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指数标度在AHP标度系统中的核心作用* 广西壮族自治区教育厅科研基金资助（桂教财1996403号）吕跃进* 吕跃进，1958年出生，广西大学副教授， 天津大学管理学院访问学者。主要研究方向：数学模型，预测与决策等。Email: (广西大学数学与信息科学系, 530004)张维(天津大学管理学院)摘要 当前人们在AHP应用中提出了各种各样的标度,本文在分析比较各种标度后得出指数标度是核心标度的结论,证明了1-9标度与指数标度不相容,指出许多标度只是指数标度在某种情况下的特例,提出确定指数标度参数的两种方法，最后指出应用指数标度时应注意一些问题并提出了解决办法。关键词 层次分析 标度 指数标度1引言标度系统的选择是新型决策方法AHP应用中一个最基本的问题。将人的定性主观判断转换为一个定量的判断矩阵，其合理性完全取决于标度的选择。在实践中人们提出了互反型与互补型两种类型的标度，而每一种类型的标度又存在多种不同的标度，不同的标度之间有什么关系？如何根据具体问题选择最优的标度？由于互补型标度系统可以转换为互反型的，在本文中主要讨论互反型的标度系统。在目前流行的几个互反型标度（包括1-9标度、指数标度、分数标度）中，指数标度因其以心理学中的韦伯定律为基础，同时具有许多优异的性能而得到人们广为接受和高度评价，而在实际应用中，人们从各自的观点出发提出了若干个不同的指数标度系统并且有的作者并没有说明自己提出的标度系统是指数标度，这引起了使用中的一些混乱，有必要在应用中澄清这些问题。2 指数标度系统1980年，T.L.Saaty教授在文献1中极力推荐使用1-9标度的同时，也讨论了心理学上的韦伯定律对建立标度系统的作用，已经提出了指数标度系统的初步概念，并在椅子的光学实验中使用了两个具体的指数标度：2标度和9标度 (n=0,1,2,8)，可惜他没有对指数标度作进一步的讨论。国内学者舒康，梁镇韩等人在1990年在文献4中指出了1-9标度的缺陷，AHP原理要求比较判断数值c是因素c与c重要性之比，而1-9标度给出的却是c与c的重要性之差，这一方面引起相对权重的计算结果失真，一方面导致判断矩阵一致性与判断思维一致性不等价，使矩阵一致性指标不能真正反映思维一致性程度。然后利用心理学上的韦伯-费希纳定律，即S=k logR 或 R=10（其中S为人的主观感觉量，R为客观刺激量，k为韦伯常数），建立了“等距分级，等比赋值”的指数标度法，具体方法是把决策者关于因素ci 比cj重要程度的主观感觉判断等差距地分成若干个等级，如“同样”重要、“稍”重要、“明显”重要、“很”重要、“极端”重要等，分别以 cij=0，1，2， .( i,j=1,2,n)表示。设相邻两级客观重要性比率为a(a1),则ci与cj客观重要性比率 w/w = a分别称 C=（c） ， A=（a） 为主观感觉判断矩阵和客观差别判断矩阵。计算排序向量时对客观差别判断矩阵A使用特征向量法。文4中对重要性程度没有规定具体应该分多少级，而从其后面所举的例子来看，该文作者使用与1-9标度相同的9级划分方法，为叙述方便，本文记文4例子中的指数标度为a标度（n=0,1,2,8）。指数标度有着许多突出的优点：以心理学韦伯-费希纳定律为依据；判断思维一致性与客观差别判断矩阵的一致性等价；因素之间的排序当用对数最小二乘法时不因参数a的改变而改变；可调整参数使排序权值方便灵活地调整直到满意。