2018_2019学年高中数学第7章解析几何初步7.2.4.2直线的点斜式方程学案湘教版.docx

第2课时直线的点斜式方程学习目标1掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程2结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义3会根据斜截式方程判断两直线的位置关系知识链接下列说法中，若两条不重合的直线平行，则它们的斜率相等；若两直线的斜率相等，则两直线平行；若两直线垂直，则其斜率之积为1；若两直线的斜率之积为1，则它们互相垂直正确的有_答案预习导引1直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率kyy0k(xx0)斜率存在的直线2.直线l在坐标轴上的截距(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a3直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距bykxb斜率存在的直线要点一直线的点斜式方程例1求满足下列条件的直线的点斜式方程(1)过点P(4，3)，斜率k3；(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；(3)过P(2，3)，Q(5，4)两点解(1)直线过点P(4，3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4)，(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)，即y40.(3)过点P(2，3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ1.又直线过点P(2，3)，直线的点斜式方程为y3(x2)规律方法(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0)(2)点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但xx0除外跟踪演练1(1)过点(1，2)，且倾斜角为135的直线方程为_(2)已知直线l过点A(2，1)且与直线y14x3垂直，则直线l的方程为_答案(1)xy10(2)x4y60解析(1)ktan 1351，由直线的点斜式方程得y2(x1)，即xy10.(2)方程y14x3可化为y14，由点斜式方程知其斜率k4.又因为l与直线y14x3垂直，所以直线l的斜率为.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y1(x2)，即x4y60.要点二直线的斜截式方程例2根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角150，斜率ktan 150.由斜截式可得方程为yx2.(3)直线的倾斜角为60，其斜率ktan 60.直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.规律方法1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“yx3”2截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零跟踪演练2写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是3；(2)倾斜角是60，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30，在y轴上的截距是0.解(1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y3x3.(2)由题意可知，直线的斜率ktan 60，所求直线的方程为yx5.(3)由题意可知所求直线的斜率ktan 30，由直线方程的斜截式可知，直线方程为yx.要点三直线过定点问题例3求证：不论m为何值时，直线l：y(m1)x2m1总过第二象限证明法一直线l的方程可化为y3(m1)(x2)，直线l过定点(2，3)，由于点(2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限法二直线l的方程可化为m(x2)(xy1)0.令解得无论m取何值，直线l总经过点(2，3)点(2，3)在第二象限，直线l总过第二象限规律方法本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现了代数方法处理恒成立问题的基本思想跟踪演练3已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围(1)证明直线方程变形为ya，它表示经过点A，斜率为a的直线点A在第一象限，直线l必过第一象限(2)解如图所示，直线OA的斜率k3.直线不过第二象限，直线的斜率a3.a的取值范围为3，).1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1，2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1答案C解析方程变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.2直线y2(x1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A60，2 B120，2C60，2 D120，2答案B解析该直线的斜率为，当x0时，y2，其倾斜角为120，在y轴上的截距为2.3直线y3(x4)的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有()Ak，b3 Bk，b2Ck，b3 Dk，b3答案C解析原方程可化为yx3，故k，b3.4斜率为4，经过点(2，3)的直线方程是_答案y4x115已知直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为_答案x3解析直线yx1的斜率为1，所以倾斜角为45，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90，其斜率不存在又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x3.1建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.2斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线ybk(x0)，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程一、基础达标1直线的点斜式方程yy0k(xx0)可以表示()A任何一条直线B不过原点的直线C不与坐标轴垂直的直线D不与x轴垂直的直线答案D解析点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线2经过点(1，1)，斜率是直线yx2的斜率的2倍的直线方程是()Ax1 By1Cy1(x1) Dy12(x1)答案C解析由方程知，已知直线的斜率为，所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y1(x1)，选C.3与直线y2x1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()Ayx4 By2x4Cy2x4 Dyx4答案D解析直线y2x1的斜率为2，与其垂直的直线的斜率是，直线的斜截式方程为yx4，故选D.4在同一直角坐标系中，表示直线l1：yk1xb1与l2：yk2xb2(k1k2，b1b2，不合题意；在选项D中，k10时，直线过第三象限；当k0时，直线yax的倾斜角为锐角，直线yxa在y轴上的截距a0，A，B，C，D都不成立；(2)当a0时，直线yax的倾斜角为0，所以A，B，C，D都不成立；(3)当a0时，直线yax的倾斜角为钝角且过原点，直线yxa的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a0，而直线yxa在y轴上的截距a0，所以不满足同理可排除B，D，从而得C正确9直线yax3a2(aR)必过定点_答案(3，2)解析ya(x3)2，即y2a(x3)，直线过定点(3，2)10已知直线yxk与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是_答案(，11，)解析令y0，则x2k.令x0，则yk，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S|k|2k|k2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k21，所以k的范围是k1或k1.11等腰ABC的顶点A(1，2)，AC的斜率为，点B(3，2)，求直线AC，BC及A的平分线所在直线的方程解直线AC的方程：yx2.ABx轴，AC的倾斜角为60，BC的倾斜角为30或120.当30时，BC方程为yx2，A的平分线所在直线的倾斜角为120，所在直线方程为yx2.当120时，BC方程为yx23，A的平分线所在直线的倾斜角为30，所在直线方程为yx2.三、探究与创新12已知直线l的斜率为1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程解设直线l的方程为yxb，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以直角三角形OAB的两个直角边长都为|b|，故其面积为b2，由b2，解得b1，所求直线的方程为yx1或yx1