2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质练习新人教A版.docx

2.4.2抛物线的简单几何性质课时过关能力提升基础巩固1抛物线2y=3x2的准线方程为()A.y=-16B.y=-14C.y=-12D.y=-1解析:抛物线的标准方程为x2=23y,准线方程为y=-16.答案:A2以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点,且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y解析:抛物线的通径为2p=8,且以x轴为对称轴,其方程为y2=8x或y2=-8x.答案:C3顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A.x2=3yB.y2=6xC.x2=12yD.x2=6y答案:C4如图,已知点Q(22,0)及抛物线y=x24上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是()A.2B.3C.4D.22解析:如图所示,过点P作PM垂直抛物线的准线于点M,则由抛物线的定义可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由F(0,1),Q(22,0),得最小值为|QF|=(22-0)2+(0-1)2=3.故y+|PQ|的最小值为3-1=2.答案:A5过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线,交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2为()A.4B.-4C.p2D.-p2解析:(方法一)特例法:当直线垂直于x轴时,Ap2,p,Bp2,-p,y1y2x1x2=-p2p24=-4.(方法二)由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得y1y2=-p2,则y1y2x1x2=y1y2y122py222p=4p2y1y2=4p2-p2=-4.答案:B6设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)答案:C7过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为.解析:抛物线的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,p=2.由抛物线的定义,知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即x1+x2+p=7,故x1+x2=5.于是弦AB的中点M的横坐标为52,因此点M到抛物线准线的距离为52+1=72.答案:728设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是.解析:设直线l方程为y=k(x+2),当k=0时,直线l与抛物线有一个交点;当k0时,与抛物线联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.由=64-64k20,解得-1k1,且k0,所以-1k1.答案:-1,19求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.解:抛物线y=x2上一点P(x0,y0)到直线l:x-y-2=0的距离为d,则d=|x0-y0-2|2=|x02-x0+2|2=12x0-122+74.当x0=12时,dmin=728.10过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程.解:为当k不存在时,直线方程为x=-3与抛物线无交点,所以直线斜率k存在,设直线方程为y-2=k(x+3),由y-2=k(x+3),y2=4x,消去x,整理得ky2-4y+8+12k=0.(1)当k=0时,方程化为-4y+8=0,即y=2,此时过点(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.(2)当k0时,方程应有两个相等的实根,所以k0,=0,即k0,16-4k(8+12k)=0,解得k=13或k=-1.则直线方程为y-2=13(x+3)或y-2=-(x+3),即x-3y+9=0或x+y+1=0.由(1)(2)可知所求直线有三条,其方程分别为y=2或x-3y+9=0或x+y+1=0.能力提升1已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:直线y=kx-k=k(x-1),直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k0时,直线与抛物线有两个公共点.答案:C2直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于()A.74B.2C.94D.4解析:直线4kx-4y-k=0,即y=kx-14,即直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点14,0.设A(x1,y2),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+12=4,即x1+x2=72,则弦AB的中点的横坐标是74,故弦AB的中点到直线x+12=0的距离是74+12=94.答案:C3已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上,且|AK|=2|AF|,则AFK的面积为()A.4B.8C.16D.32解析:抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,K(-2,0).设A(x0,y0),如图所示,过点A向准线作垂线,垂足为B,则B(-2,y0).|AK|=2|AF|,且|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,y0=4.AFK的面积为12|KF|y0|=1244=8.答案:B4过抛物线y=14x2的准线上任意一点作抛物线的两条切线,若切点分别为M,N,则直线MN过定点()A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)解析:y=14x2可化为x2=4y,则抛物线的准线方程为y=-1.取准线上的特殊点(0,-1),并设过点(0,-1)与抛物线相切的切线方程为y+1=kx,代入到x2=4y中并消去y,得x2-4kx+4=0.令=(-4k)2-16=0,则k=1.求得M,N的坐标分别为(2,1),(-2,1).结合选项可知直线MN必过点(0,1).答案:D5若抛物线过点(1,2),则抛物线的标准方程为.解析:当焦点在x轴正半轴时,设其方程为y2=2p1x(p10),则4=2p1,即p1=2,故抛物线的标准方程为y2=4x.当焦点在y轴正半轴时,设其方程为x2=2p2y(p20),则1=4p2,即p2=14,故抛物线的标准方程为x2=12y.答案:y2=4x或x2=12y6设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为.解析:如图所示,由已知可得点Bp4,1在抛物线y2=2px上,即1=2pp4,故p=2.故B24,1,准线为x=-22.因此,点B到准线的距离为324.答案:3247抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=45|PQ|,则|QF|=_.解析:过点Q作QQ1l,垂足为Q1,设准线与x轴交点为M,则PMFPQ1Q,所以|MF|Q1Q|=|PF|PQ|=45,又|MF|=4,所以|QF|=|Q1Q|=5.答案:58过点A(-2,-4)作倾斜角为4的直线,交抛物线y2=2px(p0)于M,N两点,且|AM|,|MN|,|AN|成等比数列,求抛物线的方程.解:M(x1,y1),N(x2,y2),则由题意知MN的方程为y=x-2.由y=x-2,y2=2px,消去x,得y2-2py-4p=0,故y1+y2=2p,y1y2=-4p.又根据|AM|AN|=|MN|2,可得(y1+4)(y2+4)=(y1-y2)2,即5y1y2+4(y1+y2)+16=(y1+y2)2,即p2+3p-4=0,解得p=1或p=-4(舍去).故所求抛物线的方程为y2=2x.9已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB的面积等于10时,求k的值.(1)证明如图所示,由y2=-x,y=k(x+1),消去x得,ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-1k.因为A,B在抛物线y2=-x上,所以y12=-x1,y22=-x2.所以y12y22=x1x2.因为kOAkOB=y1x1y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=-1,所以OAOB.(2)解设直线与x轴交于点N,显然k0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).因为SOAB=SOAN+SOBN=12|ON|y1|+12|ON|y2|=12|ON|y1-y2|,所以SOAB=121(y1+y2)2-4y1y2=12-1k2+4.因为SOAB=10,所以10=121k2+4,解得k=16.10已知A,B是抛物线x2=2py(p0)上的两个动点,O为坐标原点,非零向量OA,OB满足|OA+OB|=|OA-OB|.(1)求证:直线AB经过一定点;(2)当线段AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为255时,求p的值.(1)证明|OA+OB|=|OA-OB|,OAOB.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x12=2py1,x22=2py2.经过AB两点的直线方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),由y1=x122p,y2=x222p,得(x2-x1)(y-y1)=x222p-x122p(x-x1).x1x2,y-y1=x2+x12p(x-x1).令x=0得y-y1=x1+x22p(-x1),y=-x1x22p.OAOB,x1x2+y1y2=0.x1x2+x12x224p2=0.x1x20(否则OA,OB中有一个为零向量),x1x2=-4p2代入得y=2p.直线始终经过定点(0,2p).(2