3 指数标度a与其它标度的关系首先将常见的标度列表如下：表1 1-9标度与各种标度的比较 标度 区分1-9标度指数标度 a 2标度9标度标度变形9n/8标度9标度1.5标度a=1.59/99/1 标度10/1018/2标度 相同 129999a 9/9 10/10 稍微重要 3 2 9 9 9 9 a 9/7 12/8 明显重要 5 2 9 9 9 9 a 9/5 14/6 强烈重要 7 2 9 9 9 9 a 9/3 16/4 极端重要 9 2 9 9 9 9 a 9/1 18/2 通 式 k 2 9 9 99a 标度来源 1 4 1 8 67 5 11k的范围 080906 083.1指数标度与1-9标度之间的关系容易看出，1-9标度与a标度有一个简明的相互转换公式： k a （k=1,2,3,9） （1）1至9这九个数字本应是重要性程度的九个级别，直接将它们作为标度值是存在许多问题的。事实上正如许多学者指出的那样4,5,6,7，1-9标度的缺陷很多，一是它的排序权值较粗并且与人们的判断差别较大，二是有可能出现与实际情况相反的逆序，三是矩阵一致性与思维一致性相脱节。指数标度可以完全克服1-9标度的问题。本文下面将进一步指出，当n3时1-9标度下的判断矩阵与指数标度下的判断矩阵一致性相矛盾，这就是定理1设A=，B=分别是1-9标度和指数标度下的判断矩阵，n3,且A中至少有三行元素两两不全等，则当A一致时，B必不一致；反之，当B一致时，A必不一致。证明：如果A,B均为一致矩阵，则对任意1i,j,kn应有，及bijbjk=bik由两个标度的关系（1）可知b=a,所以又有,故得 (2)而方程组 的解为x=1，y=c或x=c, y=1。因此对任意1i,j,kn均有 或 。当时，由k的任意性知第j行与第i行对应元素相等。当时,对任意1in，由A的一致性,所以，即第j行与第k行对应元素相等。由i,j,k的任意性可知矩阵A中的任意三行元素中必有两行元素对应相等，这与题设相矛盾。证毕。定理1说明，1-9标度与指数标度是不相容的，这是一个不容忽视的问题。3.2指数标度与一些新标度的关系1990年以后，不断地有新标度出现在期刊上，我们需要指出的是，尽管其中一些作者并没有说明他们提出的新标度是指数标度的一种，而实际上大部分新标度就是指数标度的某种变型或特例。文献7提出的是10级的指数标度，本文记为9标度(n=0,1,2,9)，文献5提出的是7级指数标度，本文记为（1.5）标度（n=0,1,2,3,4,5,6）。文献8提出的标度（或称可复合标度）实际上是划分9级的指数标度。文献6提出的一个改进的标度，实际上是对9标度进行改进，保留标度值不变，但对重要性程度对应的标度作出改变，本文称之为变形9标度。上述各指数标度之间的相容性如何？我们将在另一文中加以讨论。3.3指数标度与分数标度的关系在文献5中，提出了两个分数标度9/99/1标度和10/1018/2标度。经分析发现，9/99/1标度实际上是一种指数标度标度的近似，而10/1018/2标度则是两个指数标度标度和a标度的平均标度的近似，见表2。表2 指数标度与分数标度的关系 标度 区分1-9标度指数标度 a标度9/99/1 标度 10/1018/2标度(an+)/2标度(平均) 相同 1a=19=19/9=110/10=1 1 稍微重要 3 a=1.732 9=1.3169/7=1.28612/8=1.5 1.524 明显重要 5 a=3 9=1.7329/5=1.8 14/6=2.333 2.366 强烈重要 7 a=5.194 9=39/3=3 16/4=4 4.097 极端重要 9 a=9 9=99/1=9 18/2=9 9 通 式 k a 9 (ak-1+ak)/2A的取值91/8 = 1.316K的范围 084 正确使用指数标度从上面各个标度系统之间的关系我们可以看出，指数标度系统在整个层次分析法标度系统中占有核心地位。与其花费时间寻找新标度，不如先将指数标度研究透彻。指数标度事实上还存在一些尚未解决的问题，如：如何确定参数a？如何将数字等级与重要性程度对应得更加合理？取不同的参数a,可以得到不同的指数标度；取不同的重要性等级数，也可得到不同的指数标度；而将同一个重要性程度对应着不同的级别数，又可得到不同的指数标度。