形成的命题 当面对一命题 他是足球运动员 要对它予以否定 有多种表达方式 例10 说他是足球运动员是不对的 负命题是一种较特殊的复合命题 它不同于其他各种复合命题 其他的复合命题至少由两个肢命题构成 而负命题只需一个肢命题便能成立 负命题也不同于直言命题中的否定命题 否定命题所否定的是一个概念 而负命题所否定的则是一完整的命题 负命题由肢命题和联结项两部分组成 其联结项用符号 读作 并非 表示 逻辑公式 并非p 或者 p负命题的真假直接取决于其肢命题的真假 若肢命题真 则否定它的负命题为假 若肢命题假 则负命题为真 换言之 负命题与其肢命题是矛盾关系 这同样可用真值表来表示 2 等值推理否定一个命题 亦即肯定了与被否定命题相矛盾的命题为真 一个负命题与其肢命题的矛盾命题在逻辑上是等值的 因此 从一个负命题总是可以推得一与它相等值的新命题 这一过程就是等值推理 3 直言命题的负命题及其等值推理否定一直言命题即得到该直言命题的负命题 由一直言命题的负命题推得一与其相等值的新命题作结论 这一过程即为直言命题负命题的等值推理 SAP SAP SOP SEP SEP SIP SIP SIP SEP SOP SOP SAP 注意 一个单称命题负命题的等值推理 其结论是一相应的单称命题 而不再是特称命题 4 复合命题的负命题及其等值推理否定一复合命题即得到该复合命题的负命题 从一复合命题的负命题可以推得一个与其相等值的新命题作结论 这就是复合命题负命题的等值推理 p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q 假言变选言 p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p p p 五 几种复杂的复合推理复杂的复合推理是指由几个甚至几种不同复合命题为前提而构成的推理 1 二难推理二难推理是由两个假言命题和一个选言命题为前提而推出结论的推理 例11 如果上帝能造出一块他自己举不起的石头 那么上帝不是万能的 如果上帝不能造出一块他自己举不起的石头 那么上帝也不是万能的 上帝或者能造出这样的石头或者不能造出 总之 上帝不是万能的 由于这一推理形式常使论敌陷于左右为难的境地 故得名 二难推理 二难推理有四种不同形式 简单构成式 p q r q p r q 简单破坏式 p q p r 非q 非r 非p 复杂构成式 p q r s p r q s 复杂破坏式 p q r s 非q 非s 非p 非r 2 反三段论这一推理的特点是 大前提为一充分条件假言命题 它的前件为一联言命题 小前提否定大前提的后件并肯定其前件中的一个肢命题 结论否定它的另一个肢命题 其逻辑公式为 如果p且q 则r 非r并且q 所以 非p 3 归谬推理这一推理的特点是 从一命题或假设出发推出两个相互矛盾的论断 由此否定该命题或假设 逻辑公式为 如果p 则q 如果p 则非q 所以 非p 4 反证推理这种推理的特点是 否定一个命题可推出两个相互矛盾的论断 由此肯定该被否定命题 逻辑公式为 如果非p 则q 如果非p 则非q 所以 p 六 模态命题及其推理1 模态命题模态命题就是断定对象之不同确然程度的命题 例12 今天晚上他一定不会来 明天可能会下雨 数学用概率这一量化形式刻画不同确然程度 逻辑则集中讨论必然和可能这两种模态 所以模态命题又称为断定对象之必然性或可能性的命题 模态命题在结构上的特点 总是包含有 必然 或 可能 之类的模态词 在现代逻辑中 用符号 表示 必然 用 表示 可能 逻辑公式为 p 模态命题的形式 对模态命题可以从它所包含的模态词或质两个不同角度进行分类 其基本形式有四种 必然肯定模态命题 逻辑形式为 p 其含义是 断定某件事情的发生是必然的 必然否定模态命题 逻辑形式为 p 其含义是 断定某件事情的不发生是必然的 可能肯定模态命题 逻辑形式为 p 其含义是 断定某件事情的发生是可能的 可能否定模态命题 逻辑形式为 p 其含义是 断定某件事情的不发生是可能的 同素材模态命题的逻辑关系 在同素材的四种模态命题之间也存在着真假上的相互制约关系 这种关系与四种直言命题间的对当关系相同 故又称模态命题的对当关系 模态命题的负命题 否定一个模态命题即得到该模态命