高考数学复习第2讲基本初等函数、函数与方程专题突破练理.docx

第2讲基本初等函数、函数与方程1.(1)2016全国卷 若ab1,0c1,则 ()A.acbcB.abcbacC.alogbcblogacD.logaclogbc(2)2018全国卷 设a=log0.20.3,b=log20.3,则 ()A.a+bab0B.aba+b0C.a+b0abD.ab0a+b(3)2017全国卷 设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x5z试做命题角度比较大小(1)解决指数、对数比较大小的问题,关键一:将a,b,c三数化为同底或同指数(或同真数);关键二:利用指数函数、对数函数的单调性或图像比较大小.注意底数a(0a1)的取值不同,单调性不同.(2)解决含字母指数、对数比较大小的问题,关键一:将不等式两边转化成同底的对数或指数不等式;关键二:利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性或图像比较大小.(特殊值法)取特殊值,例如a=4,b=2,c=.(排除法) 将选项中给出的不等式结合已知条件逐个验证排除.2.(1)2017全国卷 已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-B.C.D.1(2)2014全国卷 已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是 ()A.(2,+)B.(1,+)C.(-,-2)D.(-,-1)试做命题角度含参函数有唯一零点的问题关键一:观察函数是否具有某种对称性;关键二:求出f(x),根据f(x)的单调性画出函数f(x)的大致图像;关键三:分离参数,注意验证x=0是否是零点;关键四:数形结合法,对解析式进行变形,转化为两个函数的图像有一个交点.含参数的问题注意分类讨论.3.2018全国卷 已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)试做命题角度据函数零点(方程的根)求参直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.数形结合法:先将解析式变形,转化为两函数图像的交点问题,在同一平面直角坐标系中画出两函数的图像,再数形结合求解.小题1基本初等函数的图像与性质1 (1)已知函数f(x)在定义域(0,+)上是单调函数,若对于任意x(0,+),都有f=2,则f的值是 ()A.5B.6C.7D.8(2)已知函数f(x)=ex+2(x1,0cblogb2018B.logba(c-b)baD.(a-c)ac(a-c)ab4.在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax和g(x)=loga(x+2)(a0且a1)的大致图像可能为()ABCD图M1-2-1小题2函数的零点2 (1)已知函数f(x)=则函数F(x)=ff(x)-f(x)-1的零点个数是()A.7B.6C.5D.4(2)已知函数f(x)=若f(x)在区间0,+)上有且只有2个零点,则实数m的取值范围是.听课笔记 【考场点拨】判断函数零点的方法:(1)解方程法,即解方程f(x)=0,方程有几个解,函数f(x)有几个零点;(2)图像法,画出函数f(x)的图像,图像与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数;(3)数形结合法,即把函数等价地转化为两个函数,通过判断两个函数图像的交点个数得出函数的零点个数;(4)利用零点存在性定理判断.【自我检测】1.已知函数f(x)=-log3x,则下列区间中包含f(x)零点的是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.函数f(x)=2x-的零点个数为()A.0B.1C.2D.33.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=2x+2x-4,则f(x)的零点个数是 ()A.2B.3C.4D.54.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+3m有3个零点,则实数m的取值范围是.小题3函数建模与信息题3 (1)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:)满足函数关系式y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间为192 h,在22 的保鲜时间是48 h,则该食品在33 的保鲜时间为 h.(2)如果函数f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1,x2,x3满足|xi-2|f(xi)=1(i=1,2,3),则称函数f(x)具有性质.已知函数f(x)=aex具有性质,则实数a的取值范围为.听课笔记 【考场点拨】(1)构建函数模型解决实际问题的失分点:不能选择相应变量得到函数模型;构建的函数模型有误;忽视函数模型中变量的实际意义.(2)解决新概念信息题的关键:依据新概念进行分析;有意识地运用转化思想,将新问题转化为我们所熟知的问题.【自我检测】1.国家规定某行业收入税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%;超过280万元的部分按(p+2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元2.函数f(x)的定义域为D,若满足f(x)在D内是单调函数,且存在a,bD,使得f(x)在a,b上的值域为,则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=logm(mx+2t)(其中m0且m1)是“成功函数”,则实数t的取值范围为 ()A.(0,+)B.C.D.第2讲基本初等函数、函数与方程 典型真题研析1.(1)C(2)B(3)D解析 (1)根据幂函数性质,选项A中的不等式不成立;选项B中的不等式可化为bc-1ac-1,此时-1c-1=logab,此时1,0logab1,故此不等式成立;选项D中的不等式可以化为,进而lg alg b,即ab,故在已知条件下选项D中的不等式不成立.(2)a=log0.20.3,b=log20.3,=log0.30.2,=log0.32,+=log0.30.4,0+1,即00,b0,ab0,即aba+b1),则x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以2x=2log2t=lot,3y=3log3t=lot,5z=5log5t=lot,又t1,所以上述三个值中底数大的反而小,故只需比较,的大小即可.