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两种物理量 标量 只有大小 没有方向 如质量 速率 温度 矢量 既有大小又有方向 如速度 加速度 动量 补充 一 矢量和矢量运算 在直角坐标系下 在二维情况下 显然 矢量的加法 两个矢量相加 矢量的减法 两个矢量相减 差矢量方向 减数终端 被减数终端 矢量的内积 点乘 标乘 矢量的外积 叉乘 矢乘 点乘的微分 叉积的微分 若 二 t 和 dt 的含义 当时间由t时刻增加了一定时间间隔时 通常会表述为时间增加到时刻 符号 一般表示改变量或者增加量 如果该值为正 则表明增加 反之 则表明减少 当改变量为无限小量 如时 符号 通常会改写 记为 1求平面图形的面积 一 问题的提出 会求梯形的面积 曲边梯形的面积怎样求 若会 则可求出各平面图形的面积 考虑如下曲边梯形面积的求法 三 积分的含义 思路 用已知代未知 利用极限由近似到精确 一般地 小矩形越多 小矩形面积和越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 用矩形面积近似曲边梯形面积 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 曲边梯形面积的计算 曲边梯形面积的近似值为 有 小矩形面积和 记为 积分上限 积分下限 积分和 1 0内容提要 1 1参考系坐标系物理模型 1 2运动的描述 1 3相对运动 本章目录 力学 研究机械运动及其规律的物理学分支 按研究内容分类运动学 研究物体运动的规律动力学 研究物体运动的原因静力学 研究物体平衡时的规律 机械运动 平动 物体各点的运动情况完全相同 转动 物体各点绕轴作圆周运动 振动 物体各点相对平衡位置作往复运动 实际物体的运动往往包含两种或两种以上运动形式的叠加 如汽车的行进 子弹的飞行 大分子的热运动等等 机械运动 宏观物体之间 或物体内各部分之间 相对位置的变化 斗转星移 海陆变迁电子饶着原子核运动铁生锈 事物腐烂离离原上草 一岁一苦荣少小离家老大还 乡音无改鬓毛衰小时四条腿 长大两条腿 老了三条腿奴隶社会 封建社会 资本主义社会 社会主义社会 人类社会也是不停运动 结论 世界上一切事物都处于运动和变化中 广义运动 一 运动的绝对性和相对性 v地日 30kms 1 观察表明 绝对性 结论 一切运动都是绝对的 但是只有讨论相对意义上的运动才有意义 相对性 二 参考系 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系 选取的参考系不同 对物体运动情况的描述不同 这就是运动描述的相对性 常用的参考系有 地面参考系 地心参考系 太阳参考系 实验室参考系等等 选取原则 使问题的研究最方便 最简单 三 坐标系 为定量地描述物体位置而引入 常用的有直角坐标系 自然坐标系 极坐标系 球面坐标系或柱面坐标系等 直角坐标系 自然坐标系 如果我们研究某一物体的运动 而可以忽略其大小和形状对物体运动的影响 若不涉及物体的转动和形变 我们就可以把物体当作是一个具有质量的点 即质点 来处理 四 物理模型 对真实的物理过程和对象 根据所讨论的问题的基本要求对其进行理想化的简化 抽象为可以用数学方法描述的理想模型 质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型 目的是为了突出研究对象的主要性质 暂不考虑一些次要的因素 物体抽象为质点的条件 1 物体做平动 物体不变形 不作转动 此时物体上各点的速度及加速度都相同 物体上任一点可以代表所有点的运动 2 物体做转动时 所研究的距离远远大于物体本身的线度 另一类问题 把物体化为若干个质点的集合体来研究 一 位置矢量运动方程位移 1位置矢量 确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位置矢量 简称位矢 式中 分别为x y z方向的单位矢量 1 2运动的描述 位矢的方向余弦 P 位矢的值为 1 2运动的描述 运动方程 P 如果质点是运动的 则位矢随时间不断变化 记为 运动方程包含了质点运动的全部信息 是运动学的核心 称为运动方程 1 2运动的描述 