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有理数概念 1 1 在正数前面加上 的数 叫做负数 负数 0 2 0既不是正数也不是负数0是正数和负数的分界0是最小的自然数 也是整数 也是偶数注意 正数前面的 号 可以省略负数前面的 号 不可以省略 正数和负数 2 1 按整数和分数分类正整数整数0有理数负整数分数正分数负分数 有理数分类 自然数 有限小数和无限循环小数 3 2 按正数 负数 0分类正有理数正整数正分数有理数0负有理数负整数负分数 有理数分类 4 注意 非负数 正数和0正整数 正数且整数非正数 负数和0负整数 负数且整数非负整数 正整数和0正分数 分数且正数 自然数 非正整数 负整数和0负分数 分数且负数 有理数分类 5 1 概念 规定了原点 正方向 单位长度的直线 原点三要素 正方向单位长度 数轴 6 2 数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以在数轴上表示正有理数可以用原点右边的点表示负有理数可以用原点左边的点表示0可以用原点表示 数轴 7 3 利用数轴比较有理数大小数轴上两个数右边的数总比左边的数大正数 0负数 0正数 负数 正数大于一切负数 数轴 8 画数轴时 1 都是正数时 原点适当靠左都是负数时 原点适当靠右 2 既有正数又有负数时 如果所表示的正数离原点较远 则原点适当靠左 如果所表示的负数离原点较远 则原点适当靠右 数轴 9 1 概念 代数定义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 求一个数或者式子的相反数 只要在数和式子前面加上负号 EX 数a的相反数为 a正数的相反数是负数负数的相反数是整数0的相反数是0 相反数 10 几何定义 在原点两旁 且到原点的距离相等的两个数互为相反数 2 相反数关系若a b互为相反数 则a b 0若a b 0 则a b互为相反数 相反数 11 3 相反数性质 任何一个数都有相反数 且只有一个 正数的相反数是负数 即当有理数a 0 a 0负数的相反数是正数 即当有理数a 0 a 00的相反数是0 即当有理数a 0 a 0所以 a表示的数不一定是负数 相反数 12 注意 1 互为相反数的两个数一定是成对出现的 不能单独存在 单独的一个数不能说是相反数 2 互为相反数的两个数只是符号不同 相反数 13 多重符号化简 号的个数倒数 相乘为1的两个数负倒数 相乘为 1的两个数 相反数 奇数个 偶数个 14 概念 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a到原点的距离 记作 读作 a的绝对值 绝对值 15 性质 正数的绝对值等于它本身负数的绝对值等于它的相反数0的绝对值等于0a a 0 0 a 0 a a 0 绝对值 绝对值的非负性 0 16 注意 1 任何一个实数都有唯一的绝对值 且任何一个数的绝对值都是非负数 其中最小 2 绝对值相等的数一般有两个 且数字相同 符号相反即 若 则m n或m n 3 在进行绝对值相关化简时 首先要弄清这个数是正 是负 还是0 在进行化简 若题目未指清正负情况时 一般就要分情况考虑 绝对值 17 两个负数比较大小 1 先分别求出这两个负数的绝对值 2 比较这两个数绝对值大小 3 根据 两个负数 绝对值大的反而小 做判断注 1 在数轴上 右边的数总比左边的数大 2 负数 0 正数两个负数作比较 绝对值大的反而小 绝对值 18 有理数加法法则 1 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 2 绝对值不相等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值互为相反数的两个数相加为03 一个数同0相加 扔得这个数 有理数加减法 加法法则 19 提示 有理数的加法运算遵循规律 一定二求三加减 即第一步 确定和的符号第二步 求加数的绝对值第三步 依据加法法则把绝对值相加还有相减 加法法则 20 加法法则 21 