因为()6=89=()6,所以125=()15,所以25=()10,所以,所以,所以3y2x5z.2.(1)C(2)C解析 (1)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+ex-2+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=f(x),则直线x=1为f(x)图像的对称轴.f(x)有唯一零点,f(x)的零点只能为x=1,即f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.(2)当a=0时,f(x)=-3x2+1,存在两个零点,不符合题意,故a0.由f(x)=3ax2-6x=0,得x=0或x=.若a0即可,解得a0,则f(x)极大值=f(0)=10,此时函数f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意.综上可知,实数a的取值范围为(-,-2).3.C解析 函数g(x)=f(x)+x+a有两个零点,即方程f(x)=-x-a有两个不同的解,即函数f(x)的图像与直线y=-x-a有两个不同的交点.分别作出函数f(x)的图像与直线y=-x-a,由图可知,当-a1,即a-1时,函数f(x)的图像与直线y=-x-a有两个不同的交点,即函数g(x)有两个零点.考点考法探究小题1例1(1)B(2)B解析 (1)因为函数f(x)在定义域(0,+)上是单调函数,且f=2恒成立,所以f(x)-为一个大于0的常数,令这个常数为n(n0),则有f(x)-=n,且f(n)=2,所以f(n)=+n=2,解得n=1,所以f(x)=1+,所以f=6,故选B.(2)由题意知,方程f(-x)-g(x)=0在(0,+)上有解,即e-x+2-ln(x+a)-2=0在(0,+)上有解,即函数y=e-x与y=ln(x+a)的图像在(0,+)上有交点.由图可知,将函数y=ln x的图像向左平移到过点(0,1)时,两函数的图像在(0,+)上开始有交点,把(0,1)代入y=ln(x+a),得1=ln a,即a=e,a0logb2018,logba1,0cb1,0caba,c-b0,0ac0,(c-b)ca(c-b)ba,(a-c)ac0时,函数f(x)=2-ax为减函数.若0a1,则函数f(x)=2-ax的零点x0=(0,2),且函数g(x)=loga(x+2)在(-2,+)上为增函数.综上得,正确答案为A.小题2例2(1)A(2)解析 (1)令f(x)=t(t0),F(x)=0,则f(t)-t-1=0.作出函数y=f(t)和y=t+1的图像如图所示,结合图像可得f(t)-t-1=0的根t1=0,t2=1,t3(1,2).方程f(x)=0有1个解,方程f(x)=1有3个解,方程f(x)=t3有3个解,故函数F(x)的零点个数是7.故选A.(2)当0x1时,函数的零点满足2x2+2mx-1=0,很明显x=0不是其零点,则m=-x+.当x1时,函数的零点满足mx+2=0,则m=.则原问题等价于函数y=m与函数g(x)=的图像有两个不同的交点,求实数m的取值范围.很明显y=-x+(00,f(3)=-log33=-0,所以f(2)f(3)0,所以函数f(x)=-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.2.B解析 函数f(x)=2x-的零点个数即为函数y=2x和y=的图像的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数y=2x和y=的图像(图略).由图可知,两函数图像有一个交点,故选B.3.B解析 由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.又ff(2)0时单调递增,故当x0时函数有1个零点.根据奇函数的对称性可知,当x0时函数也有1个零点,故一共有3个零点,故选B.4.解析 作出函数y=f(x)的图像如图所示.因为g(x)=f(x)+3m有3个零点,所以0-3m1,解得-m0,即g(x)在2,+)上单调递增;当x2时,g(x)=(1-x)ex,g(x)在(-,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减.方程=|x-2|ex在R上有三个不同的实数根,即函数y=g(x)与y=的图像有三个交点,又g(1)=e,g(2)=0,0.【自我检测】1.D解析 设该公司的年收入为a万元,则280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,解得a=320.故选D.2.D解析 无论m1还是0m0),则mx+2t=可化为2t=-2=-+,结合图像(图略)可得t.备选理由 例1考查对数函数,要求熟悉对数函数的图像与性质,重点是数形结合思想的应用;例2考查零点问题,需要将问题转化为研究三角函数与绝对值函数图像的交点问题,特别是要熟知绝对值函数y=|x+a|的图像关于直线x=-a对称;例3是一个新概念题,依据新概念的要求逐一判断.例1配例1使用 已知函数f(x)是奇函数,定义域为R,且当x0时,f(x)=lg x,则满足(x-1)f(x)0的实数x的取值范围是.答案 (-1,0)解析 作出函数f(x)的图像如图所示.解不等式(x-1)f(x)1时,f(x)0,显然无解;当x0,即-1x0.故满足(x-1)f(x)0的实数x的取值范围是(-1,0).例2配例2使用 已知M是函数f(x)=|2x-3|-8sin x(xR)的所有零点之和,则M的值为 ()A.3B.6C.9D.12解析 D因为f(3-x)=|3-2x|-8sin(3-x)=|2x-3|-8sin x=f(x),所以f(x)的图像关于直线x=对称.作出函数y=|2x-3|和y=8sin x的图像(图略),由图知,f(x)有8个零点,所以所有零点之和为42=12,故选D.例3配例3使用 已知f(x)是定义在D上的函数,若存在m,nD,使函数f(x)在m,n上的值域恰为km,kn,则称函数f(x)是“k型函数”.给出下列说法:f(x)=3-不可能是“k型函数”;若函数f(x)=(a0)是“1型函数”,则n-m的最大值为;若函数f(x)=-x2+x是“3型函数”,则m=-4,n=0;设函数f(x)=x3+2x2+x(x0)是“k型函数”,则k的最小值为.其中正确的说法为.(填入所有正确说法的序号)答案 解析 对于,f(x)的定义域是x|x0,且f(2)=3-=1,