从中消去参数得轨迹方程 1 2运动的描述 1 2 为圆周运动 为抛体运动 经过时间间隔后 质点位置矢量发生变化 把由始点A指向终点B的有向线段称为点A到B的位移矢量 简称位移 2位移 1 2运动的描述 位移的大小为 位移 若质点在三维空间中运动 路程 质点实际运动轨迹的长度 1 2运动的描述 位移与路程 C 一般情况 位移大小不等于路程 A 位移是矢量 路程是标量 D 什么情况 当时 1 2运动的描述 不改变方向的直线运动 位移反映物体在空间位置的变化 只决定于质点的始末位置 与路径无关 当时 1 2运动的描述 3速度 1 平均速度 定义 在单位时间间隔质点运动所产生的位移 时间内 质点的平均速度 平均速度与同方向 B A 是描述物体运动快慢和运动方向的物理量 1 2运动的描述 2 瞬时速度 当时平均速度的极限值叫做瞬时速度 简称速度 1 2运动的描述 平均速度大小 若 位矢对时间的变化率 即 质点在三维空间运动 即 说明质点的运动可以分解为各个坐标轴上的分运动 瞬时速率 速度的大小称为瞬时速率 简称速率 当时 当质点做曲线运动时 质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向 即 平均速率 一运动质点的运动方程为 则任意时刻其速度的大小为 1 2运动的描述 2 瞬时速度的大小是否等于速率 答案 相等 1 速度分量Vx 0意味着什么 答案 意味着速度方向沿x轴负向 3 平均速度的大小是否等于平均速率 1 2运动的描述 答案 不一定相等 4 龟兔赛跑这个寓言故事中 谁的平均速率大 谁的瞬时速率大 1 平均加速度 与同方向 反映速度变化快慢的物理量 单位时间内的速度增量即平均加速度 2 瞬时 加速度 4加速度 1 2运动的描述 加速度大小 质点作三维运动时加速度为 1 2运动的描述 加速度的性质 加速度是瞬时矢量 大小 是速度增量的极限方向 方向 加速度分量值的正负意味着什么 正值是否意味着加速 负值是否意味着减速 否 如ax 0意味着 加速度沿x轴分量与x轴负向一致 是否作加速运动决定于加速度和速度的关系 如物体做自由落体运动时 取向上为坐标轴正向 加速度为负 1 2运动的描述 例1已知质点运动函数 加速度函数 求 质点的运动函数矢量式 质点的轨道方程 时间在0 2秒内的位移矢量式 速度函数 1 2运动的描述 质点的运动函数矢量式 质点的轨道方程 1 2运动的描述 时间在0 2秒内的位移 速度函数 加速度函数 1 2运动的描述 2 一质点在xoy平面上运动 运动方程为 式中t以s计 x y以m计 1 以时间t为变量 写出质点位置矢量的表示式 2 求出t 1s时刻和t 2s时刻的位置矢量 计算这1秒内质点的位移 3 计算t 0s时刻到t 4s时刻内的平均速度 4 求出质点速度矢量表示式 计算t 4s时质点的速度 5 计算t 0s到t 4s内质点的平均加速度 6 求出质点加速度矢量的表示式 计算t 4s时质点的加速度 请把位置矢量 位移 平均速度 瞬时速度 平均加速度 瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式 2 将 代入上式即有 解 1 3 4 则 5 6 前情提要 1 自然坐标系下 2 3 1 判断 若质点每一秒内的平均速度都相等 则质点做匀速运动 若运动方程为呢 例已知质点运动函数 加速度函数 求 质点的运动函数矢量式 质点的轨道方程 时间在0 2秒内的位移矢量式 速度函数 质点的运动函数矢量式 质点的轨道方程 时间在0 2秒内的位移 速度函数 加速度函数 运动学中的两类问题 一由已知的运动方程可以求得质点在任一时刻的速度和加速度 二已知质点的加速度以及初始条件 可求质点速度及其运动方程 1 2运动的描述 x 3t y 4t2 解将运动方程写成分量式 消去参变量t 得轨道方程 4x2 9y 0 这是顶点在原点的抛物线 见图1 15 由速度定义得 图1 15 1 2运动的描述 例1 4已知一质点的运动方程为 式中r以m计 t以s计 求质点运动的轨道 速度 加速度 由加速度的定义得 即加速度的方向沿y轴负方向 大小为 其模为 与x轴的夹角 1 2运动的描述 例已知质点的加速度为 且t 0时刻 质点的速度和位矢分别为 求质点任意时刻的速度和质点运动的运动方程 