互为相反数的两个数相加等于0即a和b互为相反数 那么a b 0a b 0 那么a和b互为相反数 加法法则 22 加法交换律 a b b a有理数的加法中 两个数相加 交换加数的位置 和不变加法结合律 a b c a b c 有理数加法中 三个数相加 先把前两个数相加 或者先把后两个数相加 和不变 加法法则 23 注意 1 有理数的加法运算律不但适用于两个或者三个数相加 而且适合于多个有理数相加 2 在运用加法交换律交换加数的位置时 各加数连同其符号一起交换 加法法则 24 知识拓展 1 互为相反数的两个数可先相加 相反数结合法 2 同分母的分数可先相加 同分母结合法 3 几个数相加得整数时 可先相加 凑整法 4 符号相同的数 可先相加 同号结合法 5 带分数可拆成整数和正分数两部分再相加 同形结合法 加法法则 25 减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数注意 两变一不变即 一是减法变加法二是把减数变成相反数 被减数不变注意 有理数的减法在转化为加法之前 被减数与减数的位置不能改变 因为对于减法来说 没有交换律 减法法则 26 任何数 0 任何数0 任何数 它的相反数一个数减去它本身 0 减法法则 27 注意 1 两个有理数相加 和未必大于每个加数 当其中一个加数为负时 和就小于另外一个加数 2 两个有理数相减 差未必就小于被减数 减数为负时 差就大于被减数 3 在进行有理数加减运算时 式子中的任何数都可以调到任意位置 但是在调换时 要连同其运算符号和性质符号一同调换 减法法则 28 有理数的加减混合运算方法 1 运用减法法则 将有理数加减混合运算中的减法转化为加法 转化为加法后的式子是几个正数 负数的和的形式 2 运用加法交换律 加法结合律运算a b c a b c 减法法则 29 提示 根据有理数减法法则把有理数加减混合运算统一为加法运算按照从左往右的顺序计算 有括号的先算括号里边儿的 减法法则 30 同级运算从左往右计算 有括号先算括号里面的 多重括号 先算小括号 再算中括号 最后算大括号 将有理数减法运算转化为有理数加法运算时 要注意运算符号与数的符号同时改变 减法法则 31 有理数加减法混合运算时 方法归纳 1 正数和负数分别相结合 2 同分母分数或比较容易通分的分数相结合 3 互为相反数的两数相结合 4 和为正数的数相结合 5 带分数一般拆成整数和分数两部分 再分别相加 减法法则 32 省略算式中的括号和加号有理数的加减混合运算可统一成省略括号 加号的几个正数或负数的和的形式ex 9 12 3 7 9 12 3 7 有理数加减法 33 提示 1 只有把加减法统一成加法之后 才能写成省略加号和括号的和的形式 2 省略加号和括号的和的形式有两种读法 a 按加法的结果来读 应读作 负9 负12 负3 正7的和b 按运算来读 应读作 负9减12减3加7 减法法则 34 乘法法则 1 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 2 任何数与0相乘都得0 有理数乘除法 乘法法则 35 提示 1 确定积的符号是乘法运算中至关重要的一步 同号得正 异号得负 专指两数相乘 不要与加法法则混淆 2 有理数相乘的步骤 先观察各因数中有无0因数 若有 则乘积等于0 若没有 先确定乘积的符号 再确定乘积的绝对值 乘法法则 36 知识扩展 1 任何数同1相乘仍得原数 任何数同 1相乘仍得原数的相反数 2 小数和带分数在进行有理数乘法运算时 应把小数化成分数 带分数化成假分数 这样便于约分 乘法法则 37 倒数 乘积是1的两个数互为倒数提示 1 倒数是相互的 即若a是b的倒数 则b也是a的倒数 单独一个数不能称其为倒数 2 正数的倒数仍是正数 负数的倒数仍是负数 因为没有一个数与0相乘等于1 所以0没有倒数 有理数的倒数 38 3 求有理数a a 0 的倒数的方法 当a为整数时 即为a的倒数当a为分数 真分数或假分数 若为带分数 则化为假分数 时 把a的分子与分母颠倒位置 即可得到a的倒数 有理数的倒数 39 知识拓展 1 两数互为相反数 则两数和为0两数互为倒数 