(教师版)青岛中考动点问题.doc

搜集青岛中考模拟题中的数学压轴题动点问题解题策略 近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题。动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察。问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性。 解决这类问题的策略一般有：1.把握点运动的全过程，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，抓住其中的等量关系和变量关系。2.特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，化动为静，由特殊情形（特殊点、特殊位置、特殊图形等）过渡到一般情形。要抓住图形在动态变化中暂时静止的某一瞬间，将这些点锁定在某一位置上，问题的实质就容易显现出来，从而得到解题的方法。3.画出图形，这一步很重要。因为随着点的移动，与之相关的一些图形肯定随着改变，而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变。所以，一定要画图，不能凭空想象。4.当一个问题是有关确定图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊值时，通常建立方程模型求解。一般会涉及到全等和相似。总之，动点问题的解题思路是动中取定（或说动中取静都可以），多画几个图形，通常一种情况画出一个图形，就可以把动点转化成一般的几何证明了。如果设时间为t,一般情况将从以下12个问题中选出（1）求某条线段的长度（2）求某个三角形的面积s与时间t的函数关系式（3）求两个图形重叠部分或动点所带的射线扫某个图形部分的面积s与时间t的函数关系式并求面积的最大值（4）t取何值时两直线平行（5）t取何值时两直线垂直？（6）t取何值时某三角形为等腰三角形三角形？（7） t取何值时某三角形为直角三角形？（8）t取何值时某四边形为特殊四边形？（9） t取何值时两个三角形全等或相似（10）当动点所带的射线把某个中心对称图形的面积二等分时求t.（11）点在运动的过程中，某个图形的面积或角度是否发生变化，若不变，求出这个面积或角的度数，若变化，说明怎样变？（12）当抛物线等分某些特殊点的数量时求t的取值范围2、练习：（2006浙江台州）如图(1)，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边AOB，点C为x正半轴上一动点(OC1)，连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边CBD，直线DA交y轴于点E.xy图(1)（1）OBC与ABD全等吗？判断并证明你的结论;（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化? 若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由.二、与四边形有关的动点问题1. 例题：（2006晋江）在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，A=60，BDAD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD .(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积；(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿ABC的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QNPM. 设点Q运动的时间为t秒(0t10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 . 求S关于t的函数关系式； (附加题) 求S的最大值。解题思路：第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2 cm，由A=60，知AE=1，PE=. SAPE=第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论，P点从ABC一共用了12秒，走了12 cm，Q 点从AB用了8秒，BC用了2秒，所以t的取值范围是 0t10不变量：P、Q 点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2若速度有变化，总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度变化点所用时间+变化后的速度（t变化点所用时间）如当8t10时，点Q所走的路程AQ=18+2（t8）=2t-8 当0t6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=. 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，其面积为（PG + QF ）AG2 S=. 当6t8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-（总量减部分量），QF=，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量），CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），PG=，而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积S=.当8t10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8） =20-2t，（难点）QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=. 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.26. （10分）巳知：如图，梯形ABCD中，ADBC，ABCD3cm，C60，BDCD 求BC、 AD的长度； 若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm秒的速度运动，当 P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）； 在的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为15？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由26.（本小题满分10分）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角满足条件：090)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图）.(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形BHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=，GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；AG(O)ECBF(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面积恰好等于ABC面积的？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由.解：(1)(2)(3)26（本小题满分10分）（1）在上述旋转过程中，BHCK，四边形CHGK的面积不变. 2分证明：连结CG ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点 CG=BG,CGAB.ACG=B=45.BGH与CGK均为旋转角，BGH=CGK.BGHCGK.BH=CK,SBGH=SCGK.S四边形CHGK=SCHG+SCGK=SCHG+SBGH=SABC=44=4.HAG(O)ECBFK即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化.5分(2)AC=BC=4,BH=，CH=4-,CK=.由SGHK=S四边形CHGK-SCHK，得=090，04.8分(3)存在.根据题意，得 解这个方程，得 即：当或时，GHK的面积均等于ABC的面积的10分24（本小题满分12分）如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90，EG4cm，EGF90，O 是EFG斜边上的中点如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在EFG 平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OPAC ?（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）24（本小题满分12分）解：（1）RtEFGRtABC ，FG3cm 2当P为FG的中点时，OPEG ，EGAC ，OPAC x 31.5（s）当x为1.5s时，OPAC 4（2）在RtEFG 中，由勾股定理得：EF 5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），FH（x5）6过点O作ODFP ，垂足为 D 点O为EF中点，ODEG2cmFP3x ，S四边形OAHP SAFH SOFPAHFHODFP（x5）（x5）2（3x ）x2x3 7（0x38（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324则S四边形OAHPSABCx2x368106x285x2500解得 x1， x2 （舍去）0x3，当x（s）时，四边形OAHP面积与ABC面积的比为13241224（本小题满分12分）已知：如图，在中，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接若设运动的时间为（），解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；AQCPB图AQCPB图（4）如图，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由24（本小题满分12分）解：（1）在RtABC中，由题意知：AP = 5t，AQ = 2t，若PQBC，则APQ ABC，图BAQPCH 3（2）过点P作PHAC于HAPH ABC， 6（3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ， 解得：若PQ把ABC面积平分，则， 即3t=3 t=1代入上面方程不成立， 不存在这一时刻t，使线段PQ把RtACB的周长和面积同时平分9（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，P BAQPC图MN若四边形PQP C是菱形，那么PQPCPMAC于M，QM=CMPNBC于N，易知PBNABC， ， ，解得：当时，四边形PQP C 是菱形 此时，在RtPMC中，菱形PQP C边长为121、例题：(05重庆课改)如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒yxOPQA B(1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，APQ与AOB相似？ (3) 当t为何值时，APQ的面积为个平方单位？解：（）设直线AB的解析式为ykxbyxOPQA B由题意，得 b68kb0 解得 k b6所以，直线AB的解析式为yx6（）由AO6， BO8 得AB10所以APt ，AQ102t yxOPQA B1当APQAOB时，APQAOB所以 解得t(秒)2当AQPAOB时，AQPAOB所以 解得t(秒)（）过点Q作QE垂直AO于点EyxOPQA BE在RtAOB中，SinBAO在RtAEQ中，QEAQSinBAO(10-2t)8t所以，SAPQAPQEt(8t) 4t解得t2（秒）或t3（秒）24（本小题满分12分）已知：如图，ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式解：24（本小题满分12分）解： 根据题意：APt cm，BQt cmABC中，ABBC3cm，B60，BP(3t ) cmPBQ中，BP3t，BQt，若PBQ是直角三角形，则BQP90或BPQ90当BQP90时，BQ BP即t (3t )，t1 (秒)当BPQ90时，BP BQ3t t，t2 (秒)答：当t1秒或t2秒时，PBQ是