专题二曲线和直线的相交的范围.doc

关于圆锥曲线中的参数范围的问题陈燕春在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨一 判别式法“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，可将它们的方程联立，消去一量得到关于另一变量的一元二次方程。往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。再根据它们的位置关系用判别式得出关于参数的不等式（组）。例1：已知一条斜率为k(k0)直线，与椭圆相交于不同的两点M、N且M、N到点A（0，-1）的距离相等，求k的取值范围。解：设直线的方程为y=kx+m ,P为MN的中点，APMN联立消去y得：设则，故，所以，因为APMN，所以(k0)，所以，由解得：k1且k0。故当时，存在満足条件的直线。例2.已知椭圆的一个顶点A(0,1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线 的距离为3，若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围。解：（既设又解）设右焦点F(c,0)，则由 又b1， 椭圆方程为 设直线l的方程为ykxm 将代入得 由题意 且 点P坐标为 又根据题意知M、N关于直线AP对称，故有 因此可知，所求k的取值范围为 .例3.已知椭圆C的中心在原点上，焦点在x轴上，一条经过点 且方向向量为 的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于点M，又 （1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的长轴长的取值范围.解：（1）由题意设椭圆C的方程为 .直线l的方向向量为 亦为直线l的方向向量直线l的斜率 因此，直线l的方程为 即 （2）设 将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x得 由题设 且又这里M(1,0)由 得 进而由得 ， 故由得 因而得1a0确定的不等式，另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方程中的大小关系：ab0，双方联合推出2a的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键.二、利用曲线的有界性我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究“范围”，一在于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用”它们来解决有关问题。圆锥曲线中所涉及的几何量有不少具有有界性，据此可得关于参数的不等式。例1：已知椭圆（ab0）,A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与 x轴相交于点。证明：证明：设由得：又点A、B在椭圆上故，代入得：，又，于是又 例2.以 为焦点的椭圆 与x轴交于A，B两点（1）过 作垂直于长轴的弦MN，求AMB的取值范围；（2）椭圆上是否存在点P，使APB120？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.解：（1）基于椭圆的对称性，不妨设定 为右焦点，M在第一象限，则易得 ，设A(a,0)，B(a,0)，则AMB为直线AM到BM的角，又 利用公式得 此时注意到椭圆离心率的范围：0e0，y0根据公式得 整理得 又这里代入得此时注意到点P在椭圆上，故得 于是可知，当 时，点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为 ；当 时，点P不存在.例3.已知椭圆的焦点为 ，过点 且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B， ，又椭圆上不同两点A、C满足条件： 成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）设弦AC的垂直平分线方程为ykxm，求m的取值范围.解：（1）由题设得2a10，c4a5，b3，c4椭圆方程为 （2）（设而不解）设 则由题意得 故有点 A、C在椭圆 上 两式相减得 由及所设得弦AC的垂直平分线方程为 由题意得注意到当x4时椭圆上点的纵坐标为 ，又点 在椭圆内部故得于是由、得 所求的取值范围为 例4：已知椭圆C：，对于直线，C上有不同的两点关于此直线对称，求m的范围。解：设M(x,y)为椭圆中斜率为的平行弦中点的轨迹上任一点，是C上关于对称的两点，则：，（1）（2）得：又代入（3）得：因为，故为椭圆中斜率为的平行弦中点的轨迹方程，它与的交点为(-m,-3m).又由已知条件知点(-m,-3m)在椭圆内部，从而有解得：例5.（2004年辽宁卷）设椭圆方程，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为。当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值。解析：（1）动点P的轨迹方程是即（1）由点P的轨迹方程知，即。所以，故当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为。点评：这种求最值问题，实质上是先建立目标函数，再由椭圆的范围确定自变量的取值范围，最后求函数的最值。三 转化为求函数的值域由已知条件，将参数表示为某一变量的函数，通过求函数的值域使问题得到解决。例6：直线与双