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3 3 2简单的线性规划问题 引例 某工厂有A B两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h 每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件 按每天8h计算 该厂所有可能的日生产安排是什么 解决问题 1 用不等式组表示问题中的限制条件 设甲 乙两种产品分别生产x y件 由已知条件可得二元一次不等式组 2 画出不等式组所表示的平面区域 如图 图中的阴影部分的整点 坐标为整数的点 就代表所有可能的日生产安排 解决问题 3 提出新问题 进一步 若生产一件甲产品获利2万元 生产一件乙产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 解决问题 4 尝试解答 设工厂获得的利润为z 则z 2x 3y 求z的最大值 解决问题 解决问题 5 获得结果 每天生产甲产品4件 乙产品2件时 工厂可获得最大利润14万元 相关概念 y x 4 8 4 3 o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数 因为它是关于变量x y的一次解析式 又称线性目标函数 满足线性约束的解 x y 叫做可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 统称为线性规划问题 一组关于变量x y的一次不等式 称为线性约束条件 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解 可行域 可行解 最优解 例5 营养学家指出 成人良好的日常饮食应该至少提供0 075kg的碳水化合物 0 06kg的蛋白质 0 06kg的脂肪 1kg食物A含有0 105kg碳水化合物 0 07kg蛋白质 0 14kg脂肪 花费28元 而1食物B含有0 105kg碳水化合物 0 14kg蛋白质 0 07kg脂肪 花费21元 为了满足营养专家指出的日常饮食要求 同时使花费最低 需要同时食用食物A和食物B多少kg 分析 将已知数据列成表格 解 设每天食用xkg食物A ykg食物B 总成本为z 那么 目标函数为 z 28x 21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 把目标函数z 28x 21y变形为 x y o 5 7 5 7 6 7 3 7 3 7 6 7 它表示斜率为随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距 当截距最小时 z的值最小 M 如图可见 当直线z 28x 21y经过可行域上的点M时 截距最小 即z最小 M点是两条直线的交点 解方程组 得M点的坐标为 所以zmin 28x 21y 16 由此可知 每天食用食物A143g 食物B约571g 能够满足日常饮食要求 又使花费最低 最低成本为16元 例6 在上一节例3中 各截得这两种钢板多少张可得所需A B C三种规格成品 且使所用钢板张数最少 例7 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 硝酸盐18t 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 硝酸盐15t 现库存磷酸盐10t 硝酸盐66t 在此基础上生产这两种混合肥料 列出满足生产条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 并计算生产甲 乙两种肥料各多少车皮 能够产生最大的利润 解 设x y分别为计划生产甲 乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件 x y o 解 设生产甲种肥料x车皮 乙种肥料y车皮 能够产生利润Z万元 目标函数为Z x 0 5y 可行域如图 把Z x 0 5y变形为y 2x 2z 它表示斜率为 2 在y轴上的截距为2z的一组直线系 x y o 由图可以看出 当直线经过可行域上的点M时 截距2z最大 即z最大 故生产甲种 乙种肥料各2车皮 能够产生最大利润 最大利润为3万元 M 容易求得M点的坐标为 2 2 则Zmin 3 解线性规划问题的步骤 2 移 在线性目标函数所表示的一组平行线中 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 3 求 通过解方程组求出最优解 4 答 作出答案 1 画 画出线性约束条件所表示的可行域 巩固练习 2 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 每件销售收入分别为3000元 2000元 甲 乙产品都需要在A B两种设备上加工 在每台A B上加工1件甲所需工时分别为1h 2h A B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h 如何安排生产可使收入最大 设每月生产甲产品x件 生产乙产品y件 每月收入为z 目标函数为Z 3x 2y 满足的条件是 Z 3x 2y变形为它表示斜率为的直线系 Z与这条直线的截距有关 X Y O 400 200 250 500 当直线经过点M时 截距最大 Z最大 M 解方程组 可得M 200 100 Z的最大值Z 3x 2y 800 故生产甲产品200件 乙产品100件 收入最大 为80万元 线形目标函数 目标函数是关于变量的一次解析式 目标函数 把要求的最大值的