因此，指数标度可以有多种形式，在实际运用中应该如何正确使用指数标度呢？4.1 重要性程度等级分几级较好从心理学上考虑，人们对两个事物差别程度的辨别区分能力是有限的，通常能区分至多9级，超过9级时的判断极易产生混乱与模糊不清。因此，一般情况下重要性程度等级分为9级为宜。但当对精度要求不高时，也可分为7级或5级或3级。而在精度要求很高且两两比较可借助于其他工具或对问题的了解较清晰足以作出较为精确的判断时，也可分为9级以上。4.2 如何将重要性程度的语言描述与数量等级对应首先要选择合适的语言来描述重要性程度，文1采用“同等重要”、“稍微重要”、“明显重要”、“强烈重要”和“极端重要”等语言来描述，其中“强烈重要”带有明显的外来语特征，不一定适合中国人的思维习惯。建议采用国内对重要性程度判断比较流行的语言，如“相同”、“稍重要”、“重要”、“明显重要”、“很重要”、“非常重要”、“极端重要”等等。现采用9级标度，设计如下调查表作调查：在对两个因素相对于某一准则作重要性比较时，需要给出这两个因素重要性的差别程度。如果这两个因素的重要性程度相同，则它们的差别为0；假如当因素A比因素B极端重要时，它们的差别数为8。那么当因素A比因素B的重要性程度分别用“稍重要”、“重要”、“明显重要”、“很重要”、“非常重要”时，它们相应的差别数分别应该是多少？请将你的选择填入表3内：表3 重要性程度级别调查表重要性程度描述同等重要极端重要重要性程度级别之差 0 1234567 8 在调查中还对判断推理的一致性问题作了研究。调查发现，如果A比B稍重要，B比C稍重要，那么A就比C明显重要；如果A比B明显重要，B比C明显重要，那么A就比C要很重要；如果A比B很重要，B比C很重要，那么A就比C极端重要。调查的结果为表4：表4 重要性程度级别调查结果重要性程度描述同等重要稍重要明显重要相当重要很重要非常重要极端重要重要性程度级别之差 0 12346 84.3 如何确定参数a对于有物理背景时的情形，可咨询有关专家或查阅相应物理文献来确定参数。对于一般的社会经济系统，参数的确定则应以心理学定律和相应的心理学实验为依据，并可使用以下两种方式来确定参数：方式一：通过调查确定第1级与第0级的权重之比，这个比率就是参数a。设计如下的调查表：如果因素A比B稍微重要（在同等重要与稍微重要之间不可再划分另一个中间级别，即稍微重要是能区分两个因素重要性程度有差别的最小等级），则你认为它们的重要性程度之比是（ ） 5545 6040 6555 7030 7525经调查，可取a=(55/45+60/40)/2=1.3611.方式二：（人为规定）假设因素A比B相比极端重要，其重要性程度之比为m,则由a=m可得参数a=。通常情况下，考虑到两两比较中的因素重要性程度应当在同一数量级上才容易比较，所以大多数学者都认为9是重要性之比的极限。但也有学者持不同的观点，认为可以突破9的限制。例如，若取k=8(即重要性程度分为9级)，m=9 ,则a=1.3160 ,这就是文8中的标度。若取k=9,m=9,则a=1.2765 ,可得文7中的指数标度。若取k=6,m=9,则a=1.4422,可得文5中的标度，等等。5 结论指数标度在层次分析法的标度系统中起着核心作用，指数标度允许有多种形式。若干新标度实际上指数标度的特例。两个分数标度中9/99/1标度实际上是一种指数标度标度的近似，而10/1018/2标度则是两个指数标度标度和a标度的平均标度的近似。1-9标度与指数标度不相容。因此，应重视对指数标度的深入研究，在AHP应用中应使用指数标度。本文对指数标度重要参数的确定提出了两种方法，同时对正确应用指数标度提出了一些可行的解决方案。参考文献1 T.L .Saaty. 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