线性代数末考试复习资料.ppt

1 2 3 4 5 6 7 1 则方程组有向量形式 线性方程组的向量表达式 若记 线性方程组 即为系数矩阵的第列 8 2 2向量的线性关系 解设 则 所以 定义2 4设有同维向量 如果存在一组数 使得成立 则称向量可由向量组线性表示 或称向量是向量组的线性组合 9 定义2 5 显然 含有零向量的向量组是线性相关的 因为 设有向量组 如果存在一组不全为零的数 使得成立 则称向量组线性相关 否则 称向量组线性无关 即当且仅当全为零时 才成立 则称向量组线性无关 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例 10 小结 3 向量可由向量组线性表示 线性方程组有解 11 向量组的线性相关性的几个性质定理 1 单个非零向量是线性无关的 2 两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例 3 增加向量 不改变向量组线性相关 减少向量 不改变向量组线性无关 即部分相关 则整体相关 整体无关 则部分无关 4 增加分量 不改变向量组线性无关 减少分量 不改变向量组线性相关 即低维无关 则高维无关 高维相关 则低维相关 12 推论2 1任意m m n 个n维向量线性相关 注 由于没有m阶子式 故R A m 推论2 3n个n维向量线性无关 相关 的充要条件是由它们组成的矩阵行列式不等于0 等于0 13 用矩阵的初等行变换来解线性方程组 实际上 将矩阵的初等行变换对比行列式的性质 有 矩阵的初等行变换并不改变矩阵的秩 因此 可以将矩阵先化成行阶梯型矩阵 就可较快求出矩阵的秩 14 特殊行列式的计算 说明 1 2 15 性质1 8行列式的某一行 列 的所有元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式 推论2 如果行列式D有一行 列 的元素全为零 则D 0 推论3 如果行列式D有两行 列 的元素成比例 则D 0 推论1 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 推论4 16 行的运算row 列的运算column 交换i j两行 数乘第i行 数乘第i行加到第j行 交换i j两列 数乘第i列 数乘第i列加到第j列 变号 K倍 等值 变号 K倍 等值 17 定理1 8 设A为方阵 如果 则A可逆 非奇异 非退化 矩阵 且 定理1 7 设A是n阶矩阵 为其转置伴随矩阵 则有 若方程组中常数项全为零 齐次线性方程组 且D不等于零 则该方程组有唯一零解 即若有非零解 则系数行列式D等于零 推论1 5 18 例如乘积阵的第2行元素分别为 A 重要公式 定理1 7 证明 0 A 0 0 19 定理1 8n阶方阵A可逆的充要条件是 证 牢记这个定理 20 证 证 由伴随阵重要公式知 1 伴随阵性质 2 伴随阵性质 21 定义 设A为n阶方阵 若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块 其余子块都是零距阵 且非零子块都是方阵 即 其中 都是方阵 称A为分块对角矩阵 定理1 9分块对角矩阵 22 定理1 9 1 23 伴随矩阵的性质 证1 由伴随阵重要公式知 24 线性相关的一些命题 定理2 3部分蕴涵其中 含有零向量的向量组 总是线性相关的 2 含有相同向量的向量组 总是线性相关的 注 单个零向量构成的向量组线性相关 单个非零向量是线性无关的 25 3 线性相关的向量组添加若干向量后 仍是线性相关的 设存在不全为零 推论 线性无关向量组的部分向量组 仍是线性无关的 反证法 设线性无关向量组 S线性相关 由此部分向量组S扩充 得到 由命题3 线性相关 矛盾 26 定理2 3 1 线性相关向量组添加向量后仍然线性相关 2 线性无关向量组的子向量组必线性无关 3 线性无关向量组中的每个向量扩大同样的维数 得到的新向量组仍然线性无关 27 向量组的等价 如果向量组A可由向量组B线性表示 且B可由A线性表示 则称A与B等价 相互等价的线性无关向量组含有相同的向量个数 性质 1 自反性 任何向量组都与自身等价 如果向量组A与B等价 则B与A等价 2 对称性 3 传递性 如果向量组A与B等价 B与C等价 则A与C等价 28 推论3 任意n个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式不等于零 推论4 任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零 推论1 当m n时 m个n维向量线性相关 定理2 5矩阵A的秩等于r的充要条件是A中存在r个行向量线性无关 且任意r 1个行向量线性相关 29 最大无关组的含义有两层 1无关性 2 最大性 注 1 线性无关向量组的最大无关组就是其本身 2 向量组与其最大无关组等价 3 同一个向量组的最大无关组不惟一 但它们之间是等价的 30 定理2 10 基础解系 通解定义2 11 下面来看如何求齐次线性方程组的通解 书上P61 31 m个方程 n个未知数 非齐次线性方程组 系数矩阵 增广矩阵 矩阵形式 32 记系数矩阵 矩阵形式的方程组可以写成等价的向量形式 记矩阵 B为增广矩阵 方程组 4 有解的充分必要条件是它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等 定理2 11 方程 4 无解的充分必要条件是 R B R A 1 33 1 设R A R B n 向量组 线性无关 而向量组 线性相关 可知b可由 线性表示且表法唯一 即方程 4 有唯一解 2 设R A R B r n 向量组 线性相关 方程 有非零解 对任意的实数k 方程 4 有无穷多解 34 35 性质5 若 为Ax b的解 方程组Ax 0的解 则 是对应齐次 为Ax b的解 由性质4 5可知定理2 12 若 为Ax b的特解 方程组Ax 0的通解 则 是对应齐次 为Ax b的通解 Ax b的通解可写成 Ax 0的通解 Ax b的特解 36 37 命题1 命题2 命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的 38 相似矩阵的性质 若A和B相似 则 A和B有相等的秩 2 方阵A和B有相等的行列式 性质3 2 证明 1 39 推论 如果n阶矩阵A的特征值 互不相同 则A相似于对角矩阵 定理3 7 n阶矩阵A与对