全国高考数学复习函数与导数第4讲导数的热点问题学案理.docx

第4讲导数的热点问题考情考向分析利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力例1(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)已知函数f(x)ae2xaexxex(a0，e2.718，e为自然对数的底数)，若f(x)0对于xR恒成立(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点x0，且f(x0).(1)解由f(x)ex(aexax)0对于xR恒成立，设函数g(x)aexax，可得g(x)aexax0对于xR恒成立，g(0)0，g(x)g(0)，从而x0是g(x)的一个极小值点，g(x)aex1，g(0)a10，即a1.当a1时，g(x)ex1x，g(x)ex1，x(，0)时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增，g(x)g(0)0，故a1.(2)证明当a1时，f(x)e2xexxex，f(x)ex(2exx2)令h(x)2exx2，则h(x)2ex1，当x(，ln 2)时，h(x)0，h(x)在(ln 2，)上为增函数，h(1)0，在(2，1)上存在xx0满足h(x0)0，h(x)在(，ln 2)上为减函数，当x(，x0)时，h(x)0，即f(x)0，f(x)在(，x0)上为增函数，当x(x0，ln 2)时，h(x)0，即f(x)0，f(x)在(x0，ln 2)上为减函数，当x(ln 2,0)时，h(x)h(0)0，即f(x)h(0)0，即f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，f(x)在(ln 2，)上只有一个极小值点0，综上可知，f(x)存在唯一的极大值点x0，且x0(2，1)h(x0)0，2x020，f(x0)x02(x01)，x0(2，1)，当x(2，1)时，f(x0)；ln(2，1)，f(x0)f；综上知f(x0).思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0)，当a0时，则f(x)0时，则当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)证明令g(x)f(x)2axxeax1xeax1axln x，则g(x)eax1axeax1a(ax1)(x0)，设r(x)xeax11(x0)，则r(x)(1ax)eax1(x0)，eax10，当x时，r(x)0，r(x)单调递增；当x时，r(x)0，r(x)单调递减r(x)maxr0，当0x时，g(x)时，g(x)0，g(x)在上单调递减，在上单调递增，g(x)ming，设t，则gh(t)ln t1(00，且函数f(x)在区间0，)内单调递增，求实数a的取值范围；(2)若0a，试判断函数f(x)的零点个数解(1)函数f(x)在0，)内单调递增，f(x)ex0在0，)内恒成立即aexx在0，)内恒成立记g(x)exx，则g(x)ex10恒成立，g(x)在区间0，)内单调递减，g(x)g(0)1，a1，即实数a的取值范围为1，)(2)0aa)，记h(x)f(x)，则h(x)ex0，知f(x)在区间内单调递增又f(0)10，f(x)在区间内存在唯一的零点x0，即f(x0)0，于是，x0ln.当axx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)minf(x0)2aln2ax0x0a3a23a，当且仅当x0a1时，取等号由0a0，f(x)minf(x0)0，即函数f(x)没有零点思维升华(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势跟踪演练2(2018全国)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)上只有一个零点，求a.(1)证明当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增故h(2)1是h(x)在(0，)上的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)上没有零点若h(2)0，即a，h(x)在(0，)上只有一个零点若h(2)，因为h(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点；由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110，故h(x)在(2,4a)上有一个零点因此h(x)在(0，)上有两个零点综上，当f(x)在(0，)上只有一个零点时，a.热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优例3罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)32n(n1)(2)x32(2)xm2m32(0xm)(2)当m96时，f(x)96160，则f(x)96(64)令f(x)0，得64，所以x16.当0x16时，f(x)0，f(x)在区间(0,16)内为减函数；当16x0，f(x)在区间(16,96)内为增函数，所以f(x)在x16处取得最小值，此时n15.答需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy.(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大解(1)易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为x.所以42x2yx，得y.依题意知0xy，得0x.所以y .(2)依题意，得TABS2x8x2(43)x3.令T16x3(43)x20，得x0或x.因为0，所以当0x0，T为关于x的增函数；当x时，T0，T为关于x的减函数，所以当x时凹槽的强度最大.真题体验(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)(i)若a0，则f(x)0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点(ii)若a0，由(1)知，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)1ln a.当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；当a(1，)时，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；当a(0,1)时，1ln a0，即f(ln a)2e220，故f(x)在(，ln a)上有一个零点设正整数n0满足n0ln，则f(n0)(aa2)n0n0n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)上有一个零点综上，a的取值范围为(0,1)押题预测已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数(1)若0a1，证明：函数G(x)f(1x)g(x)在区间(0,1)上是增函数；(2)证明：in 0，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力(1)证明由题意知G(x)asin(1x)ln x，G(x)acos(1x)(x0)，当x(0,1)，01,0cos(1x)1，acos(1x)0，故函数G(x)在区间(0,1)上是增函数(2)证明由(1)知，当a1时，G(x)sin(1x)ln x在(0,1)上单调递增sin(1x)ln xG(1)0，sin(1x)ln(0x1)令1x，所以x.sinsinlnlnln，in，ln 2ln 0，m0恒成立，即当x(0，)时，Fmin0.