则两数积为1 2 相反数是它本身的数是0倒数是它本身的数是绝对值是它本身的数是非负数 有理数的倒数 40 运算方法 1 几个不是0的数相乘 负因数的个数是偶数时 积为正数负因数的个数是奇数时 积为负数 2 几个数相乘 如果其中一个因数为0 那么积为0提示 多个有理数相乘 先确定乘积的符号 再求乘积的绝对值 多个有理数相乘 41 乘法交换律 两数相乘 交换因数位置 积相等ab ba乘法结合律 三数相乘 先把前两个数相乘 或者先把后两个数相乘 积相等 ab c a bc 分配律 一个数同两个数的和相乘 等于把这个数分别同这两个数相乘 再把积相加a b c ab ac 有理数的乘法运算律 42 提示 1 交换因数的位置时 要连同符号一起交换 2 利用分配律计算时 不要漏乘 不要弄错符号 有理数的乘法运算律 43 除法法则 1 除以一个不等于0的数 等于乘以这个数的倒数a b a b 0 2 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0除以任何一个不等于0得数 都得0 除法法则 有理数乘除法 44 提示 1 如果被除数和除数都是整数 且能整除 一般用法2进行计算 先确定商的符号 再将两数的绝对值相除 2 如果被除数和除数都是整数 且不能整除 或者如果被除数和除数中有小数或分数 一般用法1 除法法则 45 知识拓展 1 分数可以理解为分子除以分母 2 两个数相除 若商是1 则这两个数相等 若商是 1 则这两个数互为相反数 除法法则 46 运算顺序 按照从左往右的顺序计算 有括号的先算括号里边儿的步骤 1 一般将除法转化为乘法2 确定积的符号3 最后求出结果 有理数的乘除混合运算 47 提示 乘除混合运算 将除法转化为乘法 算式化成乘积的形式 先由负因素的个数确定积的符号 同时将小数化成分数 带分数化成假分数 在进行计算 计算结果能约分的 必须约分有理数的除法没有运算律 只有统一为乘法时 才能按照乘法运算律进行简便计算 有理数的乘除混合运算 48 1 有理数加减乘除混合运算的顺序 先乘除 后加减 有括号先算括号里边儿的 2 同级运算中 按照从左到右的顺序计算 有理数加减乘除混合运算 49 有理数乘方运算的符号法则 1 正数的任何次幂都是正数 2 负数的奇次幂是负数偶次幂是正数 3 0的任何正整数次幂都是0 乘方 50 有理数乘方的运算方法 1 一是根据底数与指数确定幂的符号二是把绝对值乘方 2 根据乘方的意义 先把乘方转化为乘法 再利用乘法的运算法则进行计算 乘方 51 知识拓展 1 1的任何次幂都是1 1的奇次幂是 1 偶次幂是1 2 互为相反数的两个非零数的奇次幂仍然互为相反数 3 互为相反数的两个非零数的偶次幂相等 乘方 52 概念 有理数的混合运算中 包括加减运算 乘除运算 乘方运算顺序 1 先乘方 再乘除 最后加减2 同级运算 按照从左到右的顺序进行3 有括号 先进行括号内的运算 按小括号 中括号 大括号依次进行 有理数的混合运算 先确定符号 再求绝对值 53 知识拓展 1 将带分数化为假分数 小数化为分数 再进行乘方 乘除等运算 另外 有些运算可以同时进行 以简化运算2 分为三级 1 第一级 加和减 2 第二级 乘和除 3 第三级 乘方 有理数的混合运算 54 科学计数法 1 用科学计数法表示数只是改变数的形式 并没有改变数的大小2 负数用科学计数法表示时和正数一样 区别就是前面多一个 号3 当把一个用科学计数法表示的数还原为原数时 只需将小数点向右移动n位 不足的数位用0补齐 并把10的n次幂去掉 近似数 55 1 确定n时 要根据科学计数法的规定 使它为只含有一位整数的数2 确定n的方法有两种 1 利用整数的位数来求n n等于原数的整数位数 1ex 5300时一个四位数 n 3 2 看小数点移动的位数 小数点向左移动了几位 n就等于几ex 5300到5 3 小数点向左移动了3位 所以n 3 近似数 56 准确数与近似数准确数 确切地反映实际的数 是一个准确数近似数 与实际数接近 但有差别的数是一个近似数 近似数及精准度的确定 57 提示 判断一个数是准确数还是近似数 就是看这个数是确切反映了真是数据