高中数学第2章解析几何初步22.3直线与圆、圆与圆的位置关系第2课时圆与圆的位置关系学案北师大版.docx

第2课时圆与圆的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1.能根据两个圆的方程，判断两个圆的位置关系(重点)2.能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程(难点)1.通过判断两圆的位置关系，提升直观想象素养.2.由两圆的位置关系求有关直线方程或圆的方程，培养数学运算素养.两圆之间的位置关系已知两圆：C1：(xx1)2(yy1)2r，C2：(xx2)2(yy2)2r，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d|C1C2|.则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系圆心距与半径之间的关系图示两圆相离dr1r2两圆外切dr1r2两圆相交|r1r2| dr1r2两圆内切d|r1r2|两圆内含d|r1r2|思考：若两圆只有一个公共点，两圆一定外切吗？提示：不一定，也可能相内切1圆C1：(x1)2(y2)24与圆C2：(x2)2(y2)29的位置关系是()A相离B外切C相交 D内切B圆心距d5，两圆半径的和r1r2235，则dr1r2，即两圆外切2若圆x2y24与圆x2y22axa210相内切，则a_.1圆x2y22axa210，配方得(xa)2y21，两圆的连心线长为|a|21，解得a1.3圆x2y21与圆(x1)2y21的公共弦所在的直线方程为_x设两圆相交于A，B两点，则A，B两点满足两式相减得2x10，即x.两圆位置关系的判断【例1】已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，则m为何值时：(1)圆C1与圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内切？解圆C1，圆C2的方程经配方后为C1：(xm)2(y2)29；C2：(x1)2(ym)24.其中C1(m，2)，C2(1，m)，r13，r22.(1)如果C1与C2外切，则有32，即(m1)2(m2)225，m23m100，解得m5或m2.(2)如果C1与C2内切，则有32，即(m1)2(m2)21，m23m20，解得m2或m1.综上，当m5或m2时，圆C1与圆C2外切；当m2或m1时，圆C1与圆C2内切判定两圆位置关系的步骤：(1)将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径；(2)计算圆心距，半径和，半径差的绝对值；(3)利用圆心距，半径和，半径差的绝对值判定两圆的位置关系.1已知圆x2y2m与圆x2y26x8y110相交，则实数m的取值范围为_(1,121)圆x2y2m的圆心坐标为(0,0)，半径为r1，圆x2y26x8y110的圆心坐标为(3,4)，半径r26，圆心距：d5，若两圆相交，则圆心距|r1r2|dr1r2，所以|6|56，即|6|5，解得1m121.两圆公共弦的问题【例2】已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度思路探究先把两圆方程化为标准方程，判断两圆的位置关系，作差求公共弦所在直线方程，求公共弦的长度解(1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210.则圆C1的圆心为(1，5)，半径r15；圆C2的圆心为(1，1)，半径r2.又|C1C2|2，r1r25，r1r25，r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x2y40.(3)法一：两方程联立，得方程组两式相减得x2y4，把代入得y22y0，y10，y22.或所以交点坐标为(4,0)和(0,2)两圆的公共弦长为2.法二：两方程联立，得方程组两式相减 得x2y40，即为两圆相交弦所在直线的方程由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心为C1(1，5)，半径r15.圆心C1到直线x2y40的距离d3，设公共弦长为2l，由勾股定理r2d2l2，得5045l2，解得l，所以公共弦长2l2.1求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长2求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：2(1)若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.(2)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆x2y23x0的公共弦所在直线过点(5，2)，求圆C的方程(1)1两圆公共弦所在直线方程ay1，再由圆心(0,0)到直线ay1的距离等于1且a0，得a1.(2)解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x2)2(y1)2r2，即x2y24x2y5r2，两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x2y5r20，因为该直线过点(5，2)，所以r24，则圆C的方程为(x2)2(y1)24.两圆位置关系的应用【例3】求过两圆x2y240和x24xy20的交点，且圆心在直线xy60上的圆的方程思路探究求出交点，再求圆心和半径得圆的方程解法一：由得或因为点(1，)和(1，)都在直线x1上，故过这两个点的圆的圆心在x轴上又圆心在直线xy60上，圆心为(6,0)，半径r.圆的方程为(x6)2y228.法二：设所求圆的方程为x2y24(x2y24x)0(1)整理得x2y2x0.圆心在直线xy60上，60.解得.所求圆的方程为x2y212x80.常见的圆系方程有：设两相交圆C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20，则C3：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)表示过两相交圆交点的圆(不包括C2)；当1时，(D1D2)x(E1E2)yF1F20表示两圆的公共弦所在直线的方程.,方程x2y2DxEyF(axbyc)0，表示过圆x2y2DxEyF0与直线axbyc0交点的圆.3求与圆x2y22x0外切且与直线xy0相切于点(3，)的圆的方程解设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，将x2y22x0化为标准方程，得(x1)2y21，由题意可得解得或故所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.1判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用(2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系2当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程3求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长1思考辨析(1)两圆方程联立，若有两个解，则两圆相交()(2)两圆方程联立，若无解，则两圆外离()(3)若两圆有公共点，则|r1r2|dr1r2.()解析(2)，两圆方程联立，若无解，则两圆无交点，相离或内含答案(1)(2)(3)2两圆x2y210和x2y24x2y40的位置关系是()A内切B相交C外切 D相离B圆x2y210的圆心C1(0,0)，半径r11，圆x2y24x2y40的圆心C2(2，1)，半径r23，两圆心距离d|C1C2|，又r2r12，r1r24，所以r2r1dr1r2，故两圆相交3若圆C1：x2y216与圆C2：(xa)2y21相切，则a的值为()A3 B5C3或5 D3或5D圆C1与圆C2的圆心距d|a|.当两圆外切时，有|a|415，a5，当两圆内切时，有|a|413，a3.4求与圆(x2)2(y1)24相切于点A(4，1)且半径长