又设h(x)Fex2mx2，h(x)ex2m，m0，h(x)单调递增，又h(0)0，则必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0，F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，F(x)F(x0)mx2x0b20，则bmx2x02，又2mx020，m，bx2x02x02，又mx02，x0(0，ln 2)恒成立，令m(x)exx2，x(0，ln 2)，则m(x)(x1)ex1，令n(x)(x1)ex1，则n(x)xex0，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)m(0)0，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少解(1)由题意，得下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)；水底作业时的用氧量为100.99(升)；返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升)，总用氧量y9(v0)(2)y，令y0，得v10，当0v10时，y10时，y0，函数单调递增，当0c10时，函数在(c,10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，当v10时总用氧量最少，当c10时，y在c,15上单调递增，当vc时总用氧量最少综上，若0ce2.(1)解由定义域为(0,1)(1，)，f(x)，设h(x)x2(a2)x1，要使yf(x)在上有极值，则x2(a2)x10有两个不同的实根x1，x2，(a2)240，a0或ae，0x1ex2，又h(0)1，只需h0，即(a2)1e2，联立可得ae2.即实数a的取值范围是.(2)证明由(1)知，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在(1，)上有最小值f(x2)，即t(1，)，都有f(t)f(x2)，又当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)e)，则k(x)10(xe)，k(x)在上单调递增，k(x)k(e)2e，f(t)f(s)e2.3(2018商丘模拟)已知函数f(x)(2x1)ln(2x1)a(2x1)2x(a0)(1)如图，设直线x，yx将坐标平面分成，四个区域(不含边界)，若函数yf(x)的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；(2)当a时，求证：x1，x2(0，)且x1x2，有f(x1)f(x2)2f.(1)解函数f(x)的定义域为，且当x0时，f(0)a0.又直线yx恰好通过原点，函数yf(x)的图象应位于区域内，于是可得f(x)x，即(2x1)ln(2x1)a(2x1)2x0，a.令h(x)，则h(x).当x时，h(x)0，h(x)单调递增；当x时，h(x)0时，时，8a4，u(x)8a0时，f(x)为减函数，不妨设x2x10，令g(x)f(x)f(x1)2f(xx1)，可得g(x1)0，g(x)f(x)f，x且f(x)是(0，)上的减函数，g(x)x1时，g(x)为减函数，g(x2)g(x1)0，即f(x1)f(x2)g(x)(1)解易得g(x)exbb.若b0，则g(x)(0，)，不合题意；若b0，g10，令g(x)exb0，得xln b.g(x)在(，ln b)上单调递减；在(ln b，)上单调递增，则g(x)ming(ln b)eln bbln bbbln b0，be.综上所述，实数b的取值范围是(，0)e，)(2)证明易得f(x)，则由题意，得feae2e，解得a.f(x)ln x，从而f1，即切点为.将切点坐标代入exy2b0中，解得b0.g(x)ex.要证f(x)g(x)，即证ln xex(x(0，)，只需证xln xxex(x(0，)令u(x)xln x，v(x)xex，x(0，)则由u(x)ln x10，得x，u(x)在上单调递减，在上单调递增，u(x)minu.又由v(x)exxexex(1x)0，得x1，v(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，v(x)maxv(1).u(x)u(x)minv(x)maxv(x)，显然，上式的等号不能同时取到故对任意的x(0，)，总有f(x)g(x)5(2018马鞍山模拟)已知函数g(x)xln x，h(x)(a0)(1)若g(x)h(x)对x(1，)恒成立，求a的取值范围；(2)证明：不等式e对于正整数n恒成立，其中e2.718 28为自然对数的底数(1)解方法一记f(x)g(x)h(x)xln xx2，令(x)f(x)ln x1ax，则(x)a，当a1时，x(1，)，(x)a1a0，f(x)在(1，)上单调递减，又f(1)1a0，f(x)0，即f(x)在(1，)上单调递减，此时，f(x)f(1)0，即g(x)h(x)，a1.当0aaa0，f(x)在上单调递增，又f(1)1a0，f(x)0，即f(x)在上单调递増，f(x)f(1)0，不满足题意综上所述，a1，)方法二当x(1，)时，g(x)，令F(x)(x1)，F(x)(x1)，记m(x)x1xln x(x1)，则m(x)ln x0，m(x)在(1，)上单调递减，m(x)m(1)0，F(x)0，即F(x)在(1，)上单调递减，F(x)F(1)1，故a1，)(2)证明由(1)知取a1，当x(1，)时，g(x)h(x)恒成立，即xln x恒成立，即ln x恒成立，即ln(1x)对于x(0，)恒成立，由此，ln，kN*，于是lnlnlnln，故0.(1)求函数f(x)在区间(0，)上的零点个数；(2)函数F(x)的导数F(x)f(x)，是否存在无数个a(1,4)，使得ln a为函数F(x)的极大值点？请说明理由解(1)f(x)ex，当0x时，f(x)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当x(0，)时，f(x)minf，因为ff(0)0，所以存在x0，使f(x0)0，且当0xx0时，f(x)x0时，f(x)0.故函数f(x)在(0，)上有1个零点，即x0.(2)方法一当a1时，ln a0.因为当x时，exa0.由(1)知，当x(0，x0)时，f(x)0.下面证：当a时，ln ax0，即证f0，所以g(x)在上单调递增，由g(1)0，所以存在唯一零点t0，使得g0，且x时，g(x)0，g(x)单调递增所以当x时，g(x)max.由g(1)0，g(e)0，得当x时，g(x)0.故f0,0ln ax0.当0xln a时，exa0，f(x)0，F(x)单调递增；当ln ax0，f(x)0，F(x)f(x)0，F(x)单调递减所以存在a(1,4)，使得ln a为F(x)的极大值点方法二因为当x时，exa0.由(1)知，当x(0，x0)时，f(x)0.所以存在无数个a(1,4)，使得ln a为函数F(x)的极大值点，即存在无数个a(1,4)，使得ln ax0成立，由(1)，问题等价于存在无数个a(1,4)，使得f0，所以g(x)在上单调递增，因为gln0，所以存在唯一零点t0，使得g0，且当x时，g(x)0，g(x)单调递增；所以当x时，g(x)mingt0ln t0t01，由g0，可得ln t0，代入式可得g(x)mingt01，当t0时，gt0