两边积分可得 解 1 2 适用于所有运动 匀加速运动 匀加速直线运动 质点运动的所在的直线为x轴 只取标量式中的第一项 补充 一质点作平面运动 其加速度为 设t 0时 质点由原点从静止出发 求 任意时刻的速度和位置 解 由 可知 1 2运动的描述 由 总结 已知初始条件 1匀速直线运动 质点沿一条直线运动时 其位矢 速度和加速度均沿x轴 此时可将矢量符号省略 t 0 t 2匀加速直线运动 初始条件 t时刻 3自由落体运动 方向竖直向下 t 0 t 初始条件 t时刻 4竖直上抛运动 t 0 t 初始条件 t时刻 质点达到最高点时 抛体运动一般是二维运动 其运动轨迹为抛物线 x0 0 y0 0 已知条件 ax 0 ay g 即 v0 x v0cos v0y v0sin 5抛体运动 求 2 物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间T 1 在直角坐标系下 任意一t时刻物体的速度函数和位置函数 3 飞行中的最大高度Ymax 5 飞行的射程d0 4 飞行的轨迹方程 1 运动函数和速度函数 2 物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间T 令y 0得 解 3 飞行中达到最大高度Ymax时 vy 0 得 4 轨迹方程 消去方程中的参数得轨迹 5 飞行的射程d0为 最大射程 由于空气阻力 实际射程小于最大射程 求最大射程 注意 1 以上关于抛体运动的公式 都是在忽略空气阻力的情况下得出的 只有在初速比较小的情况下 它们才比较符合实际 实际上子弹或炮弹在空气中飞行的规律和上述公式是有很大差别的 例如 以550m s的初速沿45 抛射角射出的子弹 按上述公式计算的射程在30000m以上 实际上 由于空气阻力 射程不过8500m 不到前者的1 3 子弹或炮弹飞行的规律 在军事技术中由专门的弹道学进行研究 2 空气对抛体的影响 不只限于减小射程 对于乒乓球 排球 足球等在空中的飞行 由于球的旋转 空气的作用还可能使他们的轨道发生侧向弯曲 3 对于飞行高度与射程都很大的抛体 例如州际弹道导弹 弹头在很大部分时间内都在大所层以外飞行 所受空气阻力是很小的 但是由于在这样大的范围内 重力加速度的大小和方向都有明显的变化 因而上述公式也都不能应用 斜抛运动 当子弹从枪口射出时 椰子刚好从树上由静止自由下落 试说明为什么子弹总可以射中椰子 1 2运动的描述 斜抛运动 为重力加速度 方向沿竖直向下 其中 取射击点为坐标原点 即 O 1 2运动的描述 吗 1 2运动的描述 问吗 因为 所以 而 例匀速率圆周运动 所以 1 2运动的描述 二 曲线运动的描述 运动轨迹为曲线的运动 描述曲线的弯曲程度 曲率k 曲率半径 曲率半径 曲率半径越小 曲线弯曲得越厉害 1 2运动的描述 曲线在某一点的曲率半径 等于其在该点的密接圆的半径r 1平面曲线运动 质点作曲线运动 将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的轴线 自然坐标 速度 切向单位矢量 指向物体运动方向 法向单位矢量 指向轨道的凹侧 位移 加速度 P1 P2 A 1 2运动的描述 1 2运动的描述 大小 a 切向加速度 方向 切线方向 大小 方向 法线方向 b 法向加速度 1 2运动的描述 一般曲线运动中 直线运动 速度的方向不变 即 一般圆周运动 匀速圆周运动 速度的大小不变 即 向心加速度 利用自然坐标 一切运动都可用切向 法向加速度来区分 an 0a 0 匀速直线运动 an 0a 0 变速直线运动 an 0a 0 匀速曲线运动 an 0a 0 变速曲线运动 解由速率定义 有 例1 5一质点沿半径为1m的圆周运动 它通过的弧长s按s t 2的规律变化 问它在2s末的速率 切向加速度 法向加速度各是多少 将t 2代入 得2s末的速率为 由切向加速度的定义 得 1 2运动的描述 1 圆周运动的角量描述 角速度 角坐标 角加速度 1 2运动的描述 2圆周运动 角位移 匀角加速圆周运动 注意 仅适用于角加速度为恒量情况 1 2运动的描述 若 常量 设t 0时 0 0 可求匀变速圆周运动公式 2 圆周运动的线量描述 速度 